Syſtem der Geometrie.

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Syy ſt e m der Geometrie. Ayckr 6. Qa 33 Lehr bu ech für akademiſche Vorträge und höhere Unterrichts-Anktalten von Dr. A. Arneth. Von den geraden Linien in der Ebene. Erſte und zweite Abtheilung. eſchenn — des Geh.— 7— Lyzeums⸗Directors 3 — Dr. E. Kürcher das Karlsruher Lyzeum. NÆQQY ÆQÆοοοYCNCY οIQQQNQQ Stuttgart. E. Schweizerbart's Verlagshandlung. 1840.

UVorrede. Verfolgt man mit Aufmerkſamkeit die Entwickelung der Geo⸗ metrie in der neueren Zeit, ſo wird man leicht gewahr, daß eine Vereinigung der neuen Entdeckungen mit dem bisher Beſtandenen und beſonders eine allgemeinere Verbreitung derſelben nur durch ein Aufgeben der bis jetzt befolgten Darſtellungs- und Unterrichts⸗ Methoden der erſten Anfänge dieſer Wiſſenſchaft möglich wird. Mit den erſten Elementen muß der Grund aller ſpäteren Ent⸗ wickelungen gelegt werden, oder vielmehr, da dieſe ſich beſonders auf die verſchiedenen Methoden der Lagenbeſtimmungen ſtützen: die erſten Elemente müſſen hauptſächlich aus Betrachtungen über Lagen⸗ beſtimmungen beſtehen, die allmälig und ſteigend entwickelt nicht ſchwer aufzufaſſen ſind und dann den Eintritt in die höchſten Theile der Geometrie ohne beſondere Schwierigkeiten geſtatten. Die reinſten Anſichten über die allgemeine Größenlehre findet man, nach meiner Meinung, bei Schweins). Sie müſſen ſich auf die ſpezielle Größenlehre, die Geometrie, übertragen laſſen und Größenlehre, Heidelberg 1832.

iee, ſich hier eben ſo fruchtbar erweiſen. Die Anwendung auf die Geo— metrie gibt ſich aber in den Elementen nicht mit derſelben Ein— fachheit, da dieſelbe ſpezielle Betrachtungen erfordert, welche die Größenlehre entbehrt. Dieſe Betrachtungen nun über das Neben— einanderſeyn der Raumgrößen, der Geometrie eigenthümlich, bilden unſere Elemente, die Grundlage, auf welche das Ga inze ſich ſtützt Die bisherige Eintheilung der Geometrie, die Methode der Darſtellung der einzelnen Theile bedingend, iſt unwiſſenſcha aftlich und ihre Entſtehung hat man nur in ihrer, anfänglich von der allgemeinen Größenlehre unabhängigen Entwickelung zu ſuchen. Alles Neue, was durch die Einwirkung der allgemeinen Größen— lehre in der Geometrie hervorgerufen wurde, diente ſelten dazu, das Beſtehende zu verändern, es wurde neben das Alte geſetzt und als beſonderer Zweig fortgebildet. So haben wir denn eine Geometrie im engeren Sinne, eine Trigonometrie, eine analytiſche Geometrie und die Entdeckungen und Theorien der neueſten Zeit als verſchiedene und nur wenig zu⸗ ſammenhängende Zweige der Gcometrie. Die Methode der Darſtellung der einzelnen Zweige wurde viel⸗ fach verändert und verbeſſert, hierdurch aber für eine Vereinigung zu einem Ganzen nur wenig gewonnen. Die Anordnung, welche Schweins, in ſeinem Syſteme der Geometrie, für die Geometrie im engern Sinne gegeben hat, halte ich noch jetzt für die beſte. Auch habe ich ſeine Eintheilung bei den Unterſuchungen über die geſchloſſenen Figuren beibehalten, wie das die Abſchnitte 3 und 4 zeigen. Unſere Darſtellungen und Beweiſe mußten jedoch ſehr verſchieden ausfallen. Littrow iſt, meines Wiſſens, der erſte, welcher eine Vereinigung der verſchiedenen Zweige vorgeſchlagen und, zum Theil, auch ausgeführt hat. Es gebührt dieſem Gelehrten das große Verdienſt, gegen viele Vorurtheile

— VIIl— ankämpfend, die Zweckmäßigkeit einer W Vereinigung zuerſt er⸗ kannt und in mehreren ſeiner Schriften ſtets empfohlen und verthei⸗ diget zu haben. Die bisherige Zerſplitterung der Geometrie iſt aber nicht bloß unwiſſenſchaftlich, ſie iſt auch i und tritt einer allgemeineren 2 Verbreitung derſelben hindernd entgegen. Man pflegte bis jetzt die Lehre von den Eigenſchaften der Figuren von der Berechnung der⸗ en zu trennen, benutzte die Formeln nur zur Berechnung und Sigenſchaften aufzuſuchen. Hierbei Formel den allgemeinen Zuſammen⸗ thält und daß man aus ihr die Eigenſchaften der⸗ ſelben eben ſo gut ableiten kann, ohne dazu einer beſonderen Unter⸗ ſuchung zu bedürfen. Nach den bisherigen Methoden verlangt die Herleitung einer neuen Wahrheit oft neue Hülfsmittel; neue Wege müſſen eingeſchlagen werden: bei der Herleitung der Wahrheiten aus den Formeln haben wir nur zwei Geſetze als Grundlage; von ihnen allein können wir ausgehen; auf ſie müſſen wir immer zu⸗ rückkommen. Durch eine ſolche Behandlung der Geometrie, wobei eigentlich die Geometrie im engern Sinne aufgehoben wird, verkürtzt man die Unterſuchungen um ein Bedeutendes und vereinfacht und erleichtert dieſelben noch mehr durch die Einheit der Methode, durch die ſtets und auf gleiche Weiſe wiederkehrende Anwendung von we—⸗ 7 * — 2 2 zeſetzen, die ſich für jede folgende Figur nicht verändern; ſondern nur erweitern und ſich zuletzt als allgemein, alle ebenen Figuren umfaſſend, erweiſen. Der neue Gebrauch, den man hierbei von den trigonometriſchen Formeln zu machen genöthigt iſt, hat auch den Vortheil, daß man ſie genau nach allen Seiten erforſcht, ſich voll⸗— kommen vertraut mit ihnen macht und eine Uebung in der Be⸗ handlung derſelben erlangt, die uns den Gegenſtand gänzlich unter⸗ wirft, was man wohl durch keine andere Methode ſo frühe erreicht.

IiI— Bei einer Vereinigung der verſchiedenen Zweige der Geometrie zu einem organiſchen Ganzen ergibt ſich Kürze und Einfachheit von ſelbſt; weil nur eine Idee das Ganze beherrſchen kann und unnütze Wiederholungen hinweg fallen müſſen. Die Darſtellung wird hierbei auch für praktiſche Zwecke geeigneter; man lernt gleich von vorne herein, was man mit der Geometrie ausrichten, wie man ſie im Leben benutzen kann, und dieſes iſt, meines Erachtens, mehr werth und regt zum Studium mehr an, als die Entwickelung der intereſſanteſten Eigenſchaft einer Figur, die außerdem mehr Aufwand erfordert. Nach meiner Anſicht zerfällt die Geometrie in folgende drei Abtheilungen: J. Von den Geraden und deren Lagen. Dieſe Abtheilung umfaßt die erſten Sätze der Geometrie im engern Sinne, die Entwickelung der goniometriſchen Verhältniſſe und die erſten Sätze der analytiſchen Geometrie. Die richtige Grenze für dieſe Abtheilung zu finden, was alles hier aufgenommen wer⸗ den muß und in welcher Ausdehnung, iſt ſehr ſchwer. Dieſer Ge⸗ genſtand hat nämlich in der neueſten Zeit, beſonders durch die Ar— beiten Plückers, eine Erweiterung erhalten, deren hohe Bedeutung man am beſten aus den Schriften dieſes Geometers kennen lernt. Die Grundlage ſeiner Coordinaten-Beſtimmung in ihren einfachſten Zügen hätte vielleicht in dieſe Abtheilung ſchon aufgenommen werden ſollen. Ich war jedoch zu ängſtlich, dieſen Theil noch mehr auszudehnen, auch erhielt ich Plückers neueſte Schrift, welche vieles hierher Gehörige enthalten muß, zu ſpät, um ſie noch benützen zu können; ſo habe ich es vorgezogen in die dritte Abtheilung auf⸗ zunehmen, was für dieſe Elemente ſich eignen möchte.

ie II. Van der Verbindung der Geraden zu ebenen Kiguren. Hierher fallen alle Unterſuchungen über die Eigenſchaften und Berechnungen der ebenen Figuren, ſo wie die Unterſuchungen über die Flächenräume derſelben. In den Kapiteln 21 und 22 ſollten die Verwandlungen und Theilungen der Flächenräume nur im All⸗ gemeinen berührt werden, ich glaubte dieſe Gegenſtände nicht über⸗ gehen zu dürfen. III. Von der Verbindung der Geraden in einer Ebene im Allgemei⸗ nen, ohne Bweck eine geſchloſſene Kigur zu erzeugen. Ich rechne hierher die in der neueren Zeit aufgekommenen Theorien über die geometriſchen Verwandtſchaften und die damit zuſammenhängenden Unterſuchungen, in ſo weit dieſe von der Theorie der krummen Linien getrennt werden und auf die geradlinigen Fi⸗ guren und den Kreis Anwendung finden können. Schon dieſe Trennung, die nach dem Plane meiner Schrift durchaus nothwendig wird, bietet Schwierigkeiten dar, wenn der Gegenſtand ſein ganzes Intereſſe behalten ſoll. Noch mehr aber erſchwerte die Bearbeitung dieſes Gegenſtandes die ſo ſehr verſchie⸗ denen Darſtellungsweiſen der Geometer. Dieſe dritte Abtheilung liegt vollſtändig ausgearbeitet vor mir und ich hätte ſie gerne mit den beiden erſten gleichzeitig erſcheinen laſſen, weil erſt durch ſie das ganze Syſtem richtig beurtheilt wer⸗ den kann. Der Wunſch jedoch, auch das Neueſte zu benützen und die Hoffnung, dadurch vielleicht meine Darſtellung noch mehr ver⸗ einfachen zu können, ließen es mich vorziehen, deren Bekannt⸗ machung noch kurze Zeit zu verzögern. Seit mehreren Jahren lege ich dieſes Syſtem bei meinen Vor⸗ leſungen zu Grunde und habe immer Urſache gehabt, mit dem Er⸗ folge zufrieden zu ſeyn; ſelbſt ſolchen Studirenden, die gar keine

* XR— geometriſchen Vorkenntniſſe mitbrachten, habe ich es zugänglich gefund en. Beim Unterrichte an höhern Lehranſtalten hat der Lehrer da⸗ hin zu trachten, daß die drei erſten Kapitel langſam und vorſichtig aber vollſtändig eingeübt werden unter ſteten Erläuterungen durch Konſtruktionen und Anwendungen. Vom vierten Kapitel an ſind bei dem erſten wiſſenſchaftlichen Unterrichte nur die Hauptmomente feſtzuhalten und iſt alsdann der Uebergang zur zweiten Abtheilung zu bewirken. Bei Wiederholungen wird das Ueberſchlagene in immer ſteigender Ausdehnung mitgenommen. Hierdurch gewinnen dieſe Wiederholungen neues Intereſſe und werden durch die unter⸗ deſſen vorgeſchrittene Ausbildung der Studirenden erleichtert. Ich läugne nicht, daß bei dieſer Methode der Lehrer vorſichtig und aufmerkſam ſeyn muß, ſich keiue Mühe darf verdrießen laſſen, und daß er es bei den bisherigen Darſtellungsweiſen leich⸗ ter hat; aber lernen werden ſeine Schüler gewiß viel mehr und ihre Bildung wird nicht weniger gründlich, dabei viel umfaſſender ſeyn. Unſere Zeit macht höhere Anſprüche an Lehrer und Schüler; die Mathematik ſoll nicht mehr bloß Bildungsmittel ſeyn, es wer⸗ den auch poſitive Kenntniſſe verlangt. Für den Schulgebrauch habe ich dem Buche noch eine Samm⸗ lung von Beiſpielen und Aufgaben beigegeben, welche übrigens keinesweges umfaſſend iſt, der umſichtige Lehrer wird ſie mit Vor⸗ theil zu benutzen und nach Umſtänden zu vermehren wiſſen. Ich halte es für einen ſehr weſentlichen Vortheil, dem Stu⸗ direnden, ſobald er einige Sätze erlernt hat, deren Anwendung ſogleich zu zeigen; er muß bald wiſſen, was er damit anfangen kann, denn dieß wird ihn veranlaſſen, auch andere Sätze zu erlernen, weil er von ihnen ähnliche und erweiterte Anwendungen hoffen darf. Unter allen Anwendungen, die man von geometriſchen Sätzen

— XI— machen kann, ſind aber gewiß die Größenbeſtimmungen von Linien, Winkeln und Flächen, die, deren Nützlichkeit am klarſten vorliegt. Wenn man nach der ältern Methode eingeſehen hat, daß durch die drei Seiten auch die Winkel des Dreiecks beſtimmt ſind, ſo wird man ſich auch gewiß ſogleich die Frage vorlegen: Wie kann man aber die Größen der Wi inden? Der Lehrer kann dieſe an ihn gerichtete Frage nicht beantworten, er muß auf andere Unter⸗ ſuchungen vertröſten. Ueberall, wo es möglich war, habe ich Der⸗ artiges zu vermeiden geſucht. Wenn der Studirende bei meiner Methode erfährt, daß durch eine gewiſſe Anzahl Stücke eine Figur beſtimmt iſt, ſo lernt er zugleich die Wege kennen, wie die Größen der übrigen berechnet werden können. Ein bedeutendes Hülfsmittel für das Verſtändniß der erſten Saͤtze iſt die Konſtruktion n man ſollte daſſelbe, wo es angewandt werden kann und ſo lange es nöthig erſcheint, nie vernachläſſigen. Es bedarf kaum einer Erwähnung, daß die allgemeine Größen⸗ lehre mit der Geometrie gleichzeitig ausgebildet werden muß und daß dieſe ſtets Gelegenheit zur Anwendung arithmetiſcher Unter⸗ ſuchungen darbietet, ſo z. B. das ſechste Kapitel für die Rechnun⸗ gen mit Wurzelgrößen, die Auflöſung der Gleichungen und die Neihen. Dieſes Kapitel wird übrigens der Lehrer nur dann vor⸗ nehmen, wenn die Fortſchritte ſeiner Schüler es geſtatten. Aber ſelbſt bei mangelnden Vorkenntniſſen aus dem Gebiete der allgemeinen Größenlehre laſſen ſich die meiſten Sätze der erſten drei Kapitel auf eine mehr populäre Weiſe durch bloße Konſtruk⸗ tion einüben und zum Verſtändniß bringen, was jedenfalls eine gute Vorſchule abgibt. Mehrjährige Erfahrung hat mir gezeigt, daß, wenn der Studirende die Hauptſache der erſten zwölf Kapitel inne hat, alles Uebrige ihm alsdann keine Schwierigkeiten mehr darbietet

— xn— und der Lehrer nunmehr auf eine ſelbſtſtändige Thöͤtigkeit hinar⸗ beiten kann. Mein Zweck, bei Abfaſſung dieſer Schrift, war ſomit, die ver⸗ ſchiedenen Zweige der Geometrie zu einem organiſchen Ganzen zu vereinigen, ihre Saͤtze und Wahrheiten in naturgemäßer Folge zu entwickeln, und bei den erſten Elementen ſchon auf eine einfache Weiſe alle Hülfsmittel darzulegen, deren ſich die Geometrie bedient. Ich hoffte dadurch den Lehrgang zu vereinfachen, das Studium der Geometrie zu erleichtern und zu erweitern und ſo zu einer allge⸗ meineren Verbreitung dieſes ſo ſchönen und nützlichen Zweiges des menſchlichen Wiſſens beizutragen. Wenn mein Streben auch dieſen Zweck nicht erreicht hat, ſo würde ich mich für meine Mühen doch ſchon hinreichend belohnt fühlen, ſollten ſie Veranlaſſung werden, daß von Anderen, im Geiſte dieſer Methode, Beſſeres geleiſtet würde. Das Weſen dieſer Schrift ſtets im Auge haltend und der Sache mit Vorliebe hinge⸗ geben, dürfte mir auf das Aeußere Manches entgangen ſeyn und mein Buch Maͤngel zeigen, welche der Leſer nachſichtig entſchuldigen wolle.

Vorläufige Beſtimmungen. 1) Was Gegenſtand der äͤußern Warnehmung ſeyn ſoll, muß im Raume enthalten und begrenzt ſeyn. Ausdehnung und End— lichkeit ſind die erſten Bedingniſſe der Möglichkeit der Vorſtellung äußerer Dinge. Was aber dieſe Eigenſchaften beſitzt, nennen wir groß und demnach iſt Alles groß. 2) Die Gegenſtände, welche uns umgeben, welche wir mit unſern Sinnen wahrnehmen, ſind entweder dieſelben, oder ſie ſind verſchieden. Die Gleichheit der Gegenſtände führt uns zur Idee der Zahl, die Verſchiedenheit derſelben zur Vorſtellung der Form. 3) Die Form, die Geſtalt, der mathematiſche Körper, der Raum, welchen der phyſiſche Körper einnimmt, iſt das aus der äußeren Wahrnehmung durch Abſtraktion Erhaltene, Gegebene, Mög— liche, Denkbare und der Gegenſtand geometriſcher Unterſuchung. Arneth, Geometrie— 1

4) Eine beſtimmte Form wird von dem übrigen Raume ab—⸗ gegrenzt durch Flächen, die Grenzen dieſer ſind Linien, die Grenzen dt le der Linien Punkte. 5) Der Punkt hat als Grenze der Linie keine Größe mehr. Der Ort im Naume, wo ein Punkt ſich befindet oder gedacht wird, heißt ſein abſoluter Ort. Wird der Ort eines Punktes auf andere 10 gegebene Oerter bezogen, ſo erhält man den relativen Ort oder die Lage des Punktes. Die unmittelbare Beziehung eines Punktes zu einem andern wird Richtung genannt. 6) Die Linie als Grenze der Fläche hat nur Ausdehnung nach einer Richtung, nur eine Dimenſion, Länge. Man nennt eine Linie gerade oder eine Gerade, wenn alle Punkte, welche in ihr gedacht werden können, in derſelben Richtung liegen, wenn ſie die anfängliche Richtung immer beibehält, wie weit man in ihr auch fortgehen mag. Eine krumme Linie, eine Curve dagegen iſt 9t eine ſolche Linie, welche in jedem ihrer Punkte ihre Richtung än— dert. Dieſe Aenderung der Richtung kann nach ſehr verſchiedenen 16 Geſetzen erfolgen, ſo daß es eine unendliche Anzahl von Curven, aber nur eine Gerade gibt. 91 7) Die Fläche als Grenze des Körpers hat zwei Dimenſio— nen, Länge und Breite. Eine Fläche wird eben oder eine Ebene genannt, wenn eine Gerade, wie man ſie auch in die Fläche legen mag, immer mit dieſer zuſammenfällt. Einer krummen Fläche kommt U dieſe Eigenſchaft nicht zu, eine Gerade wird entweder gar nicht oder nur in gewiſſen Richtungen in der Fläche liegen können. 4 S) Der Körper endlich hat Ausdehnung nach drei Richtungen, Länge, Breite, Höhe. Ein Körper kann von Ebenen oder von 6 krummen Flächen oder von beiden umſchloſſen ſeyn. 9) Die Form, der mathematiſche Körper wird individualiſirt

8 die Anzahl, Beſchaffenheit, Größe und gegenſeitige Stellung er begrenzenden Flächen; die Fläche durch die Anzahl, Beſchaffen⸗ 4 heit, Größe und gegenſeitige Lage der begrenzenden Linien; die — inie durch die Ausdehnung und Beſchaffenheit innerhalb ihrer be— grenzenden Punkte. 10) Die Anzahl und Beſchaffenheit dieſer Größen kann bei räumlichen Gebilden auf unendliche Weiſe verſchieden ſeyn. In Bezug auf die Größe derſelben läßt ſich: a) eine jede größer oder kleiner denken als eine andere derſelben Art, und man kann ſich b) eine jede in eine beliebige Anzahl gleicher oder ungleicher Theile getheilt denken. In Bezug auf die Lage oder Richtung kann: a) eine jede nur in einer beſonderen Lage gedacht werden, dieſe kann aber eine jede ſeyn, b) bei Verſchiedenheit der Richtung läͤßt ſich ein allmäliger Ueber⸗ gang der einen in die andere denken und daher c) der Richtungs⸗Unterſchied läßt ſich, wie die Größe, in 385 bige gleiche oder ungleiche Theile getheilt denken. 11) Formen, welche durch die Verbindung von Linien oder durch die von Flächen, in der Art erzeugt werden, daß man ſie aus denſelben Stücken, auf die gleiche Weiſe zuſammenſetzt, ſind ganz dieſelben, die eine nur eine Wiederholung der andern, identiſch, kongruent. 12) Die vollſtändige Kenntniß des Körpers und deſſen Eigen⸗ ſchaften ſetzt alſo die der begrenzenden Flächen voraus; die Kenntniß der Flächen beruht wieder auf der der einſchließenden Linien. Die Geometrie zerfällt mithin nothwendig in die drei Theile: 1 1*

60— 4— die Lehre von den Linien, die Lehre von den Flächen, die Lehre von den Körpern. ˖ Ein jeder dieſer Theile beſteht in der Unterſuchung über die Natur und Beſchaffenheit des Bildungs-Geſetzes der entſprechenden 1 Naumgrößen und über die Relationen, die aus Verbindungen der⸗ ſelben hervorgehen. Bei der Verbindung von Raumgebilden hat man nicht bloß auf ihre Größe, ſondern auch auf ihre Lagen und Richtungen zu ſehen. Die nachfolgenden Unterſuchungen enthalten nun: die Lehre von den geraden Linien. Hierzu ziehen wir jedoch noch die bekannteſte der Curven, den Kreis, deſſen Bildungsgeſetz iſt, daß er in ſeinem Fortgange. immer gleichweit von einem Punkte, dem Mittelpunkte, bleiben muß. n e Unterſuchungen über die Geraden. J. Abtheilung. Von den Geraden und deren Lagen. I. Abſchnitt. Von den Geraden und deren gegenſeiti⸗ gen Lagen.(Trigonometriſche oder Kreisfunk— tionen.) I. Kapitel. Erſte Methode zur Beſtimmung der gegenſeiti— U gen Lage. V II. Kap. Andere Methode zur Beſtimmung der gegenſeitigen Lage. III. Kap. Von den goniometriſchen Funktionen im Allge— meinen.

— 5— IV. Kap. Von den goniometriſchen Funktionen im Be— ſonderen. V. Kap. Von den Funktionen zuſammengeſetzter Winkel. VI. Kap. Von der Berechnung der goniometriſchen Funk— tionen. II. Abſchnitt. Von den Geraden und deren Lagen ge— gen bekannte Lagen(analytiſche Geometrie). VII. Kap. Beſtimmung der Lage einer Geraden durch Linear— Koordinaten. VIII. Kap. Beſtimmung der Lage einer Geraden durch Polar— Koordinaten. II. Abtheilung. Von der Verbindung der Geraden zu ebenen Kiguren(Geometrie und Trigonometrie). III. Abſchnitt. Von dem Dreiecke. IX. Kap. Von dem Zuſammenhange der Seiten und Winkel des Dreiecks. X. Kap. Vergleichung mehrerer Dreiecke, die in beſtimmten Beziehungen zu einander ſtehen. XI. Kap. Verbindung der Dreiecke mit Linien. XII. Kap. Ausführliche Berechnung der Dreiecke aus gegebenen Seiten und Winkeln. IV. Abſchnitt. Von dem Vierecke. XIII. Kap. Von dem Zuſammenhange der Seiten und Winkel des Vierecks. XIV. Kap. Vergleichung mehrerer Vierecke, die in beſtimmten Beziehungen zu einander ſtehen. XV. Kap. Linien mit dem Vierecke verbunden. XVI. Kap. Berechnung der Vierecke aus gegebenen Seiten und Winkel. V. Abſchnitt. Von den Fünf- und Vielecken. XVII. Kap. Ueber den Zuſammenhang der Seiten und Winkel

6— 6— der Fünf⸗ und Vielecke und allgemeine Methode der Be⸗ rechnung derſelben. XVIII. Kap. Von den ordentlichen Vielecken. XIX. Kapitel. Anhang. Von dem Kreiſe. VI. Abſchnitt. Von den Flächenräumen der ebenen geradlinigen Figuren. XX. Kap. Vergleichung und Berechnung der Flächenräume der Vielecke. XXI. Kap. Von der Verwandlung der Flächenräume ebener Figuren. XXII. Kap. Von der Theilung der Flächenräume ebener Figuren.

Erſte Abtheilung.

Erſter Abſchnitt. von den Geraden und deren gegenkeitigen Lagen. Erſtes Kapitel. Erſte Methode zur Beſtimmung der gegenſeitigen Lage. §. 1. Größe und Lage oder Richtung einer Geraden. Die Größe einer Geraden iſt beſtimmt durch die beiden Endpunkte derſelben; die Gerade ſelbſt heißt die Entfernung dieſer beiden Punkte. Iſt(Fig. 1) AB eine gegebene Gerade, ſo ſagt man von einem Punkte C derſelben, welcher dießſeits B liegt, er ſey näher, und von einem andern Punkte D, welcher jenſeits B ſich befindet, er ſey ferner von A als B. Die Lage einer Geraden, ihre Richtung, wird beſtimmt durch zwei Punkte, durch welche die Gerade gehen ſoll. Iſt nur ein Punkt gegeben, ſo kann man durch denſelben, nach den verſchiedenſten Richtungen hin, unendlich viele Gerade ziehen, iſt aber ein zwei— ter Punkt beſtimmt oder gegeben, ſo wird die Gerade, welche durch beide Punkte gehen ſoll, von allen übrigen ausgezeichnet, ihre Lage und Richtung iſt beſtimmt, und alle Geraden, welche durch dieſelben Punkte gehen, fallen mit ihr zuſammen, ſind dieſelben. Von Geraden, deren Richtungen durch dieſelben Punkte beſtimmt werden, kann man ſagen, ſie haben identiſche Richtungen, werden ſie alsdann auch durch dieſelben Endpunkte begrenzt, ſo iſt auch ihre Lage identiſch—

— 10— * Wenn nicht das Gegentheil angegeben wird, ſo verſtehen wir in der Folge unter einer geraden Linie eine Gerade ohne Ende, d. h. eine Gerade, die nicht erſt verlängert zu werden braucht, um ein beſtimmtes Ziel zu erreichen. §. 2. Dergleichung der Größen zweier Geraden. Vergleicht man die Größen zweier Geraden, ſo kann man entweder auf den Unterſchied derſelben ſehen, wie viel die eine größer oder kleiner iſt als die andere, oder, wie oft die eine von der andern weggenommen, die eine durch die andere ausgemeſſen werden kann. Nimmt man hierbei die eine als Einheit des Maßes an, ſo erhäͤlt man ein Mittel, die Linien durch Zahlen darſtellen zu können. Dieß iſt die Art, wie man im gewöhnlichen Leben Linien darſtellt. Als Einheiten des Maßes haben wir Linien, Zolle, Fuße, Ruthen u. ſ. w. Von einer Geraden ſagt man, ſie enthalte ſo und ſo viele Fuße, Zolle u. ſ. w. Iſt eine Richtung gegeben und in ihr ein Punkt und ſoll von dieſem Punkte aus in der gegebenen Richtung eine Linie von a Längeneinheiten aufgetragen werden, ſo kann dieß von dem Punkte aus entweder nach der rechten Seite oder nach der linken hin geſchehen. Dieſe Unbeſtimmtheit hört auf, wenn man die Bildung der Linie nach der einen Seite, z. B. der rechten mit T a und als— dann die nach der andern Seite, als der entgegengeſetzten mit— à bezeichnet. §. 3. Gegenſeitige Lage zweier Geraden. Betrachtet man die eine Gerade ihrer Lage und Richtung nach als gegeben, ſo kann man die Lage und Richtung der andern mit denen der erſten vergleichen. Bei dieſer Vergleichung ſind nur zwei Fälle möglich: die Geraden haben entweder verſchiedene oder ſie haben dieſelbe Richtung. Von ſolchen Linien ſagt man im gewöhnlichen Sprachgebrauche, ſie neigen ſich zu einander oder ſie ſind gleichlaufend, parallel. Der Begriff der Neigung beruht auf dem der Annäherung, des endlichen Zuſammentreffens, ſo daß Verſchiedenheit der Richtung, Neigung, Zuſammentreffen nur verſchiedene Ausrücke ein und

derſelben Bedingung ſind, und Gleichheit der Richtung, Parallelitäͤt, Nichtzuſammentreffen verſchiedene Ausdrücke des Gegenſatzes. §. 4. Von der geneigten Lage. Haben AB und CD(Fig. 2) verſchiedene Richtung, ſo findet ein Unterſchied ihrer Richtungen ſtatt, dieſen Unterſchied nennt man Winkel. Um den Begriff Winkel klarer aufzufaſſen, laſſe man die Geraden in E begrenzt ſeyn, als— dann kann keine weitere Vergleichung als zwiſchen den Richtungen von EB und Ed ſtatt finden und der Winkel wird durch die Oeffnung BED, welche den Unterſchied der Richtung bezeichnet, dargeſtellt werden können. Man kann die Richtung ED allmälig in die EB übergehen laſſen, wo alsdann beide Geraden zuſammen— fallen(Einl. 10). In dieſem Falle wird der Unterſchied der Rich— tungen, alſo der Winkel immer kleiner, und zuletzt verſchwindet derſelbe. Die Linien, welche den Winkel bilden, werden Schenkel genannt. Die Richtung einer Geraden iſt unabhängig von ihrer Größe, ihrer Länge, ſie iſt in den Elementen dieſelbe, wie im Unendlichen, woraus ſich folgender Satz ergibt: 1) Die Größe des Winkels iſt unabhängig von der Größe der Linien, welche ihn bilden, und ändert ſich nur mit den Rich— tungen beider Geraden. Läßt man wieder die eine der beiden Geraden AB(Fig. 2) unbegrenzt ſeyn, ſo bildet ED mit derſelben zwei Winkel, auf der einen Seite BED und auf der anderen AKkD. Man ſieht ſogleich ein, daß zwiſchen beiden Winkeln ein beſtimmter Zu— ſammenhang ſtatt finden muß, da durch die Richtung von ED gegen AB beide Winkel gegeben ſind. Von dieſen beiden Winkeln wird der kleinere BED ein ſpitzer, der größere AED ein ſtumpfer Winkel genannt. Bringt man nach und nach die Gerade ED in die Lagen EF, EG u. ſ. w.(Fig. 3), ſo wird der ſpitze Winkel immer größer, der ſtumpfe immer kleiner. Nun muß es eine Richtung der Geraden, z. B. EK, geben, wo beide Winkel gleich geworden ſind. Jn dieſer Lage ſagt man EK ſeye ſenkrecht zu AB, nennt EK eine

IN„ 112 ſie mit der Geraden AB bildet, rechte Winkel. 0 Ueber einer Geraden liegen daher an einem Punkte zwei ＋ rechte Winkel, und da dieſelben Betrachtungen auch unterhalb der Geraden angeſtellt werden können, ſo liegen um einen Punkt vier rechte Winkel. Der ſpitze Winkel kann mehr oder weniger ſpitz, der ſtumpfe Senkrechte und die gleichen Winkel AEK und BEK, welche mehr oder weniger ſtumpf ſeyn, der rechte Winkel aber iſt eine iU L. unveränderliche Größe. Aus dieſem Grunde bedient man ſich des witd rechten Winkels als Maß aller anderen, und theilt denſelben in lter 90 gleiche Theile oder Grade, den Grad in 60 gleiche Theile oder lut Minuten, die Minute endlich in 60 gleiche Theile, Sekunden. Die Wi Größe eines Winkels wird hiernach bekannt ſeyn, wenn angegeben wird, wie viele Theile des rechten Winkels, oder wie viele Grade 1 (o), Minuten() und Sekunden() er enthält. lie! Nachdem man auf dieſe Weiſe ein konſtantes Maß für den funt Winkel gefunden hat, wird es nur noch nöthig ſeyn feſtzuſetzen, von welcher Seite aus und nach welcher Richtung die Winkel ge⸗ zählt werden ſollen. Geht man von der rechten Seite aus und läßt man die Winkel nach oben hin wachſen, ſo iſt der Winkel, wenn zuerſt ED mit EB zuſammenfällt, gleich 00, von hier an nimmt er zu, wenn ED in die Lagen EF, EG, EK uit f.. gebracht wird, und man wird jede Richtung der Geraden EdD in den vier rechten Winkeln gegen AB angeben können. Iſt ſonach die Richtung von ED gegen AB gegeben, ſo iſt auch der Winkel BED ein beſtimmter, gegebener; denn durch ſht die Richtung von E iſt der Unterſchied der Richtungen beider Geraden, alſo der Winkel gegeben, und zu einer beſtimmten Nich— tung von ED gibt es nur einen beſtimmten Unterſchied der Rich⸗ tungen, nur einen beſtimmten Winkel. Umgekehrt geht aus einem beſtimmten Winkel BED nur eine beſtimmte Richtung ED her⸗ vor. Es iſt ſonach: 0 2) Einer beſtimmten Richtung ED entſpricht nur ein beſtimmter Winkel BED, und umgekehrt, zu einem beſtimmten Win⸗ kel BED gibt es nur eine beſtimmte Nichtung ED.

— 13— Hierbei darf jedoch nicht überſehen werden, daß die Winkel von einer beſtimmten Seite und nach einer beſtimmten Richtung gezählt werden müſſen. Der Punkt E, in welchem AB von ED getroffen wird, iſt willkürlich und kann jeder Punkt der Geraden AB ſeyn. Zieht man die Linie ED als CF(Fig. 4), unter Beibehaltung ihrer Richtung durch irgend einen andern Punkt Cvon AB, ſo iſt die neue Figur eine bloße Wiederholung der vorigen, an C wird von CE mit AB derſelbe Winkel wie an E gebildet, denn unter gleichen Bedingungen und unter gleichen Umſtänden kann nur Gleiches erzeugt werden. Umgekehrt wird, wenn man den Winkel BED an E anlegt, und dadurch die Gerade ED er— zeugt, dieſer Winkel an einem anderen Punkte Cvon AB ange⸗ legt, eine andere Gerade CF erzeugen, welche dieſelbe Richtung, wie ED hat, und die neue Figur wird auch nur eine Wieder— holung der früheren ſeyn. Es iſt mithin: 3) Alle Geraden, welche durch verſchiedene Punkte von AB gezogen und dieſelbe Richtung haben, verhalten ſich auf gleiche Weiſe gegen AB, bilden mit dieſer Geraden den— ſelben Unterſchied der Richtungen, denſelben Winkel, und umgekehrt, derſelbe Winkel an verſchiedenen Punkten der Geraden AB angelegt, erzeugt Geraden, die alle gleiche Richtung haben. Die vorſtehenden Sätze geſtatten noch leicht, die Herleitung folgender Wahrheit(Fig. 5): 4) Haben die Geraden ED und ed gleiche Richtung gegen die bekannten Geraden EB und eb, ſo ſind auch die Winkel BED und bed gleich; umgekehrt, ſind die Win— kel BED und bed gleich, ſo haben auch die Geraden ED und ed gleiche Richtung gegen EB und eb. Es iſt ſchon oben auf den Zuſammenhang der Winkel BED und AED, welche durch ED über AB gebildet werden, hinge— wieſen worden. Eine nähere Beſtimmung ergibt ſich auf folgende Weiſe:

— 14— Man bilde durch die Senkrechte KE(Fig. 6) die rechten Winkel AEKK und BEK, ſo iſt zuerſt der ſpitze Winkel, BED BEK— DEKʒ und der ſtumpfe Winkel AED σρ AEK ＋ KED, beide Gleichungen vereint geben AED ＋ BED = AEK ＋ KED ＋ BEK— DEK RT R 2R, wenn man den rechten Winkel mit R bezeichnet. Die Winkel AED und BED, welche an einem Punkte über einer Geraden gebildet werden, nennt man Nebenwinkel, für welche man alſo findet: 5) Die Nebenwinkel ſind zuſammen immer zweien Rechten oder 1800 gleich. Man ſieht leicht ein, daß derſelbe Satz gilt, wenn man ſich auch jeden Winkel wieder in mehrere Theile getheilt denkt, daher man allgemein hat: 6) Werden über einer Geraden AB(Fig. 7, durch die Linien ED, EF u. ſ. w., welche alle von demſelben Punkte E ausgehen, die Winkel BED, DEF u. ſ. w. gebildet, ſo ſind ſie alle zuſammengenommen zweien Rechten oder 180“ gleich. Da daſſelbe auch für alle Winkel gelten muß, welche unterhalb AB am Punkte E gebildet werden können, ſo ſind alle Winkel um E, wie groß deren Anzahl auch ſeyn N mag, zuſammengenommen gleich vier Rechten oder 360 Grade. Nach 5 werden alſo AED und BED τ 180“ ſeyn, wenn AEB eine Gerade iſt. Sind umgekehrt AKED ＋ BED 95 1800, ſo muß AEB eine Gerade ſeyn; denn nimmt man an i (Fig. 8S), AEB ſey keine Gerade, ſo läßt ſich eine andere Linie MEB 1 denken, welche dieſe Eigenſchaft hat und für welche nach 5 iſt: MED ＋ BED 180. Nun ſoll aber auch AED ＋ BED= 1800 ſeyn, dieſe letzte Annahme kann jedoch mit der vorhergehenden Wahrheit nur dann beſtehen, wenn AED=ε MED alſo die Richtung von len AE in die von ME fällt, alſo AEB=ε MEg eine Gerade iſt. Es iſt mithin: 7) Sind zwei Winkel AED und BED, welche einen

gemeinſchaſtlichen Schenkel ED haben, zuſammen zweien Rechten gleich, ſo bilden die beiden anderen Schenkel eine Gerade. Denkt man ſich die beiden Geraden wieder unbegrenzt, ſo werden bei ihrem Durchſchneiden in E(Fig. 9) vier Winkel ge⸗ bildet, von welchen die gegenüberliegenden Scheitelwinkel genannt werden. Nun liegen über AB die Nebenwinkel AED und BED und über der Geraden CD die Nebenwinkel CEEB und DEB. Es iſt daher: AED ＋ BED 2R, und auch: CEB ＋ DEB 2R mithin AED ＋ BED CEB ＋ DEB, folglich BEC πρ AED. Auf gleiche Weiſe findet man, daß AEC Æπ BED, und ſomit die Wahrheit: 8) Die Scheitelwinkel ſind gleich. §. 5. Von der parallelen Lage. Haben CD und FG (Fig. 10) gleiche Richtungen unter ſich, ſo bilden ſie auch gleiche Winkel mit AB und es iſt BED ρ EIHG(3). Den Win⸗ kel BEbD nennt man den äußern und EHG den innern ent— gegengeſetzten Winkel; ſo daß: 9) Sind zwei Linien zu einander parallel, ſo iſt der äußere Winkel dem inneren entgegenſetzten gleich. Der Winkel DEB iſt dem HEC als Scheitelwinkel gleich (O, daher auch 6IIE σπ HEC. Dieſe Winkel heißen Wechſel⸗ winkel, und es iſt: 10) Sind zwei Gerade zu einander parallel, ſo ſind die Wechſel⸗ winkel gleich. Die Winkel DEB und HED ſind als Nebenwinkel zu⸗ ſammen= 1800(5). Da nun DEB GILIE, ſo iſt auch GIIE ＋E HED= 1800. Man nennt dieſe Winkel die in⸗ neren entgegengeſetzten Winkel, und findet: 11) Bei Parallel-Linien ſind die beiden inneren entgegengeſetzten Winkel zuſammengenommen zweien Rechten gleich. Nimmt man umgekehrt an, der äußere Winkel DEB ſey

— 16— dem inneren entgegengeſetzten 6IIE gleich, ſo haben CD und FG gleiche Nichtung(3) oder ſie ſind parallel. Sind die Wechſel⸗ winkel gleich, ſo iſt auch, weil HEKC DEB der äußere dem innern entgegengeſetzten gleich, und die Geraden ſind parallel. Sind endlich GHE ＋ HED 2 R, ſo iſt auch wegen HED ＋ DEB 2R, wenn beide Gleichungen verbunden werden GHE= DERB, alſo die Geraden parallel. Die mit der Parallelität der beiden Geraden verbundene Ei⸗ genſchaften der Winkel 9, 10, 11 nennt man die Kennzeichen der Parallelität der beiden Geraden. Es iſt alſo gefunden: 12) Findet eine der in 9, 10, 11 angegebenen Eigenſchaften der Winkel ſtatt, ſo ſind die beiden Geraden parallel. Man erkennt alſo die Gleichheit der Richtungen an dieſen drei Eigenſchaften der Winkel, man erkennt ſie aber auch an dem Nichtzuſammentreffen der beiden Geraden, da hierin eben der Ka⸗ rakter der Gleichheit der Richtungen liegt, und die angegebenen Eigenſchaften der Winkel darauf beruhen, daher eine nicht minder wichtige Wahrheit wie die vorhergehende, die folgende iſt.(Fig. 11). 13) Sind zwei Linien AB und CD zu einander parallel, und zieht man die Linien KL, MR, 0P, GKR u. ſ. w. nach einer beliebigen aber unter einander gleichen Richtung, ſo müſſen die Entfernungen der Punkte L, N, P,.... von K, M, 0,.... oder die Geraden KL, MN, OP,.... ſämmtlich einander gleich ſeyn oder die beiden Parallelen müſſen in dieſer Richtung immer die gleiche Entfernung behalten. Es ſeyen AB und CD zwei Geraden, welche die Eigen⸗ ſchaft beſitzen, in einer beſtimmten Richtung überall die gleiche Entfernung zu haben. Wollte man nun annehmen, dieſe beiden Geraden ſeyen nicht parallel, ſo müßte es eine andere Linie, z. B. GH geben, welche durch Lugezogen zu AB parallel iſt und nicht durch die Punkte N, P, R.... geht. Bei dieſer Annahme müßte nun der Punkt E verſchieden von N ſeyn, alſo z. B. näher an M liegen als N, alſo näher als Lan K. Beim Uebergange von Lünach E müßte ſich ein Punkt E in GH, in der Richtung

U1 LK, einer Geraden immer dieſelbe bleibt, ſo mußte dieſe Annäherung der Linie AB mehr genähert haben. Da nun die Nichtung in F und J u. ſ. w. noch größer ſeyn und immer zunehmen, je weiter man in der Geraden Ell fortgeht. Man würde auf dieſe Weiſe zu einem Punkte gelangen, in welchem GUl mit AB zu⸗ ſammentrifft, was gegen die Vorausſetzung der Parallelität beider Linien iſt. §. 6. Erhaltene Reſultate. Die vorhergehenden Unterſuchungen haben hinreichend gezeigt, wie die Richtung einer Geraden gegen eine andere, durch Angabe des Winkels beſtimmt werden kann. Iſt Fig. 2 auch noch der Punkt E gegeben, in welchem die beiden Geraden zuſammenkommen oder ſich durchſchneiden, ſo iſt die Lage von CD in Bezug auf AB völlig beſtimmt und alle Geraden, welche durch E gehen und an derſelben Seite, nach derſelben Richtung den gleichen Winkel mit AB bilden, fallen mit CD zuſammen, ſind von dieſer nicht verſchieden. Dieſe Methode der Lagenbeſtimmung hat beſonderen Werth für die bildliche Darſtellung. Eine Verbindung von geraden Linien in einer Ebene heißt eine ebene geradlinige Figur, eine ſolche ausmeſſen, heißt die Längen der Geraden und deren Richtungen oder Winkel finden. Beſchrieben wird eine ſolche Figur, wenn man die Geraden in ihrer Folge, in der angenommenen Längeneinheit, angibt, z. B. in Fuße und Zolle u. ſ. w. und die Winkel, welche die Geraden unter ſich bilden, in Grade, Minuten u. ſ. w. Vildlich dargeſtellt, auf einer ebenen Tafel aufgezeichnet, gewöhnlich in verjüngtem Maß⸗ ſtabe, wird nach einer ſolchen Beſchreibung die Figur, wenn man einen beſtimmten Theil der wirklichen Längeneinheit als neues Maß annimmt, in dieſem die gemeſſenen Geraden aufträgt und jede fol⸗ gende Linie der vorhergehenden unter ihrem Winkel anfügt. Dieſe Geſchäfte, dem praktiſchen Theile der Geometrie ange— hörend, erfordern die Hülfe zweier Inſtrumente, des verjüngten Maßſtabes, des Linienmeſſers und des Transporteurs, Goniome⸗ ters, Winkelmeſſers. Die Konſtruktion beider beruht auf zwei ſpäteren Sätzen der Geometrie und verlangt die Auflöſung folgender Aufgaben: Arneth, Geometrie.

18 1) Wie kann man eine Gerade von beſtimmter Größe in eine beliebige Anzahl gleicher Theile theilen. 2) Wie kann man irgend einen Winkel in eine beliebige Anzahl gleicher Theile theilen. Die Auflöſung dieſer Aufgaben wird am gehörigen Orte an— gegeben werden, bis dahin kann man die Einrichtung und den Ge⸗ brauch der angeführten Werkzeuge als bekannt vorausſetzen. Zweites Kapitel. Andere Methode zur Beſtimmung der Lage einer Geraden. §. 7. Von den Lolgen des Vildungsgeſetzes einer Geraden. Es ſeyen EB und ED(Fig. 12) zwei Geraden von verſchiedener Richtung, die im Punkte E zuſammenkommen. Geht man von E nach D fort, ſo entfernt man ſich in irgend einer Richtung von der Geraden EB immer mehr. Iſt F ein beſtimmter Punkt und 46 FG eine beſtimmmte Richtung, ſo hat man ſich beim Uebergange * von E nach Fuum F4G, in der angegebenen Richtung, von EzB ent⸗ ſernt. Bildet man nun aus zwei anderen Geraden eb und ed denſelben Winkel, nimmt man den Punkt f in derſelben Entfer⸗ nung von e wie F von E, oder macht man ef= EF, und iſt zuletzt die Richtung von kg dieſelbe wie die von FG, ſo werden die beiden Figuren identiſch ſeyÿ?n. Deun, denkt man ſich die bei⸗ den Figuren ſo auf einandergelegt, daß e auf E, eb auf EB zu liegen kommt, ſo wird auch, wegen dem gleichen Winkel, ed auf ED und, wegen der gleichen Entfernung, fauf F zu liegen kom— men. Ferner wird, wegen der gleichen Richtung, auch kg auf FG, alſo g auf G liegen und die Entfernung fguder Entfernung FG gleich ſeyn. Man findet mithin die Wahrheit: 14) Hat ſich irgend ein Punkt F in der Geraden ED in irgend einer Richtung FG von einer Geraden EB um eine

19 beſtimmte Größe entfernt, ſo wird ſich, wenn man eine andere Gerade unter derſelben Richtung zu Ez zieht, in ihr derſelbe Punkt um die gleiche Größe von ED in der— ſelben Richtung entfernt haben. Werden die Entfernungen immer in derſelben Richtung ge⸗ zaͤhlt, ſo ſtellt ſich als eine weitere Folge dieſes Geſetzes nach⸗ ſtehender Satz dar(Fig. 13): 15) Wählt man in ED die Punkte E, a, b,.... ſo, daß ſie gleiche Abſtände haben, und zieht man aus dieſen Punkten Linien parallel zu EB, ſo ſind die Entfernungen a von EB, b von aar, c von bbi u. ſ. w. ſämmtlich ein⸗ ander gleich, oder aa= bk= l. Nimmt man die Wahrheit 13 zu Hülfe, ſo findet man, daß die Entfernung a von EB iſt aaS= 1. aq B bgS bl ＋ kG D aa ＋ ag σ aa „ 5 cο= el ＋ ly el ＋ bg D＋ adq ＋P2ag= 3ag u. ſ. w. Hieraus folgt nun weiter: 16) Hat ſich ein Punkt a in ED in einer beſtimmten Richtung um eine beſtimmte Größe von EB entfernt, ſo werden ſich andere Punkte in ED, die in der doppelten, dreifachen ꝛ Entfernung liegen, auch um das Zweifache, Dreifache ꝛc. in der angegebenen Richtung von EB entfernt haben. Alle vorhergehenden Sätze ſind eine einfache und natürliche Folge des Bildungsgeſetzes einer Geraden, nach welcher ſie ſich immer in derſelben Richtung halten muß, und daher, wenn ſie ſich von einer andern Geraden, beim Uebergange von Punkt zu Punkt, von einem Elemente zum andern in einem beſtimmten Verhältniſſe entfernt, dieſes Verhältniß der Entfernung ſich gleich bleibt wie die Richtung, welche es erzeugt. Betrachtet man die Figur 13 von einer andern Seite, ſieht man doò als deren Grundlage an, ſo ſind die Punkte e, b, a, E um eg, bf, an, Eö, von dò entfernt, und es iſt wie oben og νbl ak u. ſ. w.; daher auch 2*

EGdD= I. E ES= Ed ＋ h⁰ο EG ＋ ak= Ed ＋ EGAHÆ2. EG Ey E6G 67 ◻ꝘE53 bl 2. Eq ＋ 1. E ◻3. Ea ES Æ Ey ＋ 2 Ey ＋ eg 2 3Ed ＋ 1. E.& AEG i Hieraus erhält man nun noch allgemeiner die Wahrheit (Fig. 14): 17) Haben aa und CE dieſelbe Richtung und iſt EC das nfache von Ea, ſo iſt auch CF das nfache von ag und EF das nfache von Eq. Der Einfachheit wegen nimmt man gewöhnlich die Richtung von ag ſenkrecht zu EB an und rechnet die Entfernungen in die⸗ ſer Richtung. Es ſey nun(Fig. 15) AD S m. Aa und AF n. Aa, ſo iſt auch DE π m. ac, FG S n. ac und AE= m. Aq, AG n. Ad; hieraus kann man ableiten: AD m. Aa m ‚§ n DE mad m F6 AE m. Ac m n und dieſe Gleichungen geben: % uvun un AF F6G A6 Dieſes wichtige Geſetz kann man als den Ausdruck des Bildungsgeſetzes der Geraden anſehen, es zerfällt, je nachdem man zwei Verhältniſſe zuſammenſtellt, in folgende drei: A DE 0 9 AE Ad DE AE 20 FU A

Oder nach bekannten Veränderungen: K AE 20N lin ar 8 Dieſe Sätze zeigen nun, daß das Verhältniß der Entfernung AD zur Senkrechten DE daſſelbe bleibt, von welchem Punkte D oder F oder irgend einem andern Punkte man dieſe Entfernung auch annehmen mag; daß dieß auf gleiche Weiſe für das Ver— hältniß der Entfernung Ab zum Abſtande AE gilt und auch ſtattfindet zwiſchen der Senkrechten DE und dem Abſtande AE. Da alle dieſe Proportionen auch umgekehrt werden können, ſo ergeben ſich ſechs Verhältniſſe, welche für eine beſtimmte Rich— tung AB(Fig. 16) oder einen beſtimmten Winkel BAX konſtant ſind, wie auch die Entferuung 40 beſtimmt werden mag. Dieſe ſechs Verhältniſſe ſind: C AC 0 AD AC A0 und APD CD AD ADD und 655 Könnte nachgewieſen werden, daß ſich dieſe Verhältniſſe nur auf eine beſtimmte Richtung oder einen beſtimmten Winkel beziehen laſſen, ſo würde man durch ſie ein zweites Mittel haben, die Richtung einer Geraden zu beſtimmen; denn ein beſtimmter Zahlenwerth eines der ſechs Brüche würde ſich dann nur auf einen beſtimmten Winkel, alſo nur auf eine beſtimmte Richtung bezie— hen laſſen. §. 8. Der Winkel und ſeine Verhältniſſe beſtimmen ſich ge⸗ genſeitig. Der größeren Einfachheit wegen ſoll in der Folge nur von Winkeln die Rede ſeyn, welche 900 nicht überſteigen; der

22— Ausdehnung der Unterſuchung auf gröͤßere Winkel wird ein beſon⸗ deres Kapitel gewidmet werden. Man laſſe nach und nach die Linie AC(Fig. 17) alle Lagen einnehmen, welche ſie im rechten Winkel XAV von AX bis AX haben kann, und nehme ſie hierbei, der beſſeren Vergleichung mit der Senkrechten CD und dem Abſtande AD wegen, immer von gleicher Länge an. Fällt zuerſt AC mit AE zuſammen, ſo iſt kein Winkel und keine Senkrechte vorhanden. Wird der Winkel größer, ſo wird auch die Senkrechte größer, ein Wachſen des Einen bedingt eine Zunahme des Andern, die Senkrechte wächst mit 0“ von 0 an, bis ſie bei 900 zu AF AC AkE geworden iſt. Während der Winkel die Reihe von 0o bis 90o durchläuft, geht die Senk⸗ rechte von 0 bis AF fort, und es iſt kein Grund vorhanden, an⸗ zunehmen, daß bei beſtändigem Wachſen der einen Größe das Wachsthum der anderen in der Art unterbrochen würde, daß ver⸗ ſchiedenen Winkeln ein und dieſelbe Senkrechte, oder verſchiedene Senkrechten ein und demſelben Winkel entſprächen. Was nun für die Senkrechten gilt, gilt auch für die Ver⸗ hältniſſe, welche aus denſelben gebildet werden, wenn man ſie durch Ac mißt. Die Grenzwerthe dieſer Verhältnißzahlen ſind bei 0 νν σ o und bei 90 AC AC AC niß der Senkrechte zu AC wächst alſo von 0 bis 1, während der Winkel von 00 zu 900 übergeht, und einem beſtimmten Werthe aus der Reihe der Verhältnißzahlen entſpricht nur ein beſtimmter Winkel, ſo wie umgekehrt einem beſtimmten Winkel nur ein be⸗ ſtimmtes Verhältniß angehören kann. 0 1. Das Verhält⸗ Dieſelben Betrachtungen laſſen ſich mit den übrigen fünf Ver⸗ hältniſſen anſtellen, und man findet: 25) Einem beſtimmten Winkel gehören nur beſtimmte Werthe der ſechs Funktionen zu, und umgekehrt, einem beſtimmten Werthe einer der ſechs Funktionen entſpricht nur ein ein⸗ ziger Winkel. Und auch gleichen Winkeln gehören gleiche Werthe der entſprechenden Verhältniſſe zu, ſo wie gleichen

23 Werthen eines der ſechs Verhältniſſe nur gleiche Winkel angehören können. Man denke ſich nun, es ſeyen, auf irgend eine Weiſe, fuͤr jeden Winkel von 00 bis 900, von Grad zu Grad, von Minute zu Minute, von Sekunde zu Sekunde, dieſe ſechs Verhältniſſe be⸗ rechnet und in Tafeln in der Art zuſammengeſtellt, daß eine Kolumne den Winkel und ſechs folgende die ihm zugehörenden Verhaͤltniſſe enthalte, ſo würde man im Stande ſeyn, aus irgend einem Verhaͤltniſſe den Winkel und durch dieſen die Richtung der Geraden angeben zu können. Umgekehrt würde man aus dem durch die Nichtung gegebenen Winkel die demſelben zugehörigen Verhältniſſe aus den Tafeln aufzufinden im Stande ſeyn. Dieſe Verhältniſſe ſind es, welche in den Rechnungen erſchei— nen, und kein Winkel wird durch Rechnung unmittelbar, ſondern nur aus den Tafeln durch dieſe Verhältniſſe gefunden. Solche Tafeln ſind aber wirklich vorhanden, und um die Ver⸗ hältniſſe beſſer unterſcheiden zu können, hat man jedem einen Na⸗ men gegeben. Man nennt ſie zuſammen Funktionen des Winkels oder goniometriſche Funktionen. Bezeichnet man den Winkel BAX mit A, ſo ſind die Be⸗ nennungen der einzelnen Funktionen folgende(Fig. 16): 85 Æ sinus A * Æ conονσ. A 5 langente A —— cotangente A * secanie A ecbsecante A Der Kürze wegen ſoll in den ſolgenden Unterſuchungen AC εs, CD y, AD geſetzt werden, AC kaun man die Hypotenuſe,

CD die Senkrechte und AD die Baſis nennen. Dieſe Benennun⸗ gen haben Bezug auf den Winkel A, für C iſt x die Senkrechte und 5 die Baſis, s verhält ſich gegen beide Winkel auf gleiche Weiſe. Die goniometriſchen Funktionen ſind für die geſammte Geo⸗ metrie von der größten Wichtigkeit, daher die nächſten vier Kapitel den Unterſuchungen über ihren Zuſammenhang, ihre Veränderungen und ihrer Berechnung gewidmet ſind. Drittes Kapitel. Von den goniometriſchen Funktionen im Allgemeinen. §. 9. Vom Sinus und Coſinus. Die vorhergehenden Unter— ſuchungen haben gezeigt, daß, wie immer man auch 8 annehmen — mag, das Verhältniß X konſtant bleibt, ſich nur mit dem Winkel A ändert und folglich dieſes Verhältniß eine völlig gleichgültige Benennung gewählt und geſetzt(Fig. 16). 26) 5˙n. A= 5 ieſen vollkommen beſtimmt. Man hat für Man ziehe nun zu AKX die Gerade X ſenkrecht, ſo iſt der Winkel XXX ein rechter, und die Linie AB theilt dieſen Winkel in zwei Theile, welche alſo zuſammen R= 900 ſind. Nun iſt aber der Parallelität von AV und DC wegen IABÆ= ACb als Wechſelwinkel; hieraus folgt nun, daß da( YAB ＋, BAX 90, auch ACD ＋ L BRX 90⁰ oder AT＋T Cν V900 Die Winkel A und Cbeſtimmen ſich mithin gegenſeitig, durch den einen iſt auch der andere gegeben. Die Linien x und„ſind zu einander ſenkrecht, eine jede iſt alſo die Senkrechte der andern, die dem Winkel gegenüberſtehende n 90e

Senkrechte iſt y und die dem Winkel C entſprechende Xx. Die Linie s verhält ſich gegen beide Winkel und beide Senkrechten auf gleiche Weiſe. Die Gleichung 26 läßt ſich jetzt auch ſo auffaſſen: Der Si— nus eines Winkels iſt deſſen Senkrechte durch die Hypotenuſens gemeſſen. Wendet man dieſes auf den Winkel C an, ſo erhält man 8 5 X Dieſes Verhältniß bezieht ſich nun zwar auf C, jedoch mittelbar auch auf A, da A durch Cgegeben iſt. Soll nun durch dieſes zweite Verhältniß der Winkel& beſtimmt werden, ſo ſucht man 5 den Zahlenwerth des Bruches als Sinus, in den Tafeln auf, ihm zur Seite findet man den Winkel C, zieht man dieſen von 900 ab, ſo hat man A. Man findet alſo den Winkel A con sinu des Ergänzungs⸗ winkels. Sind Tafeln ſo eingerichtet, daß in einer neuen Kolumne ſogleich der Winkel& ſteht, ſo daß man alſo nicht erſt nöthig hat, von 90o abzuzählen, ſo kann man hierdurch das obige Verhältniß ſogleich auf& beziehen. In dieſer Beziehung ſetzt man 8 X 28) cos. A Æ V, 8 indem man durch dieſe Benennung die Art und Weiſe feſthält, wie A aus aufgefunden werden kann. Die Gleichungen 27 und 28 führen ſogleich zu folgender: 29) cos. A sin. C cgsin.(90.— A) n= cosg.= cos(900 0) Was aber für den einen Winkel gilt, gilt auch für den andern, ſo daß man C und A vertauſchen kann, wodurch: 30) sin. A cCοs. C= cos.(90— A) Die Gleichung 29 zeigt, daß, wenn man alle Sinuſſe von 0o bis 90o kennt, dadurch auch die Coſinuſſe gegeben ſind. Setzt man z. B. A=◻ 0, 10, 20... 90, ſo wird

cos. 00= ein.(90— 0) S ein. 900 ＋ c06. 100 ein.(90— 10) gin. S800 cos. 200 S ein.(90—20) sin. 70⁰ 1u1 cos. 300 sin.(90—30) ein. 60⸗ c06. 900 3in.(900-90) sin. 00 Hat man daher Sinustafeln, welche von 0 bis 90“ gehen, ſo darf man nur die Winkel in umgekehrter Ordnung beifügen, u⸗ um ſie auch für Coſinuſſe einzurichten. Alnn Hat man dagegen Tafeln, welche die Sinuſſe und Coſinuſſe 4 von 00 bis 450 enthalten, ſo geben ſie auch durch Anfügung der 3 Winkel in umgekehrter Ordnung alle Sinuſſe und Coſinuſſe von 00 bis 900. 6in. 00= cos. 900 und cos. 0 σ Fsin. 90 ein. 50 cos. 850„ cos. 5%= sin. 850 4. A5 6in. 100 cos. 800„ cos. 10% ν sin. 800 E zin. 400 cos. 500„ cos. 400 ν esin. 500 6in. 450 Ccos. 450„ cos. 45 sin. 450 §. 10. Von der Tangente und Cotangente. Zwiſchen Tan⸗ gente und Cotangente finden dieſelben Beziehungen wie zwiſchen ＋6 Sinus und Coſinus ſtatt. Es iſt 31) fang. A 1 Die dem Winkel entſprechende Senkrechte, durch die Baſis gemeſſen, iſt die Tangente. Daher auch 32) tang. C Bezieht man dieſes Verhältniß auf den Winkel A, ſo iſt 33) cot. A ga! mithin ur 34) cot. A= lang. C= kang.(90— A) os und auch 0 35) fang. A col. C cot.(90- A) Ueber die Einrichtung der Tafeln für Tangenten und Cotangenten

findet daſſelbe ſtatt, was für Sinus und Coſinus angeführt wor⸗ den iſt. §. 11. Von der Secante und Coſecante. Die Betrachtungen der vorhergehenden Paragraphen ſinden auch hier ſtatt; iſt 36) bec. K 8 X ſo iſt 8 Dee. 0= 1 und auf A& bezogen 8 38) cosec. X 0 daher ö 39) cosec. A gec. C== sec.(90— A) und 40) sec. A cosec. C= cosec.(90— A). §. 12. Grundbeziehungen der ſechs goniometriſchen Funktionen. Ein beſtimmtes Verhältniß iſt ſchon hinreichend zur Beſtimmung des Winkels, und ſomit der Richtung der Geraden. Durch eine Funktion ſind daher die übrigen beſtimmt und müſſen ſich durch dieſelben darſtellen laſſen; hierzu wird jedoch erfordert, daß man den Zuſammenhang der ſechs Funktionen kenne. Dieſer Zuſammen⸗ hang kann nur allein aus einer Verbindung der Gleichungen 26, 28, 31, 33, 36, 38 erkannt werden. Man multiplicire 26 mit 33 und vergleiche das Produkt mit 28, ſo wird ä 8 Auf gleiche Art wird aus 26 und 36, verglichen mit 31, ber, A lang. A 8 R* Aus 26 und 38 wird ebenſo 43) sin. A. cosec. A ρ 1 28 und 31 gibt in Verbindung mit 26 4%0 cos. A. kang. K 8 K* 8

Aus 28 und 36 wird 0 45) cos. A. sec. KA= 1 150 el0 1 28 und 38 führen durch 33 zu R* 46) coS. A. cosecc. K. Se col. A 10 K 3 Aus 31 und 33 erhält man 6 47) tang. A. cot. A ν 1 31 und 38, mit 36 verbunden, geben 48) ſang. A. cosec. K N.= ◻(tec. A f ble 11 Zuletzt findet man aus 33 und 36 in Verbindung mit 38 49) cot. A. Sec. A cCooséc. A. 191 N X L 97);La §. 13. Abgeleitete Geſetze. Aus den vorhergehenden Glei⸗ chungen ergeben ſich nun leicht folgende Ableitungen. Aus 41 15 45 coS. A 0„„„........ f0 50) 3½n. A* 10 0 und C08. A 51„jͤEE· SIn. X 0 Aus 42 6 ban 35 52) Sen. A Sec. A und tang. A 53——— Ein. A 00 Aus 43 5 555˙— n———— cosec.& und 55) coSeg. A „FNVEßvin. A Aus 44 56) Co. K& tang. A und 57) kang. A 5 coS. A

Aus 45 1 58.A 2 Sec. A und eo 4 cos. A Aus 46 ⏑ Col. A cosec. A und cot. A 10 61) cosec Aus 47 20 cot. A und cot. 3 Aus 48 Sec. A coSec. A und §Sec. A ää tang. A Aus 49 66) cot.. A ecosec. A Sec. A und cosec. A ä cot. A §. 14. Neue Grundgleichungen und ihre Ableitungen. Außer den bereits angeführten Relationen gibt es noch andere, welche ſich aber nicht aus den vorigen ableiten laſſen. Man ziehe(Fig. 18) DE ſenkrecht zu AB, ſo iſt CD 5 zin. a und 6En. n1— 8 d daher C Ae

Eben ſo iſt EI—— A un 28.—— AD daher AE AE sin.. oin. m 5 A Zählt man dieſe beiden Gleichungen zuſammen, ſo entſteht: 6in. a. 6in. n ＋ sin. C. sin. m 02 ＋ AC AC — CE AC K Nun iſt früher§. 9 gefunden, daß, wenn zwei Linien zu einander ſenkrecht ſind, die Winkel, welche ſie mit einer dritten Geraden bilden, zuſammen 90“ ſind; demnach iſt e＋n π 1900 und a m= 90. Zugleich iſt aber auch a ＋ 90⁰, und ſomit n⸗= a und m e, was ſich aus einer Verbindung der letzten Gleichung mit jeder der beiden erſten ergibt. Nach 25 haben nun gleiche Winkel auch gleiche Sinuſſe: gin. n S sin. a und sin. m bin. 0. Die obige Gleichung geht dadurch über in: 6in. a. sin. a ＋ sin.. sin. G= 1 oder in: (Sin. a)? ＋(sin.)2 ν l. Nach 29 iſt sin.( cos. a, daher, wenn wieder A an die Stelle von à geſetzt wird, 68)(Ein. A)2 ＋(cos. A)?2 ν 1. Aus dieſer Wahrheit leitet man leicht zwei andere, nicht minder wichtige, ab. Wird 68 zuerſt durch(Ein. A)2 und dann durch(cos. A)2 gemeſſen, ſo entſteht: ＋(cos. A)2 f (sin. A)2(sin. A)2 und (6in. A)2 — 1 (cos. A)“ 3(cos. A)2

Oder auch C0. A 2 f 2 6 n. X) 37 8 A ein. A N 1 (.** AQεαε er erſte Ausdruck verwandelt ſich mit Hülfe von 51 und 55 in 69) 1 ＋7(cot. A)2(eosec. A)2 Die zweite Gleichung aber mit Hülfe von 57 und 59 in 70)(Cang. A)? ＋ 1= f(ec. A)2 Es iſt früher gezeigt worden, daß, wenn man die Sinuſſe berech— net hat, dadurch auch die Coſinuſſe gegeben ſind. Die Gleichung 68 zeigt nun weiter, daß man nur die Sinuſſe der erſten 450 zu kennen braucht, um aus dieſen mit Leichtigkeit die ganze Reihe der Sinuſſe zu erhalten. Setzt man in 68 nach 29 cos. A s8in.(90— A), ſo wird und 1 sin. A2 ＋ sin.(90— A)2 daher sin. A2 1— cos.(90— A)2 Iſt nun A= 450, 509, 550.. 900, ſo iſt oin. 450 oein. 450) sin. 50% ◻ VNV(1— in. 4002) n. 55%(Fin 35 sin. 90⁰ M 1— sin. 0) D ie erſte dieſer Gleichungen gibt 2 Eein. 45002 1, alſo sin. 450 r, ſomit: sin. 45%nß VIÆIVIÆo, 707 106 781 186 Die folgende Tabelle enthält die Formeln, durch welche aus einer Funktion die übrigen fünfe dargeſtellt werden können. Darſtellung der fünf Funktionen durch den Sinus. 71) eos. AÆVNV( sin. X2) Aus 68 Sin. A 5—————— 37 uU. 71 XV(I— sin. A2)

73) cot. KA 75) cosec. A Æ α Sin. X— kbin. A2) A¹ Alle Funktionen durch den Coſinus dargeſlellt. 76) ein. KA V Lobs. A2) 78) cot. K 0 1 79) Sec. A 73 80) cosec. X V. e VI— cos. A2) Die fünf Kunktionen durch die Tangente ausgedrückt. 81)§an. ARA= * 83) cot. 84) Sec. RA Xd Y＋J(ang. A2) — * — — ＋ S 85) cosec. A rrr— Uelationen, welche zwiſchen der Cotangente und den fünf andern 86) sin. A 87) cos. KA F VIII＋ col.

88) tang. A,,,- Aus 62 coł. A co. A2 67 u. 69 Cok.& 90) cosec. A m V(1 ＋＋ cot. A2) 69 Gleichungen, welche die übrigen Kunktionen durch die Secante darſtellen. Geee 9gein. X Aus 52 u. 70 sec. A ——— 58 Sec. A eaiie(ee&r 1) 70 94. 53 u. dot.& 63 u. 93 EC. 8 95) cosec. A 65 u. 93 V(Sec. A2— 1) Formeln, um die fünf Funktionen durch die Coſecante darzuſtellen. 96) 6in. A 1 Aus 54 cosec. A 5 A2— 1) ä 60 u. 69 cosec. A 1 98) f XK·· 62 u. 69 M(cosèec. A2— 1) ee e(eosee 69 100) Sec. A 67 u. 99 5 V(cosec. A2— 1) Viertes Kapitel. Von den goniometriſchen Funktionen im Beſondern. §. 15. Ausdehnung der vorhergehenden Unterſuchungen auf Winkel, die größer ſind als 900. Die bisherigen Betrachtungen beziehen ſich nur auf Winkel, die 900 nicht überſteigen. Soll die Arneth, Geometrie. 3 1111

34 Unterſuchung auch auf größere Winkel ausgedehnt werden, will man die im F. 8 gemachte Beſchränkung aufheben, ſo werden die nachſtehenden Unterſuchungen nothwendig. Es ſeyen XXI und WII zwei zu einander ſenkrechte Geraden (Fig. 10. Man denke ſich nun die Gerade, nach und nach, alle Lagen annehmend, welche, von A angefangen, durch alle vier Rechte mög— lich ſind, oder man laſſe den Winkel von 0o bis 360“ wachſen. Hierbei unterſuche man nun, wie ſich Xund y verändern, wenn manls immer von derſelben Länge annimmt. Iſt der Winkel 0“, ſo iſt die Senkrechte=Æπ 0, und x hat ſeinen größten Werth AC ν˙s. Mit dem Winkel nimmt Nzu und Xx nimmt ab, bis bei 90o„ ſeinen größten Werth ADñ νs erreicht hat und X ν 0 geworden iſt. Wird der Winkel größer als 900, ſo wird die Senkrechte wieder kleiner, X nimmt wieder zu und bei 1800 iſt y ◻ und AE s geworden. Ueberſteigt der Winkel 1800, ſo nimmt 7 wieder zu und x nimmt ab, bis bei 2700 AF= s; àne worden iſt. Im vierten Rechten wird J wieder kleiner, X nimmt zu und bei 3600 geſtaltet ſich Alles wieder wie bei 0, Yiſt 0 und Xx Æ ACÆ s geworden. Bei dieſen Uebergängen erkennt man, daß die Werthe von y und x in den vier Rechten ſich wiederholen. So wie Y von 0 an wächst, bis es bei 90»l ſein Maximum 8 erreicht hat, ſo nimmt es ab von 900 bis 1800 und durchläuft dieſelbe Reihe in umge— kehrter Ordnung. Von 1809 bis 360“ wiederholen ſich alle Werthe in derſelben Ordnung wie von 0»bbis 1800, nur daß in den beiden erſten Rechten yüber XI, und in den beiden anderen unter dieſer Linie liegt. Bei 00 hat x ſeinen größten Werth s und iſt bei 90o zu 0 geworden. Aus 0 erhebt es ſich wieder und durchläuft von 90⁰ bis 1800 dieſelbe Reihe, nur in umgekehrter Ordnung. Von 1800 bis 3600 wiederholen ſich alle Werthe von din derſelben Ordnung, wie von 0o» bis 180o. Die Richtung von X iſt im Mut ＋ Rie N* An 00 4)/

35 erſten und vierten Rechten dieſelbe, im zweiten und dritten aber die entgegengeſetzte, im erſten Falle rechts, im andern links von V Wenn man eine Gerade AC nach einer beſtimmten Richtung AX hin gebildet hat, dieſe Richtung als die urſprüngliche, erſte anſieht, ſie mit T bezeichnet, und dieſe Linie durch irgend eine Veränderung nun abnimmt, bis ſie= 0 wird, die Abnahme auch über dieſen Punkt hinaus noch andauert, ſo wird eine neue Linie AXI gebildet, nach einer Richtung, welche der erſten AX entgegen— geſetzt iſt, welche daher als die zweite, negative, angeſehen werden muß.(Vergl.§. 2. Enthält z. B. ACà Längeneinheiten, ſo wird Xx= J« die Linie A0 bedeuten, welche nach der erſten Richtung AX hin ge⸗ bildet iſt. Der Buchſtabe X bezieht ſich hier auf XXI oder auf Richtungen, die dieſer parallel ſind, à beſtimmt die Länge und das ⸗Zeichen die Bildung nach Rechts, von A nach X hin. Auf gleiche Weiſe wird x=— à die Linie AE darſtellen, welche in XXI liegt oder zu dieſer parallel iſt, deren Größe à iſt und deren Richtung AXI die entgegengeſetzte von AX iſt. Daſſelb be läßt ſich auf Linien anwenden, die, wie die Senk— rechte y, der Richtung XV. angehören. Nimmt man an, die Richtung nach oben hin, nach AV, ſey die erſte, poſitive, ſo wird die nach unten hin, nach AVi, mit— bezeichnet werden müſſen. Die Gleichungen y= 6 und y=— 6 bezeichnen zwei Linien von gleicher Größe und entgegengeſetzter Richtung, die eine liegt oberhalb, die andere unterhalb XXI und ſind zu dieſer ſenkrecht. Dieſe Betrachtungen, vereint mit den obigen, geben nun für die Veränderungen von X und„bei dem Uebergange des Winkels von 0»zu 3600 folgende Reſultate: a) y wächst mit dem Winkel von 0 an und erreicht bei 900 ſeinen größten Werth 8, nimmt von da an ab und wird bei 180» wieder 0. Nachdem„durch 0 gegangen iſt, nimmt es nach der negativen Seite hin wieder zu— was eine fortgeſetzte Abnahme iſt— und erreicht ſeinen größten negativen Werth 8, ſein Minimum, bei 2700. Im vierten 3*

36 Nechten werden die negativen Werthe von„ eimmer kleiner N— V ealſo wieder größer— bis bei 3600/= 0 wird. pb) x„ hat bei 0“ ſeinen größten Werth 8, nimmt von da an ab und wird bei 900= 0. Durch den Nul lpunkt gegan⸗ gen, tritt es auf der andern Seite wieder hervor, wird negativ und erreicht bei 180“c ſeinen größten negativen Werthe s. Im dritten Rechten werden die negativen Werthe von Xx wieder kleiner— x nimmt wieder zu— und bei 2700 iſt x= 0 geworden. Im vierten Rechten iſt X poſitiv, nimmt zu und erlangt bei 360“ wieder ſein Maximum s. c) Die Linie s, welche bei allen dieſen Veränderungen als kon⸗ ſtant angeſehen worden iſt, kann dieſer ihrer Unveränderlichkeit wegen in ihren 1695 enen Lagen keinem Zeichenwechſel unterworfen ſeyn. Die Eigenſchaft der Unveränderlichkeit von s iſt zwar keine nothwendige; da aber bei allen Unter— .„ ſuchungen dieſe Linie nie allein auftritt, ſondern immer in Vergleich mit X und Y, ſo iſt doch, nach 19 bis 23, das Reſultat daſſelbe. d) Die Werthe von Xx und 7 wiederholen ſich in den vier Nechten, abgeſehen von ihren Zeichen, auf gleiche Weiſe und in der Art, daß ſie in jedem folgenden RNechten die um⸗ gekehrte Reihe wie im vorhergehenden bilden. e) Man kann den erſten Rechten als fünften, den zweiten als ſechsten u. ſ. w. annehmen und ſo Winkel erhalten, die größer als 360“ ſind. Für ſolche Winkel kehren aber die Veränderungen von X und§ von vier zu vier Rechten wie— der, und man hat im 1,5,9,ten R; 2,6,10,.,ten R; 3,7,11/ ten R; 4,8,1 12,, ten R j f) Sind(Fig. 20) die Winkel BAC und EAF gleich und a, ſo ſind auch, wenn 36 und ED gerade Linien ſind, DAC und 6AF gleich und S a. Iſt ferner AB ◻ AE= AG Æ AD Æs, ſo ſind auch die x und y der vier Winkel, der Größe nach, einander gleich, weil

ſonſt ihre Verhältniſſe zun s nach 25 einander nicht gleich ſeyn könnten. Es iſt nun, wenn die Winkel nach oben hin und immer von AX aus gezählt werden: B4= 4 für dieſen nn EACÆ R- a„»„‚„Xr=—E= GAC S= 2R A2„„ ˖ R—···X»TiN 8 SDAC=IER S BKR„ SERCSER ···· Hieraus ergibt ſich nun, daß den Winkeln A„R a, AR 4 6gR allen daſſelbe poſitive yangehört. Daß ferner allen Winkeln 2 R T a, 4 R— a, 6R T a,S R a σ daſſelbe negative„entſpricht. In Bezug auf x findet man, daß die Winkel R a, lRR daſſelbe poſitive x haben und den Winkeln AR 32, 2 R Ta, 6R a, 6Rͤ.. gleiche negative X entſprechen. g) Die Ausdehnung der Unterſuchung auf ſtumpfe Winkel hat daher die Folge, daß ein beſtimmtes Verhältniß, nicht mehr als einen einzigen Winkel beſtimmend, angeſehen werden kann, ſondern einer ganzen Reihe von Winkeln angehört. 5 8 und ſo die übrigen, wie dieß die nächſten Paragraphen dar— ſtellen. Die Wahrheit 25 erleidet hierdurch eine Aenderung und geht in nachſtehenden Satz über. 3 2 So entſpricht z. B. das Verhältniß der Winkelreihe pricht z ‚ h) Einem beſtimmten Winkel gehören nur beſtimmte und ein— zige Werthe der ſechs Funktionen zu; aber einem beſtimmten Werthe einer der ſechs Funktionen kann eine ganze Reihe von Winkeln entſprechen, wovon jedoch keine zwei in

denſelben Rechten fallen können G. 8). Der Winkel wird aber vollkommen durch einen beſtimmten Werth einer der ſechs Funktionen beſtimmt, wenn noch ferner angegeben wird, 4 in welchen Rechten die Richtung von s fällt. 10 Hieraus folgt weiter: N i) Gleichen Winkeln gehören gleiche Werthe der entſprechenden N＋ Funktionen zu, gleichen Werthen irgend einer der ſechs Funktionen werden aber nur dann gleiche Winkel entſprechen, 0 wenn ſie in denſelben Rechten fallen oder eine gleiche An— N zahl von Rechten umfaſſen. k) Läßt man den Winkel, wie im Vorhergehenden immer an— genommen wurde, nach oben hin wachſen, und nimmt man die Winkel nach dieſer Richtung erzeugt als poſitiv, ſo wer⸗ den die Winkel, die nach der entgegengeſetzten Nichtung, nach unten hin, gebildet werden, als negative Winkel angeſehen werden müſſen. In dieſer Beziehung mögen nun die gleichen Winkel BAC und DAC ig. 21) ſtehen, der erſte ſoll ſeine Bildung nach oben hin, der andere nach unten hin er— halten haben. Nimmt man nun bei dieſen Winkeln das 8 gleich an, alſo AB=π A0, ſo werden in beiden, von ihrer 0 Lage abgeſehen, X und J. dieſelbe Größe haben, weil ſonſt die Verhältniſſe, aus dieſen Größen und 8 gebildet, für beide gleiche Winkel nach 25 nicht gleich ſeyn könnten. Mit Rückſicht auf die Lage hat man nun für 4 und für— a „„ wodurch auch die Veränderungen von„ und J für negative Winkel beſtimmt ſind. Nachdem man nun die Veränderungen kennen gelernt hat, welchen Xx und y unterworfen ſind, wird es leicht ſeyn, die Ver⸗ änderungen der, von dieſen Größen abhängigen, Funktionen zu verfolgen. F. 16. Van dem Sinuſſe. Nach dem vorhergehenden Para— graphe iſt es nun leicht, für den Sinus folgende beſondere Reſultate zu erhalten(Fig. 20). . 00 Ii 5) In U

0 101)— 2Æ2 0 e 102)——— 2 H1 103) sin.(2R— a) 5— sin. a 104) sin. 2 R 3—— 0 ＋ 105) sin.(2R＋ a) 10——— E Fgin. a 106) sin. 3 R———1 A 8 107) sin.((R— a) 155—— Fbin. a 108) R III 0 28 109) sin.(4R a—— 2— 110) ein. 5 R— ＋ 1 F L vᷣ 111) sin.(6R— a) 8—f— AE 8 0 113) sin.(6R＋ a) 55.———Fin. a u. ſ. w. Bedeutet n eine ganze poſitive Zahl, oder iſt n= 0, 1, 2, 3... ſo laſſen ſich die vorhergehenden Geſetze allgemein dar— ſtellen durch: 114) sin. ànR 0 Sen.(an 4- 1)ͤ R 1 e

— 40— sin.((Au ＋ 2) R—⏑⏑ sin.(anR ＋ a) A.((in 4. R T a) A sin.(AnR— a) Einem poſitiven Sinuſſe entſprechen alſo die Winkel a, 2 R— a, 4R ＋ a, 6R— a, 8 R ＋ a, 10 R— a und einem negativen die Winkel 2R 4 a, 4R—— a, 6 R ＋ a, 8R— a, 10 RTa... Für negative Winkel hat man 115) sin.— a AD 8 Setzt man in 30 KA ◻ ⁊= a, ſo erhält man: gin.— à= Cos.(90 a) daher mit Hülfe von 115 116) cos.(90 ＋ a)= ĩsin. a §. 17. Pom Coſinus. Wächst der Winkel von 0 agan, ſo ergeben ſich folgende Veränderungen für den Coſinus: 117) 605. 0ů 12——— ＋ 1 AC 0 118) 6 9 0 119) cos.(2 R— a) 8——— 8= dcos. a AM— 8 120 2..·... 0 co. 2 R IV 1 121 e% R 3— Ecebs. a 122 6553. 3R 0 123) cos.(4 R— a)—5 cos. 4 8 124 cos. 4 R ＋ 1 25 cl0

125) cos.(4R ＋＋ a) 0 9869——— 126) 605 R* 0 AF—* 5 5 2. TTT 1— 127) cos.(6 R— a) cos a AM 8 ———————p———2—?——— 1280 608-ſ0 R 1 AF—— 9 22————— 129) cos.(6R ＋ a)„ coS. a w. Iſt n O0, 1, 2, 3.., ſo kann man dieſe Gleichungen in folgenden allgemeinen Ausdrücken zuſammenfaſſen: 130) cos.(àn ＋ 1) R 0 606. An R ＋ 1 cos.(an ＋ 2) R— 1 cos.(AnR ＋ a)= ＋ cobs. a cos.((in ＋ 2) R I a)=== cos. a Hiernach entſprechen alſo einem poſitiven Coſinuſſe die Winkel: RR RR und einem negativen die Winkel: a, nͤn, Für negative Winkel erhält man: ＋ ll AC X 131) cos.— a cos. E a Wird nun in 29 A== aq geſetzt, ſo wird: co.— à S sin.(90 ＋ a); 1 daher auch: 132) sin.(90 ＋ a) cos. a §. 18. Von der Tangente. Die Geſetze der Veränderungen der Tangente laſſen ſich aus denen der Sinuſſe und Coſinuſſe nach§. 13 Nr. 57 ableiten, aber eben ſo leicht auch aus der Figur ſelbſt.

75 133) tang. 0 0 lang. a— 134) tang. 1R 9- ο 135) fang.(R ⏑9.ů banſl. a 136) tang. 2 R——— 0 137) tang.(2R＋ a)—— lang. a 138) tang. 3 R— 0 139) lang.(4R a) E kang. a 140) tang. 4 K 2 8 8 141) fang.(4R＋ a)—=bang 120 ang. 5 k O 143) fan9.(ſR—) ννσ ε ilang. a 140 kang. 6R 0 145) tang.(6R＋a)—* tan9. a b. Die allgemeine Form dieſer Ausdrücke iſt: 146) fang. 2nR 0 tang.(n ＋ 1) KR O0 tang.(àn R ＋ a)= ＋ lang. a lang.(nR— a)= E lang. a Einer poſitiven Tangente entſprechen daher die Winkel: a, 2R Y a, 4R ＋ a, 6R K a, SR a, W50 6 150 75

2R und einer negativen die Winkel: i R, Für die Tangente des negativen Winkels iſt: —— 147) lang.— a ktang. a Setzt man nunmehr in 35 A= V a, ſo wird: lang.— a cCot.(90 ＋ a) mithin: 148) col.(90 ＋ a)== kfang. a §. 19. Von der Cotangente. Die Geſetze für die Cotan⸗ gente ſind: 149) eol 0—05 0⁰ 0t. 85 8 0 150) cot. 1 R —X X 151) cof.(2R— a) bee ) 0 0 5 7 152) 8 0 —X X 153) cot.(2R ＋ a) N 0 154)— eine 5 156) col. 4 KR ο ον Oο 2 8 157) cot.(4KR ＋ a) 3 E01. 2 0 158) W 0 159) cot.(6R— a)

160) cot. 6R 2 5—— 00 —xð 161) cot.(6R ＋ a) cot. a u. ſ. w. Iſt n 0, 1, 2, 3..., ſo laſſen ſich allgemeiner dieſe Geſetze zuſammenfaſſen in: 1620 cot. nR 00 cot.(n ＋ 1) R col.(nR ＋ a)= ＋ cCol. a col.(n R— a)=— col. a Einer poſitiven Cotangente gehören alſo die Winkel an: a, 2R T a, 4R J a, 6R ＋ a, SR ＋ a, und einer negativen die Winkel: 2R a, aR— a, 6R— a, SR a, Für die Cotangente des negativen Winkels iſt: „66RRTXb a N N Wird in 24— a ſtatt A geſetzt, ſo entſteht: cot.— a ν fkang.(90 ＋ a); daher mit Zuziehung des Vorſtehenden: 164) fang.(90 ＋ a) π= colt. a 163) cot.— a §. 20. Von der Secante. Bei dem Uebergange des Win⸗ kels von 00 zu 900, 1800, 2700 u. ſ. w. verändert ſich die Secante auf nachſtehende Weiſe: 165) 8 . X 166) sec. 1 R 0 0 167) sec.(2R— a) — X* 168) 140) K „7 IY e 10

169) sec.(2 R＋ a) ee * 8 170) Sec. 3 R 0 00 8 8 171) Ssec.(4R— a) der. 6 172) Sec. 4 R 1 8 173) sec.(4R＋＋ a) tec. a 8 8 174) Sec. 5 R 0 0 S 175) sec.(6R a) 8 176) Sec. 6 R2 5—— 177) sec.(6R ＋ a)—. deet a u. ſ. w. Hiernach ergeben ſich folgende allgemeine Ausdrücke für eelnR 1 Sec. An ＋ 20 R— 1 S(In 1 0 sec.(InR ＋ a)= ＋ Sec. a Ssec.((An ＋) R 4 a)— sec. a Ein und derſelben poſitiven Secante kann ſomit die Winkel— reihe angehören: a, 4R— a, 4 R ＋ a, 8SR— a, 8SR T a, und einer negativen die Reihe: 2R— a, 2R ＋ a, 6R— a, 6R a, Für die Secante des negativen Winkels erhält man: 75 AD cc Setzt man nun in 40 4 ◻= a, ſo entſteht: Sec.— à cCoséc.(90 ＋ a);

daher auch: 180) cosec.(90 ＋ a) seéc. a. §. 21. Von der Coſecante. Die Veränderungen, welche die Coſecante durch das Wachsthum des Winkels erleidet, ſind: 8 00 1810 cosEc. 0 80 4 8 cosec. a—- 7 8 0 Ultt 182) cosec. 1ů R 1 8 3 183) cosec.(2 R-a cosec. a 5 f 105 C 8 184) Esee. 0 8 8 185) coSec.(2 R Æa„„ 60 88 1000 4 186)( 3— 1 8 8 187) cosec.(4KR a)„„ 00³e 8 8 188) coSec. 4A R 0⁰ 8 t 189) cosec.(A4 R＋ο cosec. a 8 190) coSec. 5 R 1 8 8 1910 cosec.(6R a) 73 ＋ Coòec. a 1920 cosec. 6R 0— 00. 193) cosec.(6R＋άaο⁰ 7„ 90 7 654 Iſt n, 1, 2, 2..., ſo ergibt ſich aus dem Vor⸗ ſtehenden folgendes Geſetz:

194) cosec.(àn ＋ 1)0 RS ＋＋ 1 cosec.(an ＋ 3) RS2— 1 cosec. 2n R CC00 cosec.(AnR ＋ a) cosec.((an ＋ 20 R— a) T, cosec. a cosec.((àn ＋ R ＋ a) cosec.(AnR— à) Einer poſitiven Coſecante entſpricht daher die Winkelreihe: % 2R— a, 4R 4 a, 6R a, SR„ und einer negativen die Winkel: R iR„ 6R S8R„ Die Coſecante des negativen Winkels gibt die Gleichung: 8 8 — Cosec. à 195) cosec.— a·(Cbοeg. a N Wird nun in der Gleichung 33 A=— a geſetzt, ſo wird: cosèec.— a π sec.(90 ＋ a), mithin: 196) sec.(90 ＋ a)= E cosec. a Die Unterſuchungen dieſes Kapitels haben zu dem Reſultate geführt, daß die goniometriſchen Funktionen ſtumpfer Winkel keine neuen Werthe erhalten, daß ſie alle auf die Funktionen der Winkel der erſten 90 zurückgeführt werden können. Was die Sätze über die Beſtimmung des Winkels durch die Funktionen und umgekehrt betrifft, ſo ſind dieſe ſchon im§. 15 angeführt worden. Fünftes Kapitel. Von den Funktionen zuſammengeſetzter Winkel. §. 22. Vom Sinus und Coſinus. Beſteht der Winkel BAX (Fig. 22 und 23) aus zwei Theilen a und b, ſo kann die Frage aufgeſtellt werden: Wie laſſen ſich die Funktionen des zuſammen— geſetzten Winkels aus denen der einzelnen Winkel a und h auffinden?

48 Sind die beiden Winkel a und b kleiner als 1800, ſo ziehe man aus irgend einem Punkte C von AB mit AD die Parallele ſlit be C6, auf dieſe die Senkrechte AF und von C auf AX die Senk⸗ rechte CE, ſo iſt: CE sin.(a ＋ b) Vervielfacht man dieſen Bruch mit: ee „ EN ſo wird: CE(CF ＋ FG) e CE. CF 5 CE. TFG 08 AC. CG CE Im zweiten Theile dieſes Ausdruckes iſt(66 der Sinus von 0 AE m; dieſer kann aber auch erſetzt werden durch K60 hierdurch wird: A4 CE CKAF KE 6 An.(a 4. 5)= A9⁰. οο⏑ g CE CF FG AE u ＋ f ‚‚ 4 Da nun Ruüe CE CF 15 uem und 76 A h K6 C0sS. m 5 A„ ſo iſt: sin.(a ＋ b) sin. m. cos. n ＋ cos m. sin. n Der Parallelität von AD und CG wegen iſt aber m=S a und* n Sb, folglich nach 25: Wn Sen, i ein. à Sin. n sin. b co. m eCos. a C und ſomit: 197) sin.(a b) sin. a. cos. b ＋ cos. a. sin. b

bei denſelben Vorausſetzungen in den Figuren 24 und 25: — EC Sin.(a EC 60 K 60 EC(GF 4＋ F0) 606 EC CF EC GF 60**4—0 EE U EC CF GF AF 6 A A —— Sin. m. C0S. n— CoS. m. Sin. N Iſt nun der Winkel kleiner als 270», ſo iſt(Fig. 24): à ‚m 180 und bn 1800, daher: m ν 180— a und u⸗ 180— b, mithin: sin.(a ＋ b) csin.(180— a). cos.(180— b) — cos.(180— a). sin.(180— b) und ſomit, wenn 103 und 119 zu Hülfe genommen werden: sin.(a ＋ b) sin. a. cos. b T cos. a. Sen. b Iſt aber a Tb auch größer als 2700, ſo iſt(Fig. 25) a 180 Æm und b n, mithin: sin.(a ＋b)= sin.(a— 180). cos. b— cos.(a-180).§in. b sin.(180— a). cos. b — Cs.—(180— a). Sin. b Dieſe Gleichung geht mit Zuziehung von 115 und 131 über in: Sin.(a b) sin.(IS0—a). 008. b— C056.(1S0—a). 67n. b, daher wieder, wie oben, mit Hülfe von 103 und 119: §in.(a ＋ b) sin. a. cbs. b ＋ cbs. a. sin. b Hieraus erſieht man nun, daß das Geſetz 197 immer ſtatt⸗ findet, wie auch die Richtungen AB und 4D oder die Winkel a und b beſchaffen ſeyn mögen. Da es albſo gleichgültig iſt, welche 4 Arneth, Geometrie.

Werthe man für a und b ſchreibt, ſo kann man auch 90 ＋ a an die Stelle von a ſetzen, hierdurch wird: Sin.(90πh⁊bqfb) fgin.(90 Pa). cos. b ＋ cos.(90πhꝓh). 6in. b Verbindet man hiermit 116 und 132, ſo wird: 198) cos.(a ＋ b) ecos. à. Cos. b. zIin à ii. Iſt der Winkel BAX der Unterſchied zweier Winkel a und h Fig. 26), ſo läßt ſich der Sinus dieſes Unterſchiedes auf die Sinuſſe und Coſinuſſe der einzelnen Winkel zurückführen. Es iſt: CE CE FG ＋＋ CF) sin.(a— b)= K0—— CE. FG E E V93 AF Im erſten Theile iſ 917 sin. n ν6“ daher: 3 K0 EE˖ AF FG CEFE CE A‚ Fin. m. Cos. n ＋ 0o. m. Sin. n Nun iſt m ＋ a= 1800, alſo m⸗= 180—3a und n daher: 5in.(a-b) fsin.(180—a). C0s. b ＋ Cos.(180—a).§In. b Mit Hülfe von 103 und 119 wird hieraus: 199) çin.(a— b) sin. a. Cos. b— cos. a in 5 Setzt man hierin wieder 90 Ta an die Stelle von a, ſo wird in Verbindung mit 116 und 132: 200) e%(à b)= cos. à coos. b Sin. a. sin. b Die beiden letzten Gleichungen hätten auch gewonnen werden kön⸗ nen, wenn man in 197 und 198,— b an die Stelle von ＋ b 9 geſetzt und dabei die Geſetze 115 und 131 angewendet hätte. §. 23. Von den Sinuſſen und Coſinuſſen der vielfachen Winkel. Setzt man in 197 und 198 b S a, ſo wird: eenees und 202) C08. 22 τ cοð. a?— 6in. as

51 Mit Hülfe dieſer Gleichung und der angeführten kann man nun die Sinuſſe und Coſinuſſe von 3a, 4a, u. ſ. w. leicht auffinden. gin. 3a ◻sin. Qat-a) sin. 2a. cos. a ＋ cos. 2a. sin. a 2. Sin. a. Cos. a. COS. a ＋(Cs. a?2—8in. a2). ſin. a 2 Sin. a. cos. a? sin. a. cos. a?— Sin. as 3. Sin. a. cs. a?— sin. as und C06. 34a Cos. QAQag-a) Cοs. 2a. Cos. a— Sin. 2a. Sin. a (eos. a? 6in. a?) cos. a— 2. Sin. a. cos. a. sin. a =cCbs. as 5in. a? cos. a— 2. 6in. a? Cs. a een. a? cos. a * Auf gleiche Weiſe erhält man: eeun ebos a 6 inn Cbs. a? f in àa: und Sin. 5 a 5. CosS. a4. sin. àa— 10. 008. a2. ſin. as sin. aõ cos. 54a C0s. à5— 10. c0s. a3. sin. a? 5 C08. a1. sin. a⸗ 10 Das Geſetz dieſer Entwickelungen läßt ſich leicht erkennen. Stellt man z. B. die Werthe von szn. 5 a und cos. 5 a zuſam⸗ men, ſo erkennt man ſogleich, bis auf das Geſetz der Zeichen, die Entwickelung des Binomiums. Da dieß auch für die früheren Gleichungen gilt, ſo darf es auch auf die ſpäteren ausgedehnt 2 werden, und es iſt allgemein. 0 8 1 n—1— 203) sin. na 1„%. a gsin. 801 n(n- 1)(u-2) n—3„ 8 PWC Sen. a! 3 n(n-1)(n-—2)(¹-— 3)(n-—4) 3 n—5 5 CHS. à2 Sen. a

204) cos. na ce. an n(u—1 22 — 14 2 ebe. A eun as Für n= 1, 2, 3,... erhält man hieraus die obigen Glei— chungen. In allen dieſen Gleichungen iſt Sinus und Coſinus des ein— II. fachen Winkels zugleich enthalten; wo nun gerade Potenzen dieſer Funktionen vorkommen, kann die eine durch die andere erſetzt werden; denn nach 68 iſt einmal sen. a2 1— cos. as, und dann cos. a2= 1— sin. à2. Hierdurch wird aus 202: 205) sin. 22 τ 1 2. 6in. a? und 206) 606. 22= 2 C0. a?2— 1 Ferner iſt: ein à(i* N ein. zin às 208) cos za Cos. as— 3(1— Cos.) „„ꝑ Eben ſo findet man: cos. 4a= 1- 8. sin. a? ＋ 8. Sin. a“ und„„„ öin. 5a= 5 ein. a— 20 sin. as 16 n Eos. 54 16 cos. a 20 cCo‚ e ˖ u. ſ. w. §. 24. Darſtellung von Sinus und Coſinus des einfachen Winkels durch die des vielfachen. Aus 205 erhält man: 209) 2. 8en. a 1— cos. 2a oder: 1— C06. 2: 210) Aen—— 0 Auf gleiche Weiſe aus 206: 211) 2 Cbs. a?= 1 eobs. 24 oder: 5 2 2

Es iſt ferner: (cos. a ＋ s6in. a)? cCos. a? ＋ sin. a?2 ＋ 2. cos. a. sin. a CCcos. a— 6in. a)? ceο. a?2 ＋ sin. a2— 2. cos. a. Sin. a Die Ausdrücke zur Rechten laſſen ſich mit Hülfe von 68 und 201 vereinfachen, ſo daß (ebs. a ＋ sin. a)?= 1 ＋ 6in. 22 (eos. a— sin. a)?= 1— sin. 22 daher: cos. a ＋ sin. a 2 VN(1 ＋ sin. 2 a) cos. a— sin. a 2 VM(1— csin. 2 a) Werden beide Gleichungen verbunden, ſo erhält man: 213) 2. cos. a 2 VY(I1 T＋T ein. 22) ＋N(1—Lin. 2a) und 214) 2. sin. a 2 MVY(l J sin. 2a)— V(1— sin. 2a) Nicht ſo leicht wie 205 und 206 laſſen ſich die Gleichungen 207 und 208 behandeln. Die Sinuſſe und Coſinuſſe des einfachen Winkels durch die der vielfachen darzuſtellen, erfordert die Auf— löſung von Gleichungen höherer Grade. Wie für beſondere Fäͤlle dieſe Auflöſung gefunden werden kann, wird im Folgenden gezeigt werden. §. 25. Verbindungen und Verwandlungen der vorhergehenden Gleichungen. Sind m und n irgend zwei Winkel, ſo iſt nach 197 und 199 sin.(m ⸗ eain m ecos n ebs. m Lin i sin.(m— n) gsin. m. coSs. n— cos. m. 61n. n Durch Zuzählen erhält man hieraus: 215) sin.(m ＋n) ＋ sin.(n— mn) 2. Sin. m. cos. u und durch Abzaͤhlen: 216) sin.(m ＋ n)— sin.(m— n) 2. cos. m. gin. n Nach 198 und 200 iſt: cos.(m ＋ n) cos. m. coSs. n— sin. m. sin. n CoS.(m— un) S cos. m. Cos. n ＋ sin. m. sen. n Die gleichen Verbindungen dieſer beiden Gleichungen geben: 217) cos.(m ＋ n) ＋ cos.(ο= n(Cccos. m cobhn und 3 8 N 218) cos.(m— u)— cos. Ahihhein n zi n

54 Setzt man nun in dieſen vier Gleichungen m Æn α a, mn Shb, alſom= T(a pb) und n ε(a— b), ſo gehen ſie über in: 219) éin. a ＋ sin. b 1 .sin. Y(a ＋ b). cos. 4(a— h) 220) sin. à— sin. b 2. Cos. 1(a ＋ b) Sin. Y(a- b) 221) cos. a ＋ cos. b 2. 006. 4(a ＋ b). cos. 2((4 b) 222) C06. b— cos. a ν 2. sin. 1(a ＋ b). sin. 2(a= Verbindet man dieſe Gleichungen wieder, ſo gibt 219 durch 220 gemeſſen: Sin. àa ＋ sin. b 223)——ꝗ— ꝛ 6 1 5.4(a— 0 lang. Y( ＋ b) cot. 1(a— b) luang. 20 col. 2(2— b) Lang. 4(à— b) col. 4(a ＋ 507 Wird 221 durch 222 gemeſſen, ſo entſteht: cos. àa ＋ cos. b 224)——= oCbt. 1( e cot.(a ＋ b) col.(a b0) col.(a 8 5 b)„ 5(6 lang. 1(a— b) fLang. 1(4 ＋ 5) Setzt man in 223ů a= 90 und b S a, ſo wird, da 8777 90 1 1 ＋ sin. a bbang,, eal 1(90— a) = luang.(45 ＋ 2 a). col.(45— ＋ a) Nun iſt aber, da 45 ＋ aàa und 45— J aàa zuſammen 90⁵ ausmachen, nach 34 oder 35, Lang.(45 ＋ a) ν ecol.(45— Ta), daher: 225) 8 117 1 lang.(45 Pv= cot.(45— 4)e Setzt man in 224 b 0, ſo wird, da 0. 0 ν ꝘH 226). C0. La? — Cs. Es iſt co. a= sin.(90— a), daher: KLn. a T＋ cos. a sin. a sin.(090— a), alſo nach 219: Sin. àa ＋ sin.(90-a) 2. sin. 1(a＋ε90-a). Cos. 2(a- 9οο ν) 2. 6ꝛn. 450. 006.(a—450)

Auüd e2alſo 2 ein 150 ν 227) sin. a ＋ cos. a deos.(a— 4500. V2 Auf gleiche Weiſe findet man, daß 228) sin. a— cos. a sin.(a— 4500. V 2 §. 26. Von der Tangente und Cotangente zuſammengeſetzter 88 sin. a Winkel. Es iſt nach 57 lang. a νρ— daher auch: 05§. 8 Sin.(a b) Sin. a. coS. b coS. a. Sin. b tang.(a Kbꝰ EF C0S.(a Kb) coS. a. cos. b— 6in. à. Sin. b Wird Zähler und Nenner dieſes Bruches zuerſt durch sin. a. C00s. b, dann der Folge nach durch cos. a. sin. b, cos. a. cos. b, 6in. a. sin. b gemeſſen, ſo erhält man mit Zuziehung von 51 und 57 folgende Gleichungen: 229) lang.(a ＋ b) 1. col. a.. lang. b col. a— lang. b 230) cof. b— lung. a 23¹⁰ e lang. b 1— kang. a. lang. b 2320—. Cof. b Cot. a cot. b. col. a— 1 Für lang.(a— b) erhält man auf gleiche Weiſe: ebol. Fang. 233) lang.(à— b) cot. a— lang. b 2340— lang. a. cot. b— 1 cot. a ＋ lang. b 235)——. lang. a— fang. b 1 ＋ lang. a. Lang. b 236) cot. b— col. aà cot. b. col. a ＋ 1 Kehrt man dieſe Brüche um, ſo erhält man nach 6z die entſprechen— den Gleichungen der Cotangente, von dieſen ſind die wichtigſten: 1—fang. a. lang. b cot. b. cot. a— 1 cot. b ＋ Col. a 2370 eoht(s 6595 238)——

§. 27. Tangente und Cotangente vielfacher Winkel. Iſt b S a, ſo erhält man aus 231: 2 lang. a 1— kang. aꝛ? 239) tang. 2 a2 r Aus 232: 2 cot. a 240. 6—E—————— 240) kang. 2 a 53 Aus 237: 241) cot. 2a2 Aus 238: 2420 eof. 26— 1— fang. aꝛ? 2. lang. a cot. a?— 1 Nach dieſen Vorſchriften laſſen ſich nun auch die Tangenten und Cotangenten von 3Za, 4a,... bilden. §. 28. Einige Verbindungen und Verwandlungen der vorher⸗ gehenden Gleichungen. Es iſt nach 57: sin. a lang. a fang. b . Co. a 5 008. b cos. a. cos. b sin. bcSin. a. cos.h ＋ CoS. a. cin. b Daher nach 197: 5 in.(a gb) 243) fang. a Tαα,‚ b’e— „ C06. à. COS. b Auf gleiche Weiſe erhält man: Sin.(a- b) 244) fang. lang. b 0 9 C06. à. coS. b Ferner iſt nach 51: 8 005. 4 cos. b Ln. b. cos. a— C06.b. sin. a sin. b 6in. a. Sin. b Daher mit Hülfe von 197: 0u. 245) Col. a. col. b Sin. a. Sin. b Eben ſo iſt: 52n.(b. 3) 246) eo eol., bd Sin. a. Sin. b Wird 243 durch 244 gemeſſen, ſo entſteht: 247) lang. a fang. b sin.(a ＋ b) tang. a— lang. b Lain.(

— 6* 1 8 8 Sin. 450 Ithieen 50 ünd d ſb iſt, da Iſt hie ſo iſt, da bang. 5 1 1 ＋＋ lang. a sin.(45 ＋ a) sSin.(45 ＋ a) jlang. a sin.(45— a) cos.(45 ＋ a) C08.(45— a) FSin.(45 3) Daher: 1 ＋ fFang. a 248))— tkang.(45 a) cot.(45— a I— dtang. a 9.(45 T a) 0 U Mit Hülfe von 57 und 59 erhält man: sin. a 1 Sin. a gec. a ＋ lang. a cos. a coS. a coS. a —1 J E6in. a VI(ITein. a)(I Ksin. a) V(Isina) V(ITema)(In. a) 1 E Sin. à 1— sin. a —— V und hieraus durch 225: 249) sec. a ＋ fang. a lang.(45 ＋ ga) col.(45— 3 a) Eben ſo erhält man: 250) sec. a— fang. a S tang.(45— za) col.(45 ＋ 2a) Sechstes Kapitel. Von der Berechnung der goniometriſchen Funktionen. §. 29. Verechnung von szn. R und cos. Y R. Die früheren Unterſuchungen in§. 16 und 17 haben die Grenzwerthe vom Sinus und Coſinus kennen gelehrt. Es iſt nach 114 und 130: sin. 2nR 0 und cos.(n ＋ 1) R sin.(An ＋ 1) R ＋ 1„ c. AnR ＋ I in.(IAn ＋ 3) R ehs, En R 1

Mit Hülfe dieſer Werthe und der bisher gefundenen Geſetze iſt man nun im Stande, alle Sinuſſe zu berechnen und daher die Sinustafeln zu entwerfen. Beſtimmt man in den Gleichungen 1— Cs. 2a 1 ＋ Cs. 2a 7— 212—.— 210 8n. a2 N und 212 C0. aπν⏑ den Werth von cos. 2a ſo, das cos. 24. ν 0 iſt, ſo muß nach 2n ＋ 1) R, alſo 22 πσαn ν ο R dem Obigen 6058. 2 a uiſ)h a R ſeyn. Es iſt folglich: An 3 5 11 2.—＋ 1 R=TLVXATIVA oin. Nach dem Früheren hat man aber nur nöthig, die Winkel zu be⸗ rechnen, welche kleiner als 909 ſind; ſetzt man daher n= 0, ſo erhält man: 251) sin. R ◻ν cos. à R VM2, wie dieß ſchon in§. 14 gefunden worden iſt. Für Winkel, die kleiner ſind als 90“, mußte hier das poſitive Zeichen der Wurzel genommen werden, weil im 15 Rechten alle Funktionen poſitiv ſind. Dem Werthe ＋ Y VM 2 gehören nun die Sinuſſe: R, 2 R, 2 R, R, und die Coſinuſſe von: R R‚ R an. Dem Werthe— 3 M 2 entſprechen aber die Sinuſſe von: „ und die Coſinuſſe von: Alles gemäß den Paragraphen 16 und 17. §. 30. Verechnung der Sinuſſe und Coſinuſſe von jedem Drittel des rechten Minkels. Wenn der Sinus oder der Coſinus eines Winkels gegeben iſt, ſo kann man dieſe Funktionen auch für den dritten Theil des Winkels nach 207 und 208 finden; die Auflöſung

59 hängt aber von einer Gleichung des dritten Grades ab. Nach 207 iſt naͤmlich: 4 CEin. a)s— 3.(sin. a)= sin. 3a Beſtimmt man aber hierin 3a ſo, daß sꝛn. 34a ν sin. 2nRSoO, 6 2 2 6 2n j 3 lute oder ſetzt man 34a π 2uR, alſo a 88 R, ſo wird die Auf⸗ löſung leicht, man erhält für dieſen Werth: 2n 3 8 2ͤ (vi. 3 1(Ein. 85 u)— 0 9 8 2 4.(ein. 1 R)(Gin. 3 B02—20. 0 Dieſer Gleichung genügt man durch: oder: 32 2·1 sin. 3 X d und durch Cen. 5 R2 Der letzte Ausdruck gibt: 23 83 25 3 Cin.„ 2 22 8 Man erhält mithin für sin. 5 R die Werthe: n 6in. R 0 3 2 1 Sin. 3 RS= YT FV 3 25 1 sin. R-VM 3 90 Dem erſten Werthe entſpricht nach§. 16 die Winkelreihe: R, B R 6R,5 dem zweiten Werthe die Reihe: 3 R, 3 R, 5* R, 5 R, und endlich dem dritten Werthe die Winkelreihe: , In dieſen Reihen findet man nur einen Winkel zwiſchen 0 und 90 enthalten, für welchen iſt: 5‚οn ‚R( 3 cCos R Die oben angeführte Gleichung läßt noch eine andere Anwendung

60 — U Al zu. Nimmt man nämlich an, es ſey sin. 3a= ssin.(In ＋ 10 R 70 4n „Iſd wird 3— R, und ſomit: 4 AIn 1 3 4. 1 4.(ein. K)—3—3 R)= 3 13„„ Setzt man der Kürze wegen sin.——— R ν m, ſo iſt dieſe Gleichung des dritten Grades: 4m3— 3m— 1 Es gehört nur wenig Uebung dazu, um ſogleich zu erkennen, daß m=— 1 eine Wurzel dieſer Gleichung, alſo m ＋ 1 ein Diviſor derſelben iſt. Das Meſſen mit dieſer Größe erzeugt den Quotienten: 4. mꝰ— Am ＋ 12 0 und dieſer iſt das Quadrat von im— 1. Man kann folglich die obige Gleichung auflöſen in: (m ＋ 1) Am— 1)2 0 und dieſe gibt jetzt für m die Wurzeln m=— 1 und m=, ſo daß man hat: An 15 sin R== 1 3 An E 1 6%n.—— R ＋ 1 3 2 Dem letzten Werthe nun gehört nach§. 16 die Winkelreihe 3 R, z R, R, und dem erſten die Reihe der Winkel: 3E 7R, Ii R an. Für den Winkel zwiſchen 0 und 90 iſt daher: 253) sin. 3 R FECos. R 0 75 Lek! §. 31. Veſtimmung der Sinuſſe und Coſinuſſe für jedes Fünftel 11 des rechten Winkels. Nach§. 23 iſt für den Zuſammenhang von Sen. a und sin. 5 a gefunden: 16.(sin. a)— 20.(sin. a)5 5.(sin. a) sin. 5a Für beſondere Werthe von 5:u. 54 kann dieſe Gleichung des fünften Grades bedeutend reduzirt werden. Setzt man su. 5 a

61 S sin. ànR= 0, ſo muß 54a ◻ 2u, alſo a= unR ſeyn, und für dieſen Winkel iſt alſo: 16. Cin. 5n R)5— 20.(5u. n R)3 ＋ 5.(sin. 3 nR) 0 2 1 Setzt man wieder der Kürze wegen sin.— R= m, ſo iſt dieſe 9 Gleichung: 16 mõ— 20 m5 ＋ 5 m 0 oder: f 4 2 5—.— 16 m(in!— 49 mꝰ ＋ 550 0 Man genügt dieſer Gleichung, wenn man 355 20 2 1 mꝰ ＋ 1 Die letzte Gleichung iſt vom vierten Grade, läßt i ſich aber wie eine Gleichung des zweiten Grades auflöſen. Zuerſt iſt: m= 0 und m! 4 20 m 0 mẽ 16 oder durch Ergänzung des Quadrates: 4 20 2 F m“— 18 ms ＋(50² u˙= εt α daher:(m?— 5)2 ◻ und durch Ausziehung der Wurzel: 8 05 Oο Es iſt mithin: RW(lööö2 Die fünf Wurzeln der obigen Gleichung ſind folglich: sin. nR 0 ＋ IV(IO-2V 50 = ＋ TXVY do/2 yY 5) =I᷑I VYdIO 2NV50 -TVYdoOY＋2yVY50 Beachtet man nun, daß im erſten RNechten dem kleinern Winkel der kleinere Sinus zugehört und umgekehrt, ſo entſprechen nach §. 16 dieſen fünf Werthen die Winkelreihen: nin,, 2 R, 5 R, 2% R, 28 R. n, 1 R, 15 R, R, 26 R. 1% R, 16 R, R, R.

Man findet ſonach Rihes für Winkel zwiſchen 0o und 90“: 254) sin. 3 RÆ TV(10— 2 V 50 cos. 5 R und 55%%%¹G ⏑ ꝙο Nach 71 erhält man hieraus: X(— Cein. R)2) „d= u1(10— 2 V 50) 1VYGGVY2VY5 Da nun 6 ＋ 2 V5 5„„Ü (VDiiIi 5 10² 1 ⸗ cos. R E * 1 ſo iſt: J Sin. R Eben ſo iſt: cos. RÆVY(— Gein. 3 R)2) = V(—fpe d0 ＋/½ 2 M 50) „ daher: 257) Cos. RÆ M 5— 1) sin. E und hiermit ſind die Sinuſſe und Coſinuſſe für alle Fünftel des rechten Winkels beſtimmt. §. 32. Werthe der Sinuſſe und Coſinuſſe für alle Sechstel des rechten Winkels. Im Vorhergehenden ſind dieſe Funktionen bereits für 1= 3, 1= und 3 z des Rechten gefunden worden, ſo daß bloß noch die Beſtimmung derſelben für 5 R und 3 E übrig bleibt. Setzt man in 213 und 214 22 R, alſo — 65 R, ſo iſt, da sͤn. 8 R: ein R V(IiTDLEVI(I DVYREVI 90 ＋DTVM-DAQNV mithin: 258) sin. 1 R VI- VY= cCcos. 8 R 259) coS. RÆ T CTVIT VD sin. R

§. 33. Verechnung des Sinus und Coſtnus für alle Zehntel des rechten Winkels. Aus 257 findet man in Verbindung mit 214, indem man 2a= R, alſo a= 79 R ſetzt: 2. ein. 10 Rν VGTTNMV5—Iο V(I-HtN5-—) — V 3＋V5 5S=VI 1 4 V ö VV5 daher: 260) sin. 10 R T VM(3 ＋ V5)— T V 66- V5) C. 10 R Um den Sinus von 5y R zu finden, bedient man ſich am leichte— ſten der Gleichung 199; man ſetze in ihr a= 5 R, b= R, ſo wird: sin. 10 R ◻ sin. G R— F R) gin.(CR— 3R) csin. R. cos.„ R— cos. R. sin. R S VI IVGO＋TZVSOEVI. 175—1) = VVGSVTVYODE TAVI. V(6= 2vV5) mithin: 261) ein. R= TV GTVSOOETVYGEVYY) ＋ eCοl! T0 R Die Gleichung 197 führt auf dieſelbe Art zu: 262) sin. 1 R VNVY G6 ＋EV5)0 T TV G3-V5) cCos. 1 R Die beiden Funktionen für den Winkel 1 K findet man durch die von 5 R und 15 R mit Hülfe von 197. Es iſt: in. 10 R= gazin. R ＋ 10 R) sin. I(R ＋. 3E sin. 1 R. cos. 3 R ＋T cos. K. sin. à R VI. I. ITVSO) ＋ VI. 1.-G0-2ͤ-Vꝰ50 VY.VGT2V5) TT. VGSCEV5) E daher: 263) çin. ½ R 10 E‚ VO ‚NVND cCos. P0 R §. 34. Werthe des Sinus und Coſinus für alle Dreißigſtel des rechten Winkels. Aus den bekannten Werthen von Sinus und Coſinus von„ R und z R erhält man durch 199:

— 664— zin. 0 R ein.( R 5R) Fsin.„ R. cos. 5 R— cos. R. ein. à R EE TVdoT2vV5). 4 VI- VO Folglich: 10% i R Ei ＋ cCos. 30 R Dieſelben Werthe, welche hier benutzt wurden, ſühren durch 197, 198, 200 zu folgenden Gleichungen: 265) n. I1 R AN(E VI- VII ＋V I5 ＋3V5)-—VGTVN cos. 38 R à V d5 ＋ SV5ο ＋yV G6＋ V50 ‚‚—VN⏑ =＋ fsin. 30 R NGο Qνννοο εNν C Fgsin. 13 R 266) C006. 0 R — 267) cos. 30 R Die Sinuſſe und Coſinuſſe von 8 K und 3 K führen mit Anwen⸗ dung derſelben Geſetze zu: 268) sin. 30 R 4(V(630 6N⏑ν])-⏑⏑ cos. 30 R 269) c06. 2% RÆ(V3 ＋VI5 ＋ V(10— 2v/ 5)) = FIl 35 N 270) ein. 3 R(I＋TVY5 ＋V(10— 2y 5)) A cCos. 30 R 271) eos. 235 R◻ MV3F＋TV15— V(10— 2v 50 sin. 30 R Benutzt man die bekannten Werthe der beiden Funktionen für 3 R und 3 R, ſo erhält man durch Anwendung derſelben Glei⸗ chungen: 2720 ein. 3½ R V(10 ＋ 2 V5 ＋VI= VI co. 30 R

273) sin. 38 R◻ V(io T2V5)0— V32 ＋T VI6) 068. 30 R 274) cos. 30 R(= I＋VY5 ＋ V 630 J 6yY 50) sin. 306 R 5 dG- V5 L＋ÆVMV 60 ＋T 6yYY5)) coS. 30 R Auf gleiche Weiſe gelangt man durch Sinus und Coſinus von R und R zu: 276) sin. 30 R◻ V(I15— 3 UVU5) ＋VG65— V5) 1 — 275) coS. 36 R = cgCοs. 38 R 277) sin. 30 Rν(V(I5— 3 VS ＋ VYG6-V5) f, 3 15 5 C S＋ CcoS. 70 R 278) cos. 30 R 8(V 2 ＋E VTI ＋ V 15 2 0 ä— 279) coSs. 3d R ie — 13 Sin. 30 wodurch nun die beiden Funktionen für alle Dreißigſtel des rechten Winkels beſtimmt ſind. §. 35. Verechnung des Sinus und Coſinus von Grad zu Grad. Die Ausdrücke, welche im Vorhergehenden für die Sinuſſe und Coſinuſſe von 3“ zu 3“ gefunden wurden, ſind die einfachſten und führen am leichteſten zum Ziele. Das Ausziehen der Wurzeln aus Größen, wie Y(5 ＋VMV 5) u. ſ. w., bleibt zwar immer mühſam, doch iſt es nicht ſchwer. Will man die Funktionen bis zu ſieben Stellen berechnen, ſo iſt es hinreichend, V5 bis auf 16 Stellen genau auszuziehen, wird alsdann 5 zugezählt und von Neuem die Wurzel ausgezogen, ſo erhält man(5 ＋ά Mↄ 5) bis zur neunten Stelle genau, alſo eine Genauigkeit, die hinreichend iſt, der ſiebenten Stelle die beſte Annäherung zu geben. Berechnet man nach 264 Sznu. 30, ſo iſt: Arneth, Geometrie.

„8 V6＋VY= 2, 689 994 047 856 5 45 5— 2 8 830 084 7 2, 738 612 787 526 EAE.C.... 7, 009 745 665 466 4, 659 206 362 945 3 I42 3— 1, 224 744 871 392 VIIIIV2= Y, 207 106 781 157 6, 591 058 015 524 Unterſch. beide Zahlen S 0, 418 687 649 942 Es iſt mithin: 5in. 30 g N, 418 687 649 942 oder: 280) sin. 30 0, 052 335 956 243 Vermittelſt dieſes Werthes kann man nun durch die Gleichung 207 den Sinus von 10 berechnen. Es iſt: 4 Gein. a)s— 3(sin. a) ν Q Sin. 3 a Setzt man sin. a r en. 10 m, ſo iſt sin. 3 a= Sun. 30 und Ams— 3m E O0, 052 335 956 243 Aus dieſer Gleichung des dritten Grades muß nun der Werth von m oder von sin. 10 beſtimmt werden, dieß kann am leichteſten auf folgende Art geſchehen. Man beachte, daß m ein kleiner Bruch iſt und daß daher 4 ms gegen 3 m vorerſt als unbedeutend vernachläſſiget werden kann, oder daß man ſetzen kann: 3m O, 052 335 956 243 woraus ſich ergibt: m, 017 445 318 747 Nun iſt aber nach der obigen Gleichung: 3m ν O, 052 335 956 243 ＋ 4ms Indem man nun den eben gefundenen Werth von m hier auf der rechten Seite einführt, erhält man jetzt ſchon genauer:

3m O, 052 335 956 243 ＋ 4.(0, 107 445 318 747)3 = o, 052 357 193 042 daher: m 0, 017 452 397 801 Eine Vergleichung beider Werthe zeigt eine Uebereinſtimmung in den vier erſten Stellen, und ſo weit war alſo der erſte Näherungs— werth ſchon genau. Verfährt man mit dem letzten Werthe von m genau ſo wie mit dem erſten, ſo führt dieß zu: 3m 0, 052 335 956 243 ＋ 4(0, 017 452 397 801)3 (0, 052 357 219 280 folglich zu: m 2 O, 017 452 406 427 Von den beiden letzten Werthen von m kann man annehmen, daß ſie in den ſieben erſten Stellen einander gleich ſind, der zweite Näherungswerth alſo bis auf ſieben Stellen genau war. Der dritte Werth wird alſo ungefähr bis auf zehn Stellen genau ſeyn, was ſich auch herausſtellt, wenn man mit Hülfe des zuletzt gefundenen Werthes von m den nächſten ſucht; man findet: m S 0, 017 452 406 443 und dieſer wird nun ſelbſt in ſeiner letzten Stelle noch richtig ſeyn, ſo daß 281) sin. 10, 017 452 406 443 Auf gleiche Weiſe erhält man cos. 10 oder auch, durch dieſen Werth, mit Hülfe von 71 282) cos. 10 ν O0, 999 847 694 999 Nunmehr iſt es nicht ſchwer, die Sinuſſe und Coſinuſſe aller Grade aufzufinden. Nach 201 iſt: Sin. 20=2 ein 10 sb 10 — 2 0, 017 452 406 443. 0, 999 847 694 999 S＋ O0, 034 899 496 705

Eben ſo iſt nach 205: 6056. 20 1— 2. in. 1%02 — O, 999 390 826 636 Den nächſten unbekannten Sinus findet man durch 197: 6in.(30. 10) in 30(05, 1 eöos, Sin. 40 8 H oder auch durch 20 Sin. Es iſt nicht ſchwer, einzuſehen, wie man jetzt die Sinuſſe aller Grade berechnen kann. 67n. 20. cos. 2 §. 36. Verechnung des Sinus und Coſinus von Minute zu Minute. Die Gleichung 214 führt mit 281 verbunden zu: ee oin 10) Hieraus erhält man: §in. 30“ 0, 008 726 535 500 Nach 207 iſt, für 3= 30“ alſo a 10“ 4. Gin. 100s— 3.(sin. 100 ½— Fsin. 30“ Setzt man nun der Kürze wegen 6in. 30“ m, ſo hat man die Gleichung aufzulöſen: 4ms 3m ⁊E, 008 726 535 500 Wird Ams wieder als unbedeutend gegen 3 m vernachläſſigt, ſo iſt der erſte Näherungswerth: m O, 002 908 845 166 und dieſer iſt ſchon in den ſieben erſten Stellen genau. Führt man aber dieſen Werth in die vollſtändige Gleichung 3 m S O, 008 726 535 500 ＋ 4. m auf der rechten Seite ein, ſo erhält man: m 0, 002 908 877 983 und dieſer Werth wird wenigſtens auf zehn Stellen genau ſeyn. Man hat ſomit: sin. 10“ ◻, 002 908 877 983 und wenn man dieſe Gleichung mit 71 verbindet: Cos. 10/ 0, 999 995 769 283 Verbindet man jetzt auch dieſe Werthe mit 201, ſo erhält man:

69 20= nnn 10“ ebs. 10 — O, 005 817 731 354 Eben ſo findet man: 6in. 40/, 011 635 265 807 Um den Sinus von 50“ zu finden, bedient man ſich der Gleichung 197. Es iſt: sin. 50“ sin.(60“— 100 fssin. 60“. cos. 10“— cos. 60“. 6in. 10“ Æ＋0, 014 543 897 648 Auf gleiche Weiſe findet man: s'in. 10 10“, 020 360 767 555 Die Methode der Berechnung der Sinuſſe von 10 zu 10 Minuten wird nach dieſen Beiſpielen zur Genüge deutlich geworden ſeyn. Auf eine noch leichtere Weiſe erhält man aber dieſe Funktion von Minute zu Minute, wenn man deren Werthe von 10 zu 10 Minuten bereits berechnet hat. Das Vorhergehende zeigt, daß dieſen Sinus bis auf ſieben Dezimalſtellen genau gab, daß man alſo die Sinuſſe zwiſchen 0“ und 307/ als eine arithmetiſche Reihe der erſten Ordnung betrachten könne, je— doch hierbei nur auf eine Genauigkeit von vielleicht ſechs Stellen zu zählen befugt iſt. Betrachtet man aber die Reihe 0, in iö, ee e, ene e als eine Reihe höherer Ordnung, ſo wird man ſchon eine größere Genauigkeit erreichen. Die erſten Differenzen dieſer Reihe ſind: 0, 002 908 877 984 0, 002 908 853 370 0, 002 908 804 147 0, 002 908 730 306 0, 002 908 631 841 0, 002 908 508 795 0, 002 908 361 112 Die zweiten Differenzen: — 0, 000 000 024 614 ＋ ＋ ＋

0— — 0, 000 000 049 223 —, 000 000 073 841 — 0, 000 000 098 465 — o, 000 000 123 046 — o, 000 000 147 683 Mithin die dritten Differenzen: — O, 000 000 024 609 — o, 000 000 024 618 — 0, 000 000 024 624 — o, 000 000 024 581 — 0, 000 000 024 537 Mit Ausnahme der letzten Zahl ſind die dritten Unterſchiede in den erſten zehn Stellen einander gleich, und man kann die Si⸗ nuſſe von 00 bis 1“ als eine arithmetiſche Reihe der dritten Ord— nung anſehen und erhält hierbei für dieſelben eine Genauigkeit von zehn Stellen. Das unregelmäßige Steigen und Fallen der drei letzten Ziffern erklärt ſich daraus, daß die Werthe der gefundenen N. Hauptglieder der Reihe mit Sicherheit nur bis zur zehnten Stelle genau angenommen werden können. Wären dieſe Werthe bis zur letzten Stelle genau, ſo würde man ein regelmäßiges Fallen erkennen, man würde eine vierte Differenzenreihe bilden können, deren Glieder als konſtant erſchie— nen. Die Sinuſſe von 0o bis 10 würden alsdann eine Reihe der vierten Ordnung bilden und auf eine Genauigkeit von zwölf Stellen zu rechnen ſeyn u. ſ. w. Sind nun a, 6, 7,& die erſten Glieder der Reihe und der 090 Differenzenreihen, ſo iſt das allgemeine oder mte Glied einer Reihe der dritten Ordnung: 1— 1 n—1)(n—2——20(n—6 1 9 1— 2——— 2.5 Für die Reihe der Sinuſſe von 0“ bis 1“ iſt nun: 3 6 ◻ρ ＋＋ 0, 002 908 877 983 ν EL-, 000 000 024 614 — 0, 000 000 024 608

Für§ iſt hier das arithmetiſche Mittel aus allen dritten Diffe— renzen genommen. Es iſt mithin: n—1 216 2 — o, 000 000 024 614 (n-1)(-29 ne=-3) E und hieraus erhält man alle Sinuſſe von 0“/ bis 60/, indem man nis, 6 ſetzt — 0, 000 000 024 608. Für u⸗ 1,1 wird: 6in. 1“ 0, 002 908 87 — 0, 000 000 024 614. 0,01 — 0, 000 000 024 608. 0,001 —, 000 290 887 798 — 0, 000 000 000 246 — o, 000 000 000 024 , 000 290 887 798 — 0, 000 000 000 270 7 983. 0,1 alſo: Sin. 1“(, 000 290 887 528 und dieſer Werth iſt wenigſtens bis auf 10 Stellen genau. wird 6in. 20“, 002 908 877 983. 8 — 0, 000 000 024 614. 0, 005 817 731 352 wie dieß ſchon oben gefunden worden. 9.— Für iſt: sin. 30/ 0, 002 908 877 983. 1 3 2 — 0, 000 000 024 614. 2 — O, 000 000 024 60s12.—

— — O, 008 726 633 949 — 0, 000 000 098 450 0, 008 726 535 499 U. ſ. w. Die Methode dieſer Berechnung beſteht im Allgemeinen darin, daß man nicht zu weit von einander entfernte Glieder der Reihe der Sinuſſe als Hauptglieder einer arithmetiſchen Reihe höherer Ordnung betrachtet, eine Formel für das allgemeine Glied derſel⸗ ben aufſtellt und nach ihr die Zwiſchenglieder berechnet, wie dieß im Vorhergehenden gezeigt worden iſt. §. 37. Verechnung der Sinuſſe von Sekunde zu Sekunde. Sind die Sinuſſe von Minute zu Minute berechnet, ſo kann man nach der eben angegebenen Methode die Sinuſſe der einzelnen Sekunden berechnen. Bis zu einer Genauigkeit von zehn Stellen genügt es, die Sinuſſe im Zwiſchenraum von einer Minute zur andern als gleichförmig wachſend anzunehmen. Hiernach iſt: 6in. 1“— in. 1. 0, 000 290 887528 „ 60 60 = O, 000 004 848 125 Eben ſo: 5 ＋ O, 000 009 696 250 und sin. 4/ 12“ sin. 4“ ＋ sin. 12“ = aein. 4, 335 Lin. 1. sin. 4“ ＋ 3. ein. 4“— sin. 30 3 5 §. 38. Verechnung der fünf übrigen Winkelfunktionen. Kennt man die Reihe der Sinuſſe, ſo kennt man auch nach§. 13 die der Coſinuſſe, aus beiden findet man durch: Sin. à tang. a—— C05. a 6¹= 1 lang.a

1 C058. 4 Seéc. à 1 COSEC. à 0 C6717. à. die übrigen Funktionen durch eine einfache arithmetiſche Ope— ration. Eine große Erleichterung für dieſe Berechnungen, ſo wie für die früheren, gewähren die Logarithmen, deren Genauig— keit übrigens weiter gehen muß als die der Sinustafeln, welche man entwerfen will.

Zweiter Abſchnitt. Beltimmung der Lage einer Geraden gegen andere bekannte Lagen. Siebentes Kapitel. Beſtimmung der Lage einer Geraden durch Linear⸗ Coordinaten. 6§. 39. Methode der Coordinaten-Veſtimmung. Nimmt man in einer Ebene zwei Geraden, i und XVI Cig. 27), die mit einander einen beſtimmten Winkel& bilden, ihrer Lage nach als 00 00 gegeben an, und bezieht man auf dieſe die Lage anderer Geraden in derſelben Ebene, ſo läßt ſich aus dieſen Beziehungen auf die gegenſeitige Lage der Geraden ſchließen, und der Zweck der vorher⸗ gehenden Unterſuchungen kann hierdurch ebenfalls erreicht werden. Die beiden Geraden werden Achſen genannt und ihr Durch—(˙ ſchnittspunkt heißt der Anfangspunkt. Ihr Winkel wird am ein⸗ AN fachſten und gewöhnlichſten zu 900, die Achſen alſo rechtwinkelig 1 zu einander angenommen. 9 Die Achſen geben zwei Richtungen an. Linien in der erſten Richtung XXI genommen, werden Abſceiſſen genannt, mit X be⸗ zeichnet, vom Anfangspunkte A an rechts durch ＋ x und links

75— durch— K dargeſtellt. Linien, welche die zweite Richtung XVI haben, heißen Ordinaten, man bezeichnet ſie nach oben hin durch uM und nach unten hin durch— y. Beide Linien X und 5 zuſammengenommen heißen Coordinaten, beide Achſen, Coordinaten— Achſen. MXI heißt Achſe der Abſeiſſen oder der x, VVI die Achſe der Ordinaten oder der Y, A der Anfangspunkt der Co— ordinaten. Iſt P(Fig. 27) ein Punkt in der Ebene der Coordinaten— achſen, ſo wird die Lage deſſelben gegen dieſe Achſen beſtimmt ſeyn, wenn man die Coordinaten des Punktes AB und BP kennt. Die Abſciſſe AB beſtimmt den Punkt B, die Ordinate BP, in der Nichtung XVI gezogen, den Punkt P. Iſt alſo der Zahlenwerth der Abſeiſſe a und der Ordinate b, ſo beſtimmen die Gleichungen x= à und y= b die Lage des Punktes P, gegen die Coordinatenachſen, vollkommen. Auf gleiche Weiſe kann die Lage eines jeden andern Punktes, alſo auch einer ganzen Reihe von Punkten, die Lage einer Linie, welche durch dieſe Punkte man ſich gezogen denkt, beſtimmt werden. Eine nähere Betrachtung der beiden Gleichungen gibt fol— gende Reſultate. Die Gleichung X S a allein ſagt uns, es ſoll der Punkt P von XV. um a Längeneinheiten in der Richtung XXI entfernt liegen. Dieſe Eigenſchaft haben aber alle Punkte der Geraden CD(Fig. 28), welche parallel mit XVI und von dieſer in der Richtung XXI um a entfernt iſt. Eben ſo ſtellt y= b die Linie EF(Fig. 29) dar, wenn ſie parallel zu X. und von dieſer in der Richtung XVi um b entfernt iſt. Beide Gleichungen zuſammengenommen, X S a und yHb, bedingen alſo, daß der Punkt ſich ſowohl auf COD(Fig. 30) als auch auf EF befinden ſoll, was nur für einen Punkt P, den Durchſchnittspunkt beider Geraden, möglich iſt, der alſo durch die beiden Gleichungen vollkommen beſtimmt iſt. Wird in der erſten Gleichung X S a, a immer kleiner, ſo rückt CD immer näher an VV. und fällt mit dieſer zuſammen,

wenn X= 0 wird. In dieſem Falle ſtellt alſo die Gleichung x*= o die Achſe der Ordinaten XVI dar. Auf gleiche Weiſe gehört y= 0 der Achſe XXIi an. Die beiden Gleichungen Xx o und y=2 o ſind ſonach die Gleichungen des Anfangs— punktes der Coordinaten. Man findet ſomit: 283) X, y= 0 Gleichungen des Anfangspunktes. 284) Xx 0, y-= unbeſt. Gleichung der Achſe XVI 285) Xx unbeſt., y 0 Gleichung der Achſe XXI 286) Xx S a, y unbeſt. Gleichung einer Geraden Ff zu XV. jibeſt, 55 5„ 0 55 eines Punktes in XXI 5„ „ beſt. Punktes in der Ebene. F§. 40. Gleichung einer gegebenen Geraden. Die Coordinaten⸗ achſen ſeyen, der Einfachheit wegen, rechtwinkelig, und die Gerade CD(Fig. 31), deren Lage gegen ſie beſtimmt werden, deren Glei— chung geſucht werden ſoll, gehe durch den Anfangspunkt A. Für irgend einen Punkt E der Geraden iſt nun Xx= AB und y Æτ EZ, daher: In X AB Für einen andern Punkt G iſt x= AF und y= G(, mithin: Eben ſo für irgend einen andern Punkt der Geraden. Nach der Gleichung 24 iſt aber, wenn CD eine Gerade iſt: EB GF AB. XF uU. ſ. w. Man findet ſomit: Für alle Punkte der Geraden CD iſt das Verhältniß der Ordinate zur Abſeiſſe ein konſtantes. 00

Nach 31 iſt dieß Verhältniß S kfang. a, folglich iſt: tang. d und dieſe Gleichung findet ſtatt, auf welchen Punkt der Geraden man y und K beziehen mag. Wird mit« vervielfacht, ſo iſt allgemein: 291) y& lang. die Gleichung einer Geraden, welche durch den Anfangspunkt geht und mit der Achſe der! den Winkel a bildet. Setzt man in dieſer Gleichung nach und nach für x die will— kürlich gewählten Werthe ar, az, az,... und erhält man hier— aus für»die Werthe bu, be, bz,..., ſo beſtimmen, auf die angegebene Weiſe, je zwei zuſammengehörige Werthe von à und b, die Lage eines Punktes. Solcher Punkte kann man aber durch die Gleichung eine unendliche Anzahl beſtimmen, welche, mit ein— ander verbunden, die Gerade CD bilden. „alſe eng. ianh 6 0, 7265425, ſo iſt die Gleichung der Geraden, welche durch den Anfangspunkt geht und mit der Achſe der X einen Winkel von 360 bildet, 2.2 y 2 o, 7265425. X Setzt man nun hierin Xx= 0, 1, 2, 3..., ſo erhält man die zugehörigen Werthe von y. Für 22 33 U. iſt ö ine Für x== 1,— 2,— 3,... erhält man die gleichen nur mit— bezeichneten Werthe von Y. Die Coordinatenachſen waren bisher rechtwinkelig, man nehme ſie nun geneigt an und ihr Winkel ſey= ꝙ. Die Gerade CD (Fig. 32) bilde immer den Winkel& mit XXI und EF ſey zu dieſer Achſe EH aber zu XVI ſenkrecht. Es iſt nun: EF EII AE und sin.(ꝙ— aο νσ ÆE

Dieſen Gleichungen kann man folgende Geſtalt geben: EF EII — N J 8 sin. a= AE und sin.(ꝙ—d) A EII Nun iſt aber 7 gin. ꝙ und 33 sin. ꝙ, daher: sin. G= A1l und sin.(ꝓS-α)ο ν ̊ AE Es iſt mithin y ein eben ſolches Vielfache von sin. d wie Xx von ein.(ꝓ- a), folglich: 6 N„ FSin d oder 6565333 sin.(ꝙ=) Es ſey z. B. der Coordinatenwinkel p= 760, der Winkel 149 der Geradenͥ« 540, ſo iſt ꝙ— 760— 54 220; mithin die Gleichung der Geraden: sin Sin Nun iſt aber log. log. sin. 540— Log. sin. 220 = 9, 907958— 10—(9, 573575—10) =, 334383 log. 2, 15965 Daher Æ＋ 2, 15965... und die Gleichung: 1 Sen. 220 7= 15965* Hieraus erhält man nun: Für Xx ν 0, 1, 1. g,= A2,159.=14,319. 6%8 u„ Für Xx=— 1,— 2,— 3,... Dieſelben Werthe für A My nur negativ. Wie alſo auch der Coordinatenwinkel beſchaffen ſeyn mag, immer iſt y ein Vielfaches von X. Dieſes Vielfache iſt die Konſtante der Gleichung, der Sinus des Winkels der Geraden,

gemeſſen durch den Sinus der Ergänzung dieſes Winkels, zum Coordinatenwinkel. Iſt ꝙ= 900, ſo iſt Lin. a Sn.(90,) coS. wie dieß nach 291 ſeyn muß. Bis jetzt iſt angenommen worden, daß die Gerade durch den Anfangspunkt gehe. Iſt dieß nicht der Fall, geht die Gerade durch den Punkt B in XXI Cig. 33) und durch E in XXI, ſo iſt für rechtwinklige Coordinaten, für irgend einen Punkt F in der Geraden CD, welche mit XXIi den Winkel à bildet, x= AG und 6 Wäre MMi if zu XXI die Achſe der Xx, ſo hätte man nach 291 = Xͤ Lang. a FH=Æ BH. fang. q Nun iſt aber BH= A6 π x&X und FH FG— HG = YP= lIB, daher auch: Xx AB Xlang. d und ſomit: 293) ◻ XðX. kang. AB. Setzt man der Kürze wegen die konſtanten Größen iang. a A und AB B, ſo iſt die Gleichung der Geraden, welche nicht durch den Anfangspunkt geht, für rechtwinkelige Co— ordinaten: 294) y ◻ AXx ＋ B. Es ſey wieder à= 360 und AB 2“, ſo iſt die Glei⸗ chung der Geraden: 0,7265425* ＋ 25 daher für * I1, 2— 3 Uu⸗nſe w y S 2, S 2,726.. 3,453.. 4,179.., u. 5 1 und für XA1, ◻ 2,=E= 3,— ½ ꝗ4 u. ſ. w. y ＋ 1,273.. ＋ 0,546.— 0,179..— 0,906.. u. ſ. w Bei ſchiefwinkligen Coordinaten hat man bei denſelben Vor⸗ ausſetzungen in der Figur nach 292(Fig. 34):

80 EE Sin.(ꝙ=ο Auch hier iſt FII= FG— IIG= y— AB und BH== AGρ Xx, daher: Sin. sin.(G=) y— ABA Xx und ſomit: 295) 1 ◻ X* Oder wenn man die Konſtäßtten mit A und B bezeichnet: y= Ax ＋ B 55 Ꝙτ H540 und AB S2 5, ſo iſt die Glei⸗ chung der Geraden 218550 ＋ 5 Hieraus erhält man für 1 u. ſ. w. y25, 7,159. 9,319. 11,487. u.ſ.w.. und für Al XSEI,- 2, E= 3,— u. ſ. w. y 2 ＋＋ 2,840, ＋ 0,682. 1,487. 3,988. U. Man erſieht hieraus, daß, wie immer auch die Coordinaten— achſen zu einander geneigt ſeyn mögen und welche Lage die Ge— rade CD gegen ſie auch haben mag, die Gleichung dieſer Geraden immer dargeſtellt werden kann durch 296) y ◻ Ax ＋B Sind die Coordinaten rechtwinkelig, ſo iſt die erſte Konſtante lang. ſind ſie ſchiefwinkelig, ſo iſt ſie sin. ꝙ Sin.(ꝙ=) Geht die Gerade durch den Anfangspunkt, ſo iſt in beiden 0 Fällen die zweite Konſtante= 0. Die Lage der Geraden hängt, bei ein und demſelben Coordinatenwinkel, von den Konſtan— ten ihrer Gleichungen ab.

Die Gleichung einer Geraden iſt eine unbeſtimmte Gleichung vom erſten Grade zwiſchen zwei veränderlichen Größen X und 5, ſie enthält das Geſetz der Abhängigkeit dieſer Größen, das Geſetz des Fortganges der Geraden. Die allgemeinſte Form einer ſolchen Gleichung iſt: 297) ay T＋ bx ＋ S; ſie kann aber, unbeſchadet ihrer Allgemeinheit, auf die frühere Form 4 enl 1 E 296 zurückgeführt werden, wenn man——◻ A und— B 7* ſetzt. §. 41. Zu einer gegebenen Gleichung die Gerade finden. Es ſey, für rechtwinklige Coordinaten, die Gleichung einer Geraden Cig. 35): yÆ Ax ＋B. Für X= O, alſo im Punkte A, erhält man hieraus y= B AB. 8 B Für y ◻ 0 wird 0 ◻ Ax ＋T B, folglich&—* AC. Die konſtanten Größen A und B der Gleichung beſtimmen alſo die Punkte B und C der Coordinatenachſen, durch welche die Gerade geht, deren Lage hierdurch gegeben iſt. Man hat ſomit: 208) AB= ＋ B und AC— 8 A Ferner iſt kang.« 8 55 E daher: 299) lang.= A. Iſt z. B. y 6x— 5, ſo iſt(Fig. 36) AB= 5 und AC=, kang. 6 tkang. 800 32“ 17“ tang. 2600 32/ 17⸗Kk Der Winkel ſcheint hiernach noch unbeſtimmt zu ſeyn; beachtet man jedoch, daß der zweite um 1800 vom erſten verſchieden iſt, der dritte um 3600 u. ſ. w., ſo geben alle nur ein und dieſelbe Nichtung der Geraden an. Für ſchiefwinkelige Coordinaten ſey der Coordinatenwinkel — ꝙ und die gegebene Gleichung y AX B. Arneth, Geometrie.

82 Aus dieſer Gleichung erhält man für Xx 2= O, y= B3B AgB, B 5 fuͤr 0.5„** AC. Zwiſchen AB und AC(Fig. 37) hat nun nach 292 die Gleichung ſtatt: Sin. d. AB= ACC.— sin.(ꝙ- dg) alſo: B Sin. a X Fin.(ꝙt=d) woraus ſich ergibt: Sen.(ot=d) Aus dieſer Gleichung kann der Winkel à beſtimmt werden. Es iſt zuerſt: sin. ν A sin.(ꝙ— q) und mit Zuziehung von 199 sin.= A(sin. ꝙ. Cos.— cos. ꝙ. sin. q) A. sin. ꝙ. cos.«— A. cos. ꝙ. sin. d. Durch Uebertragung der Glieder erhält man hieraus: Aain. sin. ＋ A. cos. ꝙ. sin. oder auch: sin.(1 ＋ A. cos. ꝙ) A. Sin. ꝙ. cos. d. 8 3 Sin. a 8 Wird durch cos. à gemeſſen und— ◻π lang. à geſetzt, C0S. G ſo wird: tang.«(1 ＋ A. cos. ꝙ)= A. sin. ꝙ, mithin: A. Sin. ꝙ Da A und q gegebene Größen ſind, ſo gibt dieſe Gleichung nur einen Werth für kang. a, und zu dieſem wird der Winkel nach den Vorſchriften des§. 18 gefunden. 301) fang. Es ſey z. B. S 70“ und die Gleichung: K3 2

e,,,eiinund ͤ ür 0 X=- ½1Æ◻== 3, 5 AÜͥAC und 2. sin. 700 1 ＋ 2.Cos. 700 2. 0, 9396926 1 2. 0,3420201 1,8793852 1,6840402 S tkang. 480b8“ 16“ Es iſt alſo a= 480 8/ 16“, und der poſitiven Tangente ge⸗ hören die Winkel: , 180 ＋ g, 360 ＋ a,. zu; ſie beſtimmen aber alle nur die Richtung der Geraden auf einzige Weiſe. lang. l 1,415997 Welche Bedeutung haben die Gleichungen: y EL 3x YT 6, 1S L- 55xXx»3, wenn die Coordinaten ſchiefwinkelig ſind und P= 700 iſt? §. 42. Aufgaben über die Geraden. I. Man ſoll die Gleichung einer Geraden finden, die durch einen beſtimmten Punkt P(Fig. 38) geht, deſſen Coordinaten xi und yi1 ſind. Es ſey die geſuchte Gleichung: YÆ AXx＋— B. Kann man aus der gegebenen Bedingung A und B finden, ſo iſt die Aufgabe gelöst, die Gleichung gefunden. Da die Gerade durch den Punkt P gehen ſoll, ſo muß für X xi auch y σν 1 ſeyn oder die Werthe von Xxi und y1 müſſen der angenommenen Gleichung genügen. Hierdurch erhält man: N Wird dieſe Gleichung von der obigen abgezählt, ſo wird: 302)— yi A AE xi!). Auf dieſe Weiſe iſt man zwar im Stande, eine der Kon⸗ ſtanten B zu entfernen; es bleibt aber immer noch A übrig, 6*

84 welches aus der gegebenen Bedingung ſich nicht beſtimmen läßt. 9 Welchen Werth man dem& auch beilegen mag, ſo wird doch die gefundene Gleichung oder die Gerade, welche ſie darſtellt, der Be— dingung genügen, ſie wird durch den Punkt P gehen. Hieraus folgt wieder, was ſchon§. 1 angeführt wurde, daß ein Punkt die Lage einer Geraden noch nicht beſtimmt. II. Man ſoll die Gleichung einer Geraden finden, welche durch zwei beſtimmte Punkte P: und P(Fig. 39) geht, deren Coordinaten xi und y51, Xxꝛ und Fu ſind. Die Gleichung der Geraden ſey: . Da ſie durch den Punkt PI gehen ſoll, ſo muß ſie durch die Coordinaten dieſes Punktes befriedigt werden, daher: ſ1 5. 0 Eben ſo muß für den zweiten Punkt ſeyn: 5 Eliminirt man aus dieſen drei Gleichungen die Größen A und B, ſo erhält man die Gleichung der Geraden. Die zweite und dritte Gleichung geben: 51— 7½2 Aͥ G(§* 9 daher: Aus der erſten und zweiten Gleichung erhält man auf gleiche Weiſe: — vi A A ＋ K*. Führt man hierin den vorſtehenden Werth von A ein, ſo iſt die geſuchte Gerade dargeſtellt durch die Gleichung: yi—. 303) y— i 3& xI) 1133 oder auch durch: 9 ˙..... X2*1ů— RX2 Da dieſe Gleichung durch ihre Konſtanten beſtimmt iſt, ſo iſt es auch die Gerade, deren Lage alſo durch zwei Punkte vollkommen beſtimmt wird.(§. 1.)

Die letzte Gleichung mit der vorgelegten verglichen, gibt für die Konſtanten: vi— Ja rn xi— X2 Xxi— X½ B— 27———— Iiez 5„2fffff»⏑ο⏑ ν und 7„= 9 ſo iſt: 5— 9— 4 A= 5 7——— ＋e 0O, 8 und 2.9—7. 5 18— 35— 17 ä 333 ſomit: B 3, 4 GGU 1I. 25 A 1 6,8 25 Iſt nun der Coordinatenwinkel P= 700, ſo iſt: 0,8. sin. 700 0,8. 0,9396926 tang. 5 5 1115 1 ＋＋ 0,8. cos. 70 1 ＋ 0,8. 0,3420201 0,75175408— ———— 0,5902517 127361608 lang. 80 23“ 3“. Es iſt daher der Winkel a= 800 23/ 3“ und die Gleichung der Geraden: y O, S. X ＋T 3, 4. Iſt einer der gegebenen Punkte, z. B. P.(Fig. 40), der Anfangspunkt, ſo ſind deſſen Gleichungen(283) Xx1 π 0 ͤund y1 O, daher die Gleichung der Geraden, welche durch A und P geht: 306) y„ oder y. 4— 5½. 2 0. X2 Liegt P. in VVIi und P. in XXI(ig. 41), ſo ſind die Gleichungen dieſer Punkte, nach 289 und 288, für PI XI π O, id ü uind 7:ͤ den AP, b und AP az daher die Gleichung der Geraden:

— 86— 7 0 M ——— K 4 71 12 lute oder: 8 F 8 oder auch, wenn durch yi. Xxa gemeſſen wird: 307) 7. ＋ 1 oder 3— 1 1 III. Man ſoll die Bedingungen angeben, unter welchen drei Punkte, PI, Pz, P3;, deren Coordinaten ſind xI, yis x2, y2; xg, Ys/ in einer Geraden liegen. Iſt die Gleichung der Geraden: 0 Y AT. B ſo muß ſeyn: 0 71 Axi ＋ 91 7½ A᷑uᷓ. 5„= Au B II Hieraus erhaͤlt man: y1— 72 A G1— X2) y2— 76 Ã Gz2— X5), daher durch Meſſen: 308) NV2— NN N3 X2—1 oder auch: 309) F1-X2—V2-XI)—CI- X3Vs· XI) TGC.X3Vs· X20ο. Sind die Coordinaten der drei Punkte ſo beſchaffen, daß dieſe Bedingung erfüllt wird, ſo liegen die drei Punkte in einer Geraden. §. 43. Gegenſeitige Lagenbeſtimmung zweier Geraden. IV. Man ſucht die Bedingungen, unter welchen zwei Gerade zuſammenkommen, ſich durchſchneiden und die Bedingungen des Gegentheiles. Die Gleichungen der beiden Geraden ſeyen(Fig. 42);: für CD YVYÆν Ax ＋ B füit BR 90

— Die Winkel, welche ſie mit XXI bilden, ſeyen a und 6, der Coordinatenwinkel ꝙ. Durchſchneiden ſich die beiden Geraden, ſo haben ſie in ihrem Durchſchnittspunkte einen gemeinſchaftlichen Punkt P, deſſen Abſeiſſe AM= x“Tund Ordinate PMÆ y' beiden Gleichungen genügen müſſen, ſo daß für den Punkt Pin CD: y.Æ Ax' ＋ B und für den Punkt Pin BE: N b. Hieraus findet man: Ax!“ ＋ B ax! 4 b oder: 3100 X* Setzt man dieſen Werth in eine der beiden vorſtehenden Gleichungen, ſo erhält man: b- B Abh— AB ＋ AB— aB — —— A— a oder: Ab— azB 311 * V A— a Haben die beiden Gleichungen die Form: MyV= Ax ＋ B und my ax ＋ b, B a Konſtanten ſetzen; hierdurch gehen die Gleichungen 310 und 311 über in: 4 b ſo darf man nur an die Stelle der vorigen 1 „„** . iiee und a. B Will man jetzt die Coordinaten des Durchſchnittspunktes der beiden Geraden:

und y S ax ＋ öb auffinden, ſo darf man nur M= 0, B=— B, A 1, m Sl ſetzen. Man erhält: 6 5 „5 Die Größen x“ und 5“ geben die Lage des Punktes P an, 5 und die gefundenen Gleichungen müſſen zeigen, in welchen Fällen ein Durchſchnittspunkt möglich oder angeblich iſt oder nicht. Sind A, a, B, b reelle, endliche Größen, wie ſie auch ſonſt beſchaffen ſeyn mögen, ſo erhält man immer für x“ und„ reelle endliche Werthe, oder es haben die beiden Geraden einen Durch— 10 ſchnittsppunkt, ſo lange A& und à von einander verſchieden ſind. Sind dieſe Größen aber gleich& S a, ſo ſind: „b-B b-B3 5 R und „„˖ die Cvordinaten des Durchſchnittspunktes der beiden Geraden: —7 und y== Ax ＋ b,â für welche man daher findet, daß ihr Durchſchnittspunkt in un— endlicher Entfernung liegt, d. h., daß ſie gar keinen Durchſchnitts— punkt haben, alſo parallel ſind. Die Bedingung des Zuſammentreffens zweier Geraden iſt daher S a und des Nichtzuſammentreffens K S a. Aus 300 weiß man nun, daß für CD Sin.& R S'n.(ꝙ— d) N und für BE Sin. 6 9 1n.(§6 Dieſe Größen werden nun verſchieden ſeyn, ſo lange c S 6, und ſie werden einander gleich, wenn&= 6. —.

89 Die aufgefundenen Bedingungen können alſo auch auf fol— gende Weiſe dargeſtellt werden: Iſt& 6, der äußere Winkel dem innern entgegengeſetzten gleich, haben die Geraden dieſelbe Richtung, ſo haben ſie keinen Durchſchnittspunkt, kommen nicht zuſammen, ſind parallel; iſt aber 4 T 6, ſind die Richtungen verſchieden, ſo kommen die Geraden jederzeit zuſammen, ſie durchſchneiden ſich. V. Wenn zwei Gerade, CD und BE(Fig. 42), ſich durch⸗ ſchneiden, welchen Winkel bilden ſie mit einander und wie läßt ſich derſelbe aus den Konſtanten beider Gleichungen 5 der Geraden finden? Zieht man aus G mit EF eine Parallele 6H, ſo beſteht der Winkel HGF ◻ 8 aus zwei Theilen, der eine iſt a, der andere die Ergänzung dieſes Winkels zu 6, daher S 6— d. Iſt nun G6PFE d, ſo iſt wegen der Parallelität von EF und HG 8 2 6— ad. Die Gleichung von CD iſt: = gB5 und die von BE: b, Nach 301 iſt A. Sin. ꝙ a. sin. ꝙ lang. und lang. 6 ＋ ＋ à 605. 9 Da nun tang. 6— lang. d tang. d lang.(6-ο 1 ＋ Tang. G. lang. c nach 235, ſo erhält man durch Einführung der vorſtehenden Werthe: a. Sin. ꝙ A. Sin. ꝙ a. cos. IEX. cos. ꝙ ä 5. ITa. cos.-9 1＋ A. C0s. ꝙ a. ein. ꝙ(I＋EA. cos. 9—œ A. sin. ꝙ(ITa. cos. ꝙ) (IJa. cos.ꝙ)(I＋EA. cos. ꝙ) ＋ à. 5un. ꝙ. X. sin. ꝙ — à. 5in. P-LEàa. A. Sin. p. cos.9—A. din.9.A. a. ſin. g cos.ꝙ ITa. cos.ꝙ ＋ A. coS.ꝙ ＋ àA. A. cos. ꝙ2 ＋ a. A. sin.ꝙ⸗ a. sin. ꝙ— A. Sin. ꝙ ⏑ AÆν ＋ah cοs.,οο. A.(cos. ＋ sen. ꝙ“)

90 Hieraus erhält man mit Hülfe von 68: 1 (a— A) sin. ꝙ 10 F 4 85 312) 90 1 ＋(a＋ A). cos. ꝙ a. A Sind die Coordinaten rechtwinkelig, alſo 900, ſo iſt(ND 1 cos. ꝙ ν 0, daher: 5 a— A Nrmn 1 1 IV. Man ſucht die Gleichung einer Geraden, welche zu einer gegebenen Geraden ſenkrecht iſt. Die Gleichung der gegebenen Geraden ſey: y Æ Ax ＋ B, 140 und die Gleichung der Geraden, welche zu dieſer ſenkrecht iſt: „„*. Dieſe beiden Geraden bilden mit einander einen Winkel o, welcher nach 312 (a— A). sin. 1 4 Ycos. 0 Soll dieſer Winkel ein rechter, alſo tang.§ tang. 90 O0, ſeyn, ſo muß der Nenner dieſes Bruches verſchwinden oder es muß ſeyn: 0 0 σ ι̃ ＋＋(à ＋ A) cos. ꝙ ＋ a. A. 10 Hieraus erhält man: ut a. A ＋ a cos. S=— 1— A. cos. ꝙ oder: a(A ＋ C08. ꝙ)=—(1 ＋ A. co0s. ꝙ), daher: 314) a Wird dieſer Werth eingefuhrt, ſo iſt die Gleichung der 0 Senkrechten: 129. 0 02 1 4 A. cos.)* 8 A ＋T cos. ꝙ Iſt ꝙ 900, ſo iſt für rechtwinkelige Coordinaten: 1 9* A N 315) y r 0 316) a—

und die Gleichung der Senkrechten: 1 RR Die gefundenen Gleichungen enthalten noch die Konſtante b, welche unbeſtimmt geblieben iſt. In der That iſt die geſtellte Bedingung nicht hinreichend, die Gerade, ſomit auch deren Glei— chung, vollkommen zu beſtimmen, indem es ſehr viele Gerade geben kann, welche auf der gegebenen Geraden ſenkrecht ſtehen. VII. Man ſoll die Gleichung der Geraden finden, welche auf CD(Fig. 43) ſenkrecht iſt und durch den Punkt P geht, deſſen Coordinaten X1 und Ji ſind. Es ſey y=◻ AX ＋ B die Gleichung von CD, ſo iſt die der darauf ſenkrechten EF nach 315: 1 ＋ A. cos. ꝙ A ＋ cos. ꝙ 3 Da dieſe Gerade durch P gehen ſoll, ſo muß die Gleichung auch durch X. und Y1 befriedigt werden. Es iſt folglich auch: 1 ＋ A. cos. ꝙ 7 Durch Abzählen erhält man aus beiden: l A ＋ Cos. ꝙ 318) y— 1 oder auch: 1＋A. eos.ꝙ A. yIi TXI L(GAXITVI)COS. N —.XA A＋ cos. ꝙ A ＋T cos. ꝙ Sind die Achſen rechtwinkelig oder iſt P= 90“, ſo wird hieraus: 319) y ◻ Q— — 320) y— V1(X kEl) oder: 321) y Dieſe Gleichungen ſind vollkommen beſtimmt—

92 VIII. Man ſoll die Gleichung einer Geraden finden, welche zu einer gegebenen Geraden parallel iſt. Es ſey y ν Ax ＋T B die Gleichung der gegebenen Geraden iant und y= ax Y＋ b die der geſuchten. Da die Gerade zur gegebenen parallel ſeyn ſoll, ſo dürfen beide mit einander keinen Winkel bilden und es muß ö 0 ſeyn. Dieſes findet ſtatt, wenn der Zähler des Bruches in 312 0 wird, alſo wenn(a— A). çen. ꝙ 0 oder a= A iſt. Die geſuchte Gleichung iſt demnach: 1n 322)0 y ◻ Ax ＋ b. Die Konſtante b iſt hierin noch unbeſtimmt, wie es auch der Forderung nach nicht anders ſeyn kann, indem es eine unendliche 111 Menge Geraden geben kann, welche alle zur gegebenen Geraden parallel ſind. IX. Man ſoll die Gleichung einer Geraden finden, die durch einen beſtimmten Punkt P geht, deſſen Coordinaten Xxi und Yi ſind und die zu einer gegebenen Geraden parallel iſt. Die Gleichung der gegebenen Geraden ſey: „„ ET die der geſuchten wird, der Bedingung der Parallelität gemäß, nach 322 ſeyn müſſen: Da ſie durch den Punkt P gehen ſoll, ſo muß ſeyn: „ lunnt Hieraus erhält man durch Abzaͤhlen: 323)— v1 ͥ A-=⁵xj). Die Gerade, durch dieſe Gleichung dargeſtellt, iſt parallel zu: = 8 und geht durch den Punkt P.

Achtes Kapitel. Beſtimmung der Lage einer Geraden durch Polar— Coordinaten. §. 44. Methode der Beſtimmung durch Polarroordinaten. Iſt in einer Ebene eine Gerade XXI. ig. 44) und ein Punkt A in ihr gegeben, ſo wird die Lage einer Geraden AB, welche durch A geht gegen XXI, durch den Winkel t beſtimmt ſeyn. Ein Punkt P in AB wird durch die Entfernung u AP gegeben. Man erkennt hieraus, daß ein Punkt P, in einer Ebene mit XXI liegend, durch t und u ſeiner Lage nach gegen XXI beſtimmt iſt. Hierbei zählt man wieder den Winkel von der rech— ten Seite AX an nach oben hin von 0“c bis 3600. Man nennt XXI die Achſe, A den Pol, t den Polwinkel, u den Radius vector, u undet zuſammen Polarcbordinaten. Die Gleichungen t S g und u S ea beſtimmen alſo die Lage von P vollkommen, wenn und a gegeben ſind. An die Stelle von g⸗ kann man aber auch den Winkel c ＋ 4mn R ſetzen, für n= O, 1, 2, 3,...; alle Winkel, welche dieſer Ausdruck enthält, geben nur eine Richtung AP an. §. 45. Ulebertragung von Linear-Coordinaten in Polar- Coordinaten. J. Wenn der Coordinatenwinkel ein rechter iſt. Nach 26 und 28 iſt(Fig. 45): 8 8 8 Sin. t und— Cos. t, u u daher: 324) y◻ u. sin. t und X u. cos. t. Mit Hülfe dieſer Gleichungen iſt es leicht, alle früheren Aus⸗ drücke, die rechtwinkelige Coordinaten enthalten, in andere für Polarcoordinaten zu verwandeln.

94 II. Wenn der Coordinatenwinkel S iſt. In F. 40 iſt gefunden worden, daß Cig. 46) PM PN ———— 4 6 ba. t 5 ein.(ꝙ E EN 8 ＋ Æ＋ ſ6oen. ꝙ, 15 Æ Gll. ꝙ- Hieraus folgt: EM=uü ein t, EN=U ιεε ι ⸗ FRRRR ſo daß: y. 5in. ꝙ u. sin. t und X. sin. ꝙ u. sin.(ꝙ-t) und ſomit: 325)„*** und e, Sin. ꝙ Sin. ꝙ Vermittelſt dieſer Gleichungen kann man auch ſchiefwinkelige Coordinaten in Polarcbordinaten verwandeln. Es iſt in dieſer Unterſuchung überall angenommen, daß der Pol mit dem Anfangs⸗ punkt zuſammenfalle. §. 46. Polargleichung der Geraden. I. Wenn die Linearcvordinaten rechtwinkelig waren. Iſt die Gleichung der Geraden: ⏑ gB und nimmt man den Anfangspunkt für den Pol, ſo wird mit Huͤlfe von 324(Fig. 47): uiSEin, t A u Ccbs. t B oder: 4 Sin. d Ruüf iſt ehet. daher: C05. G. 8 Sin.& u(6in.t——. cos. t) B C058. oder: St eoe, eet, C05. d 3

— 95— daher mit Zuziehung von 199: gin.(t—- B. coS. Hieraus folgt die Gleichung der Geraden für Polarevordinaten: 3 B 60 326)—j— Fin.(t—) II. Wenn die Linearcvordinaten ſchiefwinkelig waren. Iſt ꝙ der Coordinatenwinkel und die Gleichung der Geraden: yIA. XxTB, ſo geht ſie durch Einführung der Polarcoordinaten über in: 2. t Sin.(ꝙ—t J 6in. ꝙ 6in. ꝙ Sin. Da nun nach 300 K——r:;!—.—, ſo wird hieraus, wenn Szn.(ꝙe=) zugleich mit sin. ꝙ vervielfacht wird: 6n.(ꝙ d) oder u. sin. t. sin.(S— q) S u. sin. a. sin.(ꝙ— 0 ＋ B. Sin. ꝙ. sin.(ꝙ— q). Hieraus erhält man: RRR sin. t. sen.(o-d)— sin. d. sin.(S-t) Der Nenner läßt ſich bedeutend vereinfachen. Es iſt: sin. t. oin.(S) sin. t. sin. ꝙ. cos. à— sin. t. cos. ꝙ. sin. — sin.&. oin.(S-t) sin.&. bin. ꝙ. coS.t ＋ sin. d. cos. ꝙ. oin. t Bei der Vereinigung beider Theile verſchwinden die letzten Pro— dukte und es bleibt: sin. t. ein. ꝙ. cos. d sin.&. oin. ꝙ. coS.t sin. ꝙ(oin. t. cos.«— cos. t. sin. d) sin. ꝙ. sin.(t—c) Indem man dieſen Werth einführt, erhält man: 3 B. sin. ꝙ. Sin.(ꝙ— d) sin. ꝙ sin.(t— d) B. sin.(urα) sen.(td)

96 Dieſe Gleichung geht, wie es ſeyn muß, fuͤr= 90 in 326 über. Bei Auwendung dieſer Gleichungen muß man beachten, daß Velr u nie negativ werden kann G. 15 c). Geben die Gleichungen 0 326 und 327 für ein beſtimmteset negative Werthe, ſo iſt dieß ein Zeichen, daß in der Richtung, welchent angibt, kein Punkt der Geraden liegt, wohl aber nach der entgegengeſetzten Seite, in der verlängerten Nichtung, die durch den Winkel 180 ＋ut angegeben wird. Hiernach kann alſo jedes u bald poſitiv, bald negativ ſeyn, je nachdem es in der Richtung von t oder in der Verlängerung dieſer Richtung, die durch 180 Aut angegeben wird, liegt. §. 47. Polar-Coordinaten durch Linear-Coordinaten dargeſtellt. Durch die Gleichungen 324 und 325 iſt man im Stande, die früheren Unterſuchungen über die Gerade mit Hülfe der Linear— coordinaten in ſolche für Polarcvordinaten umzuwandeln. Will man umgekehrt Ausdrücke, welche Polarcoordinaten enthalten, in ſolche für Linearcoordinaten umſetzen, ſo geben dieſelben Gleichun— gen hierzu den Weg an. ö Für die Verwandlung in rechtwinkelige Coordinaten erhält man aus 324, wenn beide Gleichungen zur zweiten Potenz erhoben und zuſammengezählt werden: „in u2. cos. t? = uꝛ(sin. t2 ＋ cos. t2) Nun iſt aber nach 68 die eingeſchloſſene Größe= 1, daher: ö X2). Auch hieraus erſieht man, was ſchon im vorigen Paragraphe bemerkt wurde, daß u in allen Lagen mit beiden Zeichen genommen N werden kann. Es iſt ferner nach 26 und 28: 15 V N 6en. t= und cos. t 2 3 0UU u u 1 daher, wenn der eben gefundene Verth für u eingeführt wird: v „§. 4 f„„ coõ lang. t π＋π 4 V— 329) 8'n. t——½.——— VGiIXR)

—.— 97— Auf dieſe Weiſe kann man alſo den Radius veetor ſowohl als den Polwinkel beſtimmen. Polarcoordinaten können durch ſchiefwinkelige Coordinaten au h ſch 9 folgende Art dargeſtellt werden. Nach 325 iſt: Xx sin. ꝙ u. Sin.(ꝓ-t) und y. cos. ꝙ u. sin. t Aus dieſen Gleichungen erhält man: ein Sin. ꝙ. cos. t— cos. ꝙ. sin. t Sin. t Sn. t = gsin. ꝙ. cok. t— chs. ꝙ oder: * ＋ cos. ꝙ ν sin. ꝙ. col. t und X＋VY. cS. ꝙ —— C6in. elik. k. N Hieraus ergibt ſich: . sin. ꝙ y. Sin. ꝙ ᷣrtff!.!.... 4an X ＋ y eCos. ꝙ Nach 81 und 87 iſt: ＋.— und(e„„ 5 VII I lang. tꝛ) Führt man hierin die eben gefundenen Werthe ein, ſo wird: 3 sin. C0s. Ant R Neos 3—— ein. 0² Ty CoS. ꝙ)2, sin. ꝙ ((i T y cos. 6. 00% ν ν0 2Fin. ꝙ2) sin. C VGAꝰ( ＋Æ＋ 2XyV. coS. ꝙ ＋Æ y2. C0s. 9 ＋ y7. Sin. 92) y. sin. ꝙ VGICI ZXy Cos. ꝙ ＋ J,(cos. ꝙ T sin. p7)) Arneth, Geometrie. 7

— 98— Da nun nach 68 sin. P2 ＋ cos. 9 ν 1, ſo iſt: 5 y. Sin. ꝙ 33„ 331) in VCII＋2xXy. coõs. ꝙ ＋ 3* Eben ſo iſt: Xx ＋ Y Cos. ꝙ 332) cos. t Beachtet man ferner, daß nach 325 und 331 Sin. ꝙ Sin. t y. Sin. ꝙ = Y Sin. ꝙ VGVITNY. C08.0 ＋ N u= MyM· ſo wird: 333) u=2 V G2 ＋T 2T1y. cos. ꝙ 70¹

Zweite Abtheilung. Von der Verbindung der Geraden zu ebenen Figuren.

Dritter Abſchnitt. Don dem Ureiſe cke * Neuntes Kapitel. Von dem Zuſam menhange der Seiten und Winkel des Dreieckes. §. 48. Von den Winkeln des Dreiecks. Zieht man von zweien Punkten A und C(Fig 48) einer Geraden AC nach be— ſtimmten Richtungen, alſo unter beſtimmten Winkeln zwei andere Gerade AB und BC, und nimmt man an, daß deren Richtungen verſchieden ſeyen, ſo werden ſie ſich zu einander neigen, zuſammen— kommen und der Unterſchied ihrer Richtungen wird der Winkel B ſeyn. Zieht man CD in derſelben Richtung wie AB, ſo wird dieſer Unterſchied auch durch den Winkel nangegeben und es wird ſomit n⸗ B ſeyn. Verbindet man nun die beiden Gleichungen m= A unden B durch Zuzählen und beachtet dasmEn= BCE, ſo iſt: 334) A＋L BÆ, BCE. Der Winkel BCE iſt der äußere Winkel des Dreiecks, deſſen innere entgegengeſetzte A und B ſind. Man findet ſomit: der äußere Winkel des Dreiecks iſt der Summe der beiden innern entgegengeſetzten gleich. Zählt man auf beiden Seiten der vorſtehenden Gleichung den Winkel C des Dreiecks zu, ſo wird: · B TXο, BCCE ÆE

Nun ſind aber BCE und C Nebenwinkel und dieſe machen nach 5 zuſammen zwei Rechte aus, daher auch: 335) A ＋ B ＋ C= 2R 1800. Alle Winkel zuſammengenommen ſind daher zweien Rechten oder 1800 gleich. Hieraus folgt: 10. Sind zwei Winkel oder auch nur deren Summe gegeben, ſo iſt auch der dritte Winkel beſtimmt und gegeben, und umgekehrt, iſt ein Winkel gegeben, ſo kennt man auch die Summe der beiden andern. 20. Sind zwei Winkel einander gleich H A, ſo iſt der dritte B= 2 KR= II) und K= R— B. 30. Sind alle Winkel einander gleich=B 2 R 180⁰ ein jeder- 660. 3 3 40. Alle Winkel des Dreiecks können ſpitz, nur einer kann ſtumpf ſeyn. Im erſten Falle heißt das Dreieck ſpitz⸗ winkelig, im andern ſtumpfwinkelig. Da alle Winkel zuſammen 180 ausmachen müſſen, ſo kann weder einer noch die Summe zweier dieſen Werth erreichen. 50. Iſt der Winkel C ein Rechter, ſo müſſen die beiden an⸗ dern zuſammen einem Rechten gleich ſeyn K A B 900. Die Linien, welche das Dreieck bilden, heißen Seiten. Hat ein Dreieck zwei Seiten gleich, ſo nennt man es gleichſchenkelig, ſind aber alle Seiten gleich, ſo nennt man es gleichſeitig. §. 49. Von dem Zuſammenhange der Seiten und Winkel unter ſich. Man ziehe im Dreiecke ABC(Fig. 49) die Gerade BD ſenkrecht zu AC, ſo iſt, nach 26: BD D = ein.& und 8 0 a daher: B3D e sin. A und BD a sin. C Hieraus durch Gleichſetzung: e sin.=. Dieſe Gleichung zeigt nun, welcher Zuſammenhang ſtattfindet zwiſchen zwei Seiten des Dreiecks und den Sinuſſen ihrer an— liegenden Winkeln, die Produkte der Seiten in die Sinuſſe der

— 103— anliegenden Winkel ſind gleich. Dieſes Geſetz iſt kein anderes als das ſchon früher in 292 gefundene. Gibt man der Gleichung die Form: ſEn. FE1n. C ſo enthält ſie das Geſetz: die Seiten meſſen ſich ſo oft als die Sinuſſe der ihnen gegenüberliegenden Winkel. Wählt man die Form: A C ein. X ſFin. C ſo läßt ſich die gefundene Wahrheit auch auf folgende Art ausdrücken: die Seiten werden gleichoft gemeſſen durch die Sinuſſe der gegenüberliegenden Winkel. Das angeführte Geſetz in ſeinen verſchiedenen Formen findet aber ſtatt für irgend zwei Seiten und den ihnen entſprechenden Winkeln; man erhält ſomit folgende drei Reihen von Gleichungen: Fdin. FF A). A. e b sin. B a sin. A 0 sin. C b sin. B 0 sin. C a C 3in. K csin. C b e B In U Die letzte Reihe läßt ſich in eine Gleichung vereinigen: a b C 3—— 2 Sin. A Sin. B Sin. C Dieſe Geſetze ſiud bloß für das ſpitzwinkelige Dreieck entwickelt.

— 104— Im ſtumpfwinkeligen Dreiecke iſt, wenn wieder BD(Fig. 50) ſenkrecht zu AC: 2 5 sin. A und 28— gSin. B0D 8 Nun iſt aber BCD=180- und nach 103 Sin.(180-C) Ssin. C BD daher: 3 aIuin uüd„„3*3* 0 und BD C. sin. A und BD a. sin. C folglich:„ ein Hieraus erſieht man, daß eine beſondere Form des Dreiecks das gefundene Geſetz nicht abändert. Eine zweite Grundgleichung des Dreiecks erhält man auf fol— gende Weiſe. Es iſt nach 28: 60f.& und cos. C C a daher: AD C cos. A und CD a cos. C Beide Gleichungen vereint geben: AD ＋ DC S a. cos. C＋. cos. A da nun AD ＋ DC= AC b, ſo iſt b 2 a. cos. C＋ C. cos. A Dieß gilt für das ſpitzwinkelige Dreieck; für das ſtumpfwinkelige iſt(Fig. 50): AD D — cebs. X und 5 Æ＋ cCos. BCD C a Da nun BCD= 180— C und nach 119: cos.(1800— C)== ceos. C, ſo iſt: AD D „dbs⸗ A und 5— ebs. Hieraus erhält man: AD¹ C. cos. A und CD=— a. cos. C und beide Gleichungen vereint geben: AD DU eobs. A a Co. C. Nun iſt: AD— CD= AC b daher: „ Die beſondere Form des Dreiecks hat alſo auch hier keinen Einfluß

— 105— auf die gefundene Gleichung, welche ſomit gilt, wie daſſelbe auch beſchaffen ſeyn mag. Für je zwei Seiten und die Coſinuſſe der anliegenden Winkel finden daher folgende Gleichungen ſtatt: 340) à= b cos. ge cbs. B biiasttcost Gheß et Ebs. K Ae ene Die Gleichungen 336 und 340 laſſen ſich zu einem Geſetze ver— binden. Es iſt nach der erſten Gleichung: 63 und nach der andern: Bebs G E ebs,& A Iin Erhebt man beide zur zweiten Potenz und zählt ſie zuſammen, ſo entſteht: b2(a. sin. C. sin. 2 ＋(a. cos. C＋. cos. A)2 zi C 2 ae ‚Eſlan eauin. G. zin& C0s. O ae ceos.(Cos. G 6(0s. K a?(ſin. C2 ＋ Cs. C2) ＋ 2 ac(coS. A. cos. C— Sin. A. sin. C) 2(Cin. A2 ＋L cos. A2). Mit Hülfe von 68 und 198 wird hieraus: be ◻ a? ＋ 2 ac. cos.(A ＋ C) ＋ c2. Nach 335 iſt nun A ＋EB＋ C= 180“ daher AÆπ C= 180-— B und cos.(A ＋ O) σcõos.(180— B)== cos. B(119), ſomit b= 22 DRae ebs B es. Wendet man dieſes Geſetz auch auf die übrigen Seiten an, ſo er— geben ſich folgende Gleichungen: 341) a2= bꝛ— 2 be. Co5. A ＋ e2 ee Io Aus 340 ergibt ſich der Zuſammenhang der Seiten des Dreiecks unter ſich. Da alle Coſinuſſe kleiner als eins ſind, ſo iſt: b= bßü. eos, Cund e cos, B daher auch: b ＋ eb. cos. C＋ e. cos. B Ya. Da daſſelbe für die andern Seiten gilt, ſo muß ſeyn.

— 106— 342) b( a b à4 b d. i. zwei Seiten des Dreiecks müſſen zuſammen genommen immer größer ſeyn als die dritte. Die bisher gefundenen Wahrheiten beziehen ſich nun: 335 auf den Zuſammenhang der Winkel unter ſich. 336³ 341ͤ 3„ Seiten und Winkel. 3422 5„ unter ſich. Beſonders zeigen 335 und 342 an, unter welchen Bedingungen willkürlich gewählte Werthe von Winkeln oder Seiten einem Dreiecke angehören können. §. 50. Von der Veſtimmung der Dreiecke. Von den Gleichun⸗ gen 336 und 341 enthaͤlt eine jede nur vier Elemente, Seiten und Winkel des Dreiecks; durch irgend drei kann daher ein viertes dargeſtellt werden, woraus hervorgeht, daß durch drei Stücke das Dreieck beſtimmt iſt und daß, wenn drei gegeben ſind, man die übrigen aus dieſen auffinden kann. Seiten und Winkel des Dreiecks laſſen ſich aber zu dreien auf folgende Art verbinden. 3 Seiten, 2 Seiten und 1 Winkel, 1 Seite und 2 Winkel oder alle Winkel. Es ergeben ſich mithin drei Fälle für die Beſtimmung des Dreiecks aus den Elementen deſſelben, und in dem Folgenden ſoll unterſucht werden, ob die gegebenen Größen zur Beſtimmung des Dreiecks hinreichend ſind, ob durch dieſelben dieſe Beſtimmung vollkommen und nur auf einzige Weiſe möglich iſt. 2 J. Man kennt die drei Seiten des Dreiecks. Die Gleichungen 341 geben: 343 C06. 0. B

Für beſtimmte Werthe der drei Seiten a, b, erhält man aus jedem der drei Brüche nur einen beſtimmten Zahlenwerth für den Coſinus. Ein ſolcher Coſinus kann jedoch. 17) der Winkelreihe 4 R— c, 4 R Tafeln iſt. Nun darf aber ein Winkel& eines Dreiecks den Werth von 1800 10 er⸗ angehören, wenn à der Winkel aus den reichen G. 48, 4) und ſomit iſt nur der erſte Winkel dieſer Reihe möglich, indem alle anderen größer als 1809 ſind. Hi— iſt vorausgeſetzt, daß die Zahlenwerthe der obigen Brüche poſitiv ſeyen. Iſt einer der Brüche negativ und der Winkel, die Zahl der Winkel des Dreiecks, welcher dem negativen Coſinuſſe entſpricht, enthalten in der Reihe: 2 R— 4, 2 R ＋ a, 6 R— g, 6 R＋ Von allen dieſen iſt nur der erſte möglich; denn à iſt als ein Winkel als poſitiv angeſehen, a, ſo iſt der Tafeln zwiſchen 0» und 90“ enthalten, daher nur der erſte Winkel unter 180“ iſt, die anderen aber dieſe Grenze alle überſteigen. Hieraus ergibt ſich alſo, daß, wenn a, b, ebnur wirklich Seiten eines Dreiecks ſind, man aus jedem der obigen Brüche nur einem Zahlenwerth und zu dieſem nur einen Winkel erhält, ſo daß die drei Winkel durch die drei Seiten vollkommen und nur auf einzige Weiſe beſtimmt werden. Aus drei Seiten kann man daher nur ein einziges Dreieck bilden, denn alle Dreiecke, aus denſelben Seiten gebildet, ſind von einander nicht verſchieden, haben alle Elemente, Seiten und Winkel, wechſelweiſe gleich. Da der Coſinus immer kleiner als Eins ſeyn muß G. 17), ſo werden die Winkel unmöglich, wenn die Brüche in 343 größer als Eins werden, alſo wenn die Zähler größer werden als die Nenner. Dieß kann jedoch nie ſtatt finden, wenn die Bedingung 342 erfüllt wird, die Seiten alſo wirklich einem Dreiecke angehö— ren. In dieſem Falle iſt immer: à ＋ b alſo a be, a?(b-=e)? b?- 2b0 4 62 oder bꝛ ＋ 2— a2 T2 be, daſſelbe läßt ſich für die andern Brüche erweiſen. Beiſpiele. Es ſey a 2σ20“ b=25“,(= 18, ſo iſt a?= 400

b2 Æ 625, 324; 2 ab 2. 20. 25 1000, 2 ac= 2.20. 18 720, 2be=2 2. 25. 18 900, daher: 625 ＋ 324— 400 549 ——————————XOTIAQ:A³àa VO0,61 eos. A 900 900 8 = Ccos. 520 24“/ 37%8 400 ＋ 324— 625 99— 2 0,1375 cCcos. 820 5/ 48%5 400 ＋ 625— 324 701 FEEEEEECECEEEEEEECCC 9 185 1000 1000 5 (cCos. 450 19/ 33/7 Es ſey a ◻12, b= 10/%(n2 20“, ſo iſt a: ν 144, b2 100, C2 400, 2 ab 240, 2 ac= 280, 2be π 400, daher: 686 0 5 700 0,89 ＋ ſcCos. 2707/ 36“, 3 144 ＋ 400— 100 444 —— 2 0,925 480 H480* = chse. 220 19/ 54“ 440% ½ 100% 4%%h .CC.. cos. C 240 2⁴⁰ 3 2 cCos. 490 27/ 30%%3= ＋L cos. 1300 32/ 29/%7 Im erſten Beiſpiele 95 alſo: A 520 24/37/%/ö8; B820 5“/ 48/5; C= 450 29“33¾7 und im zweiten: A 2 270 7, 36/%ĩ'3; B 220 197/ 54“/; C== 1300 32“(27%½ö7 Das erſte Dreieck iſt ſpitzwinkelig, das zweite ſtumpfwinkelig, bei beiden iſt die Summe aller Winkel= 180“. Nimmt man an es ſey a2=8“, b=10/ e=25 ſdt a2 σ 64, 2 2 100, 625, 2 ab= 160, 2 ac= H400, 2 be S 500 und es wird: 109 100 ＋ 625— 64 561 1.32 zalich .—————————————— 15322 ρ 500 500 3 unmöglich 64. ＋ 625— 100 589 C068. B 2— ◻ 5125 unmögl. 3 400 400 1,46125 unmög 64 100— 625— 461 60˙⁹q οο⏑ Se ⁊ 2,88125 unmögl.

Bei dieſen Annahmen iſt aber a ＋ b Te, a ＋ e S[b und b ＋ e Sa, was gegen die Gleich. 342 iſt. In dieſem Falle kann alſo aus den drei gegebenen Linien gar kein Dreieck gebildet werden, ſomit können auch keine Winkel ſtatt finden. Die Konſtruktion des Dreiecks aus ſeinen drei Seiten iſt leicht, wenn man ſich der, in der Einleitung angeführten, Eigenſchaft des Kreiſes erinnert, nach welcher alle Punkte dieſer Curve von einem Punkte, dem Mittelpunkte, gleichweit entfernt ſind. Die Gerade, welche dieſe Entfernung angibt, heißt der Radius und iſt derſelbe gegeben, ſo kann man leicht, mit einem bekannten Inſtru— mente, dem Zirkel, einen Kreis oder einen Theil deſſelben, einen Bogen, beſchreiben. Sind nun die Seiten des Dreiecks a, b,« gegeben, ſo daß b die Grundlinie iſt und aàa und e die anliegenden Seiten rechts und links ſind, ſo ziehe man eine Gerade AC b Cig 51); aus C beſchreibe man mit dem Radius BC= a einen kleinen Bogen mu und eben ſo aus A mit dem Radius AB eé einen Bogen paq, die beiden Bogen durchſchneiden ſich in B; wird nun dieſer Punkt mit Cuund A verbunden, ſo iſt AB0 das Dreieck, deſſen Seiten der Konſtruktion gemäß b, àa und« ſind. Zeichnet man die ganzen Kreiſe, ſo haben dieſe noch einen Durchſchnitts— punkt unterhalb AC, es könnte daher noch ein Dreieck gebildet werden. Dieſes zweite Dreieck iſt aber nur ſeiner Lage nach von dem erſten verſchieden, wie dieß nach der Konſtruktion nicht anders ſeyn kann. Man ſieht alſo wie Rechnung und Zeichnung nur ein Dreieck geben und dieſes iſt daher durch die drei Seiten vollkommen, nur auf einzige Weiſe, beſtimmt. II. Man kennt zwei Seiten und einen Winkel. Verbindet man zwei Seiten mit einem Winkel, ſo kaun der Winkel zwiſchen den beiden Seiten liegen, von ihnen eingeſchloſſen werden, oder es kann ein anliegender Winkel ſeyn. Trennt man dieſe beiden Fälle, ſo können gegeben ſeyn: A.) Zwei Seiten und der eingeſchloſſene Winkel.

Nach 341 iſt: a?= b2 2 be. cos. K ＋ Sind nun b, e, A beſtimmt und gegeben, ſo wird, da einem beſtimmten Winkel nur ein beſtimmter Coſinus zugehören kann, der Ausdruck zur Rechten nur einen beſtimmten Werth darſtellen und ſomit auch a vollkommen und nur auf einzige Weiſe beſtimmt ſeyn. Auf dieſe Art gibt die Formel die dritte Seite, und aus den drei Seiten können nunmehr die beiden übrigen Winkel nach 342 aufgefunden werden. Man findet ſomit, daß zwei Seiten und der eingeſchloſſene Winkel hinreichend ſind, die dritte Seite und die beiden übrigen Winkel zu beſtimmen, und daß dieſe Beſtimmung aus den gegebe— nen Elementen nur auf eine einzige Weiſe geſchehen kann, daß aus den gegebenen Stücken nur ein Dreieck gebildet werden kann, weil alle Dreiecke, aus denſelben Elementen gebildet, dieſelben ſeyn müſſen. Die obige Formel gibt: a= ＋ V c(bꝛ2— 2 b.. cos. A ＋ e2) alſo zwei Werthe für a, welche zwar gleich, ſich aber doch in den Zeichen entgegengeſetzt ſind. Hier gilt das, was ſchon in G. 46) in Bezug auf den Kadius vector erwähnt worden iſt. Es kann hier zuletzt noch die Frage angeregt werden, ob a immer möglich iſt, wie man die Werthe von b, e, A auch wählen mag, oder ob dieſe Werthe gewiſſe Bedingungen erfüllen müſſen, wie z. B. die drei Seiten 342, um zu einem Dreiecke vereiniget werden zu können. Wie die Werthe von b uund e auch beſchaffen ſeyn mögen, ſo wird die obige Wurzelgröße immer möglich ſeyn, ſo lange bꝛ ＋˙e 2 be. cos. A iſt. Nun iſt cos. A immer ein ächter Bruch und hat ſeinen größten Werth bei' wo er= 1 iſt G. 17). Für dieſes Max. des Produktes hat man aber immer noch: a= TVbꝛ2— 2bœ ＋ ο= ÆVYGb-)02 Ob-=) alſo eine mögliche Größe. Kleiner als(h— 6)2 kann die Zahl in den Klammern nicht werden, wohl aber wird ſie für jeden andern Werth von XA zwiſchen 0o und 180“ größer ausfallen. Wie daher auch b, e, A beſchaffen ſeyn mögen, ſo läßt ſich aus ihnen immer ein Dreieck bilden.

Riſviet Es ſey g 10½% e 8, B 6099, ſe iſt 2 103 10 8 cos. 600 83 ＋ 100— 160. 0,5 ＋ 64 ＋ 164— 80 84 daher: bis VS8A= 9,165. Mit Hülfe dieſes Werthes erhält man nun aus 343: eee re 3 0053273½% g1799ο, 33˙ ꝗ36 X 84 und „ 00 84 6% 120 nie 6 — 70 5—.— O0 6 7 0/6546540 C. 490 6“ 24“ Die dritte Seite iſt alſo b= 9,165... und die beiden andern Winkel ſind: A 700 53“/ 36“ und C== 490 6“ 24“% und außer dieſen Werthen ſind keine andern möglich. Nimmt man an es ſey a= 12“/,= 7“ und B 1020, ſo iſt: bꝛ= 122— 2. 12. 7. 006. 1020 ＋ 72 ＋ 144— 168. cos. 1020 ＋ 49 =＋ 193— 168. cos. 102 Nun iſt aber§. 17, 119. cos. 1020 τ ̊ cos.(180 102) cos. 780 daher: bꝛ 193 ＋ 168. cos. 780 193 ＋ 0,2079117. 168 193 34,9291656 227,929165%60ꝙœꝙ alſo: b= VM 227,9291656 15,09732.

Mit Hülfe dieſes Werthes erhält man für die beiden Winkel A und C: 1 b 4 c2— 22 227,92916 ＋ 49— 144 „„ 2 7 15,09732 132,92916 132,92916 2 0,6289154 »1.15,09732 211,36248 cos. 510 1/ 48“% a2 4 be—( 144 4. 227/92916— 49 302,92916 322,92916 0,8912430 24.15,09732 362,33548 Æ＋ Cos. 2658“ 12“ Die Elemente, welche hier durch zwei Seiten àa und eeund dem Winkel B, welchen ſie einſchließen, beſtimmt worden, ſind die dritte Seite: b D 157%,, 09732 und die beiden Winkel, welche an dieſer Seite anliegen: A 2 510 17/ 48“ und C== 26“ 58“/ 12“ Die Bildung des Dreiecks durch Zeichnung iſt höchſt einfach. Sind b, c und A gegeben, ſo zeichne man eine Gerade ACSb ig. 51), an dieſe in A lege man den gegebenen Winkel A und mache AB= e˖, verbindet man nun B mit C, ſo iſt ABC das Dreieck. B.) Zwei Seiten und ein anliegender Winkel. Iſt der gegebene Winkel nicht wie im vorigen Falle einge— ſchloſſen und ſind a, e und C die gegebenen Elemente, ſo ergibt ſich der andere anliegende Winkel aus 336: a Fn. Aen 8 Die gegebenen Werthe auf der rechten Seite dieſes Ausdruckes ſubſtituirt geben nur einen Zahlenwerth, gehört dieſem als Sinus der Winkel à aus den Tafeln an, ſo kann der geſuchte Winkel des Dreiecks ein jeder aus der Reihe: 8 5 ä s ſeyn(§. 16). Da nun à als ein Winkel der Tafeln zwiſchen 0 jed 21

— 113— und 900 enthalten ſeyn muß, ſo können nur die beiden erſten Winkel der Reihe dem Dreiecke angehören, indem alle andern größer als 180» ſeyn werden. Die Rechnung läßt aber unbe— ſtimmt, welcher von den beiden Winkeln& oder 2 K— a ge— nommen werden muß, woraus man ſchließen wird, daß die Ele— mente a, e und C eben ſowohl einem Dreiecke angehören können, deſſen Winkel KA=a, als einem andern deſſen zweiter anliegender Winkel A Æ 2R— à iſt. Der erſte Winkel gibt für die dritte Seite des einen Dreiecks 340: Eeis eos K und der zweite für die dritte Seite des anderen: Bebs, e eos(OOR 3) „ o dieſe ſind alſo auch verſchieden und man findet: Sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben, ſo kann es zwei Dreiecke geben, ein ſpitzwinkeliges und ein ſtumpfwinkeliges, welche die gegebenen Elemente be— ſitzen, deren übrige entſprechende Elemente aber ſämmt— lich verſchieden ſind. Es iſt hier ſchon angegeben worden, wodurch die beiden Dreiecke ſich unterſcheiden, das eine hat den ſpitzen Winkel A Sa, das andere den ſtumpfen A= 2 R—. Das Unbeſtimmte des Falles wird aufhören, wenn man angibt, in welchen Rechten der Winkel fällt(§. 15, 4), alſo ob das Dreieck ein ſpitzwinke— liges oder ein ſtumpfwinkeliges ſeyn ſoll. Hiernach iſt nun beſtimmter: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel beſtimmen ein Dreieck vollkommen und nur auf einzige Weiſe, wenn noch ferner angegeben wird, ob daſſelbe ſpitzwinkelig oder ſtumpf— winkelig iſt, und alle Dreiecke, welche aus denſelben Stücken gebildet und derſelben Bedingung unterworfen wurden, ſind dieſelben. Iſt der gegebene Winkel Cein ſtumpfer, ſo kann kein zweiter mehr im Dreiecke ſtatt finden; es kann aus der obigen Reihe nur Arneth, Geometrie. 8

— 114— der ſpitze Winkel à genommen werden und das Dreieck iſt voll— kommen beſtimmt. Die Konſtruktion führt gleichfalls auf die angegebene Unbe⸗ ſtimmtheit des Falles, wenn C ein ſpitzer Winkel iſt. Man zeichne eine Gerade von unbeſtimmter Länge(Fig. 53). An einem Punkte Cin ihr lege man den gegebenen Winkel Can und mache CB= a ⸗= der gegebenen Seite. Von B durch⸗ ſchneide man mit e der zweiten gegebenen Seite die Gerade AC; dieß kann in zweien Punkten A und Ai geſchehen. Von den beiden Dreiecken, welche hierdurch entſtehen, hat das erſte ABC die Seiten BC= a, AB e und den Winkel C, das andere AlBC hat die Seiten BC a, AlB c und den Winkel Cz beide haben dieſelben gegebenen Elemente und ſind demnach unter ſich verſchieden. In der obigen Gleichung: sin. A C müſſen a, e und C ſo beſchaffen ſeyn, daß der Ausdruck zur Rechten immer kleiner als Eins iſt, weil kein Sinus dieſen Werth überſteigen kann. Hieraus geht hervor, daß nicht alle willkürlich gewählten Werthe von a, e und C ſich zu einem Dreiecke vereinigen laſſen, indem a ſo groß oder e ſo klein gewählt werden kann, daß Lin. C die Einheit überſteigt, der Winkel alſo und ſomit das Dreieck unmöglich wird. Beiſpiel. Es ſey a= 10“/,= 8u. C= 490 6“ 24%, ſo iſt: N 3. sin. 490 6“ 24“ 1,25. 0,7559297 0,9449121 Sin. 700 53/ 36“ sin. 1090 6“(24“ Es iſt daher: A 2700 53“ 36“ oder: A ◻ 1090 6“ 24“ Aus beiden Winkeln findet man den dritten: B= 600 oder: B 21“ 2““ 22“

Die dritte Seite iſt, für den erſten Winkel: FRess CeCeb& 10 cs. 4996/ 24“ 8 cCos. 70053“/ 36% 10. 0,654654 ＋ 8. 0,327327 6,54654 2,618618 sis und für den andern: z cos. GEe cos. A Æ＋ 10. cos. 490 6“ 24,“ ＋ 8. cos. 1090 6/ 24“ = 10 cos. 490 6“ 24“— 8. cns. 700 53“ 36“ 10. 0,654654— 8. 0,327327 ＋ G6,54654— 2,618616 ＋ 3,927924 Das eine Dreieck hat daher die Seiten: 101 F9iis 6 8 und das andere die Seiten: 10 b= 3,927924 83 das erſte hat die Winkel: ee z 60 G=1490 61—24˙ und das andere die Winkel: E109 6“ 24“ B= 210 47 12“ C= 1490 6244 III. Eine Seite und zwei oder alle Winkel ſind gegeben. Iſt die Seite b gegeben und die Winkel des Dreiecks, ſo iſt nach 336: Sin. A sin. C a= b. und== b. 6in. B sin. B Dieſe beiden Gleichungen geben, eine jede, nur einen be— ſtimmten Werth für die Seite, welche geſucht wird, und dieſe Sei— ten ſind immer möglich, wie man auch die Seite b wählen mag und welche Werthe man für die Winkel annimmt, wenn ſie nur die Bedingung 335 erfüllen. Hieraus ergibt ſich: Durch eine Seite und die Winkel iſt das Dreieck voll⸗ kommen beſtimmt.

— 116— Beiſpiel. Es ſey b= 1000%, A 700 53/36“ B 60e ſo iſt C⸗= 490 6“ 24“ und ein. 70053“/ 36“ 0,9449121 ——— 1003— a 1000 0⁰ 01 1000. 1,8898242 2＋ 1889/, 8242 §in. 490 6“/ 24“ 0,7559297 100⸗0h— 1000 5 955 sin. 60“ 0,5 1000. 1,5118594 ＋ 1511“, 8594. Die Konſtruktion des Dreiecks ergibt ſich faſt von ſelbſt. Man zeichne eine Gerade AC ig. 51) von der gegebenen Länge b, an den Endpunkten derſelben lege man die gegebenen Winkel A und Can und ziehe AB und CB, ſo iſt ABC das Dreieck. Die Unterſuchungen dieſes§ haben ſomit zu folgenden Reſul⸗ taten geführt. 344) 346) 347) Kennt man von einem Dreiecke alle Seiten, ſo kann man aus dieſen alle Winkel finden, die Seiten beſtimmen die Winkel vollkommen, nur auf eine einzige Weiſe und daher auch das ganze Dreieck. Sind von einem Dreiecke zwei Seiten und der eingeſchloſ— ſene Winkel gegeben, ſo beſtimmen dieſe die dritte Seite und die übrigen Winkel vollkommen, daher auch das ganze Dreieck. Durch zwei Seiten und einen Winkel, welcher nicht von dieſen eingeſchloſſen iſt, ſind die übrigen Stücke und ſomit auch das ganze Dreieck vollkommen beſtimmt, ſobald noch ferner beſtimmt iſt, ob das Dreieck ſpitzwinkelig oder ſtumpf⸗ winkelig iſt. Fehlt dieſe letztere Beſtimmung, ſo können zwei Dreiecke ſtatt finden, welche die gegebenen Elemente beſitzen, ohne dieſelben zu ſeyn. Eine Seite und die Winkel beſtimmen vollkommen die bei⸗ den andern Seiten und ſomit das ganze Dreieck. 40 11

— 117— §. 51. Von dem Zuſammenhange der Seiten und Winkel des Dreiecks, bei beſonderer Veſchaffenheit deſſelben. Sind in einem Dreiecke zwei Seiten einander gleich, z. B. c S a, ſo erhält man aus 343: 6„ b2 b RCEEEUGEEhhhhhhhh)UUUURUUUUUEEEEEAEAEAEAEARARR 5 2 ab 2 2 und 60 a? ＋ b?— 02 bꝛ 5 8 2 ab F alſo: cos. C cos. A Bei der in§. 48 angegebenen Beſchränkung der Winkel kann nun hieraus nur folgen: * ſo daß man findet: 348) Sind in einem Dreiecke zwei Seiten einander gleich, ſo ſind auch die, dieſen Seiten gegenüberliegenden, Winkel gleich. Hieraus folgt wieder: 349) Sind in einem Dreiecke alle Seiten gleich, ſo ſind auch alle Winkel gleich. Nimmt man umgekehrt an, es ſeyen die Winkel Aund Cein— ander gleich, ſo ſind es auch deren Sinuſſe, daher die Gleichung en.& uͤbergeht in: i: 350) Sind in einem Dreiecke zwei Winkel einander gleich, ſo ſind auch die Seiten gleich, welche dieſen Winkeln gegenüber ſteyen. Hieraus folgt ſerner: 351) Sind in einem Dreiecke alle Winkel gleich, ſo ſind auch alle Seiten gleich, und gleichſeitig und gleichwinkelig iſt eins und daſſelbe. Sind die Seiten ungleich und iſt e a, ſo muß in der Geichung a. sin. C= C. sin. A auch sin. C sin. A ſeyn, weil ſonſt dieſe Produkte einander nicht gleich ſeyn können. Iſt

— 1183 aber zin. Csin. A, ſo iſt auch, bei der Beſchränkung, daß A＋ C180 nicht erreichen kann, CA, woraus hervorgeht: 352) Im Dreiecke ſteht der größeren Seite der größere Winkel gegenüber, und der kleineren Seite entſpricht der kleinere Winkel. Nimmt man umgekehrt an, daß C A, ſo iſt auch zin. Csin. A, nach der obigen Bemerkung, und daher noth⸗ wendig auch e a, ſo daß: 353) Im Dreiecke ſteht dem größeren Winkel die größere Seite und dem kleineren Winkel die kleinere Seite gegenüber. Man hat drei Arten beſonderer Dreiecke. Gleichſchenkelig heißt ein Dreieck, welches zwei gleiche Seiten hat. Gleichſeitig oder gleichwinkelig iſt das Dreieck, welches alle Seiten und ſomit auch alle Winkel gleich hat. Nechtwinkelig heißt das Dreieck, deſſen einer Winkel 900 iſt. Die beiden Seiten, welche zu einander ſenk⸗ recht ſind, werden Katheten genannt, die dritte Seite dem rechten Winkel gegenüberſtehend heißt Hypotenuſe, ſie iſt, dem größten Winkel entſprechend, die größte Seite des Dreiecks. Die früheren Grundgleichungen für das Dreieck nehmen in dieſen beſonderen Fällen auch beſondere Formen an. Für das gleichſchenkelige Dreieck geben die Gleichungen 336 identiſche Ausdrücke. 340 führt zu: b S a. 00s. C c. cos. ASa. cos. A ＋T a. cos. A — 2 a. cos. A Aus 341 erhält man: bꝛ= 22— 2 ac. cos. B 4 e a2 2 à2 C05. B EA = 2 aꝛ²— 2 a2 Ccos. B 2 a?(1— cos. B) Nach 209 iſt aber 1— cos. B ν 2. sin. Be daher: bꝛ A4 a2. sin. 2 B2 Wird hieraus die Wurzel gezogen, ſo erhält man für den Zuſammenhang der Seiten und Winkel des gleichſchenkeligen Dreiecks die Gleichungen: 95 00

— 119— 852eos, A und b= 2 à enmn. I B. Für das gleichſeitige Dreieck geben die allgemeinen Gleichun— gen identiſche Ausdrücke und die Gleichung sin. 1 B coο. B ν gsin. 300 cos. 600. Im rechtwinkeligen Dreiecke (Fig. 54) iſt A ＋ B= 900 daher B= 90— A, sin. B sin.(90— A ν cos. A, cos. Bσ cços.(90 A) sin. A, und nach 336: b. ein. A I b ein.& oder à cos.& ( ein. A 5= ein. b. Sin. C e sin. B 5„ b C0. A folglich: 22 a neundb ei a= e zin. A und e Sin. A „„ͤ„ co. A Aus 340 erhält man: e S a. cCos. B ＋ b. cos. A daher 356) c ◻ a. Sin. A ＋ b. cos. A Zuletzt füͤhrt 341 zu: c2 aga— 2 ab. cos. C ＋ b oder, weil cos. C= Cos. 900 0, zu: 357) c aa2 ＋＋ bs oder a2 C— be=(e ＋ b)(e— b) be(2— aꝛ?=( ＋ b)(e— b) Die zweite Potenz der Hypotenuſe iſt alſo gleich der Summe den zweiten Potenzen der beiden Katheten.

Zehntes Kapitel. Vergleichung mehrerer Dreiecke, die in beſtimmten Beziehungen zu einander ſtehen. §. 52. Von der Identität oder Congruenz der Dreiecke. Man nennt Dreiecke identiſch, eongruent, wenn alle Elemente, Seiten und Winkel des einen gleich ſind allen Elementen des anderen 0 in derſelben Ordnung genommen. Auf die Fälle, in welchen 5 Dreiecke, die gewiſſe Elemente gleich haben, dieſelben ſind, iſt in§. 50 hingewieſen worden, die Wichtigkeit des Gegenſtandes erfordert aber eine ausführlichere Betrachtung. Man nehme an, es ſeyen in den beiden Dreiecken ABC und AIBICIi(Fig. 55) die Seiten des erſten gleich den Seiten des an— deren in derſelben Ordnung genommen, alſo a S at, b c Sei/ ſo iſt nach 343 für das erſte Dreieck: bꝛ2 ＋ c?— a2 b12 C cos. A e 1 2 he 2 b1 1 eben ſo iſt aber auch für das zweite Dreieck: 0 b12 612— 312 cos. A1 3 2 1 C1 daher: 60 CeEbs.&. Ar Obſchon nun dem cos. A eine ganze Reihe von Winkeln entſprechen kann, ſo iſt für das Dreieck doch nur der erſte zu— läſſig, ſomit: Auf gleiche Weiſe findet man B.= B und C. C, ſo daß: 358) Sind in zweien Dreiecken die Seiten des einen gleich den Seiten des anderen in derſelben Ordnung genommen, ſo fN ſind auch die Winkel des erſten den homologen Winkeln des andern gleich und die Dreiecke ſind congruent. Sind in zweien Dreiecken zwei Seiten und der davon einge— ſchloſſene Winkel des einen den entſprechenden Seiten und dem

eingeſchloſſenen Winkel des anderen gleich, z. B. a1 a, e1 Se, B.= B, ſo iſt nach 341 für ABC: bꝛ a2— 2 ac. cos. B ＋ c2 = 212— 2 ai C1. 008. Bi T ei? aber auch für A1 B1CI: BbiE2 ei ehs. Br Ee1 daher: eee Es ſind mithin in beiden Dreiecken alle Seiten gleich, daher auch nach 358 alle Winkel, und man findet: 359) Sind in zweien Dreiecken zwei Seiten und der davon ein⸗ geſchloſſene Winkel des einen, gleich zweien Seiten und dem eingeſchloſſenen Winkel des anderen in derſelben Ordnung genommen, ſo ſind auch alle Seiten und alle Winkel des erſten gleich allen Seiten und allen Winkeln des anderen oder die Dreiecke ſind identiſch. Iſt der Winkel, welchen die beiden Dreiecke gleich haben, nicht von den Seiten eingeſchloſſen, ſind die Dreiecke aber gleich⸗ artig, d. i. beide ſpitzwinkelig oder beide ſtumpfwinkelig, ſo erhält man aus 336, wenn a. S a, ci=◻ eꝛund Ci C iſt die Gleichung: c. s6n. A a. 8in. C, oder: 2 a sin. A sin. C= sin. Ci C 61 Da nun aber auch: * sin. AIi=sin. CI 3 ſo iſt: Zu sin. A kann eine ganze Reihe von Winkeln gehören, von welchen jedoch im Dreiecke nur die beiden erſten möglich ſind. Da nun die beiden Winkel gleichartig ſeyn ſollen, beide ſpitz oder beide ſtumpf, ſo folgt aus der Gleichheit der Sinuſſe die Gleichheit der Winkel At A. Die Dreiecke haben daher auch den zweiten entſprechenden Winkel einander gleich, ſomit auch den dritten. Nach 341 erhält man für die dritte Seite des Dreiecks,

gleichviel ob A der erſte oder der zweite Winkel in der Reihe der Eſ Winkel iſt, die sin. A entſprechen: b àa. cos. C＋. cos. A S ai. cos. Ci ＋ 0i. cos. AI. Da nun auch: bi ai. c0s. Ci ＋ ei. cos. Al N ſo iſt: bi= b und man findet: 360) Sind in zweien Dreiecken zwei Seiten und ein anliegender Winkel des einen gleich zweien Seiten und einem anliegen— 3 den Winkel des anderen, in derſelben Ordnung genommen, und ſind die Dreiecke außerdem gleichartig, ſo ſind auch alle Seiten und alle Winkel des erſten gleich allen Seiten und 4 allen Winkeln des anderen, oder die Dreiecke ſind congruent. Haben zuletzt zwei Dreiecke alle Winkel und eine Seite wechſelweiſe gleich, A1= A, B1 B, CI C, bi Ab, ſo iſt nach 336: 8 sin. Al 0 Da nun auch 3 in. A. 1651 ſo iſt: a] Sa. Eben ſo findet man e.= e, daher: 361) Sind in zweien Dreiecken alle Winkel und eine Seite des einen, gleich allen Winkeln und einer Seite des anderen in derſelben Ordnung genommen, ſo ſind auch alle Seiten und Winkel des erſten den homologen Seiten und Winkeln des anderen gleich und die Dreiecke ſind identiſch. §. 53. Von der Aehnlichkeit der Dreiecke. Sind in zweien Dreiecken ABC und AlBICI(Fig. 55), die drei Winkel des 0 einen den entſprechenden Winkeln des andern gleich, oder A1 BI= B, C. C, ſo iſt nach 337 a sin. A sin. A1 Es iſt auch 21 sin. A1 ä——. eEs iſt auchhhh b sin. B sin. Bi 0 bi sin. B1

ieſe drei Gleichungen laſſen ſich in eine zuſammenfaſſen und es iſt: a b 8 41 bi 84 Hieraus ergibt ſich die Wahrheit. 362) Sind in zweien Dreiecken die Winkel des einen den ent⸗ ſprechenden Winkeln des anderen gleich, ſo werden die Seiten des erſten Dreiecks gleichoft gemeſſen durch die ent— ſprechenden Seiten des anderen Dreiecks, oder die homolo— gen Seiten ſind proportional. Nimmt man umgekehrt an, in den beiden Dreiecken ſeyen die entſprechenden Seiten proportional, oder: a B58 1 ſo kann man dieſe Gleichung auflöſen in folgende drei: FF — A41,—ů— b 538 8 01 Nun iſt nach 341: oder: 42² bes 6s G οονν Eben ſo iſt im zweiten Dreiecke: NR=(65) 605 K. ＋(86.0 Hieraus erhält man durch Abzählen: oder: und 2(cos. A— cos. A1) 0 ◻ Cο. K— cos. A! mithin: C0. A1= CoOõ. A A1

— 121— FoeR Eben ſo kann man beweiſen, daß B.=BB und C1 iſt. Man findet ſomit: 363) Werden in zweien Dreiecken die Seiten des einen gleichoft gemeſſen durch die entſprechenden Seiten des anderen, ſo ſind auch die Winkel des erſten gleich den entſprechenden Ultd Winkeln des anderen. Aus den beiden letzten Wahrheiten folgt nun eine neue: Uu 364) Gleichheit der Winkel und gleiche Meßbarkeit der Seiten zweier Dreiecke ſind immer mit einander verbunden. N Man nennt Dreiecke, deren Winkel gleich und deren Seiten n dit proportional ſind, ähnlich. Die Aehnlichkeit beſteht demnach aus zwei Eigenſchaften, welche immer vereint vorkommen. Nimmt man in zweien Dreiecken beide Eigenſchaften in der Art getheilt an, daß zwei Seiten proportional ſind und der ein⸗ a 0 geſchloſſene Winkel gleich iſt; oder: und BI B, ſo 1 findet man nach 341: bꝛ2= 22— 2 ac. cos. B ＋ c2 *2 b 3 C 5 C 2 oder: 3 1— 2(ν.cos. B(◻ — 1—2(υ 0 1 2.(4.cos. B. ＋ 65 Nun iſt ebenſo für das andere Dreieck: U 9,(0 — 112-2 co. BI ＋ Al 56 2 J2 (2—(ν oder— 21 a 21 a 9 Es ſind mithin alle Seiten proportional und ſomit auch nach 363 alle entſprechenden Winkel beider Dreiecke einander gleich. 0 Iſt der Winkel kein eingeſchloſſener ſondern ein anliegender, daher: 4 0 170 oder iſt— 8 und C.— C, ſo iſt nach 337: 1 ¹ 1 0 5—— 52. 5 und—. 8 .. C Sin. C1 01 6in. CI

daher: n rl und hieraus Wird nun ferner angenommen, die beiden Dreiecke ſeyen gleichartig, ſo folgt aus der Gleichheit der Sinuſſe auch die Gleich— heit der Winkel und man findet: e beiden Dreiecke haben alſo zwei Winkel wechſelweiſe gleich, den dritten und alle Seiten ſind nach 363 proportional. Es iſt ſomit: 365) Sind in zweien Dreiecken zwei Seiten proportional und ein Winkel gleich, ſo ſind auch alle Seiten proportional, und alle entſprechenden Winkel gleich und die Dreiecke ſind ähn— lich. Im Falle die gleichen Winkel nicht eingeſchloſſen 3 ſind, müſſen jedoch die Dreiecke gleichartig ſeyn. Eilftes Kapitel. Die Dreiecke mit Linien verbunden. §. 54. Eine Linie verbindet zwei Seiten eines Dreiecks. 0 Sind E und D(Fig. 56) zwei beſtimmte Punkte in den Seiten AB und BC, ſo ſeyen m unden, p und ꝗ die Theile, in welche a und ogetheilt werden. Die Verbindungslinie ED erhält man aus 341: ED2= n2— 2 un. p. cos. B ＋ p? 8460 U Werden die Punkte E und D ſo gewählt, daß 1*—ꝗ— 55 oder: C 2: ＋* oder daß die Seiten gleichoft gemeſſen werden durch die oberen abgeſchnittenen Theile, ſo geht dieſe Gleichung über in: 3(122—— cos. B.) 1 23 2 1 0 2 ac. cos. B ＋ C2)

— 126— Die eingeſchloſſene Größe iſt nun nach 341 b?, und ſomit: 2 EDe A uz. be oder ED b. 5 Dieſem Ausdrucke kann man die Form geben: b welche Gleichung mit der obigen Annahme führt zu: a 0 b P Aus der Proportionalität der Seiten und ihrer oberen Ab— ſchnitte folgt alſo die Proportionalität aller Seiten der beiden Dreiecke ABC und EBD daher auch die Gleichheit aller Winkel derſelben, es iſt alſo E A und D= C, daher ED parallel zu AC. Man findet demnach: 366) Wird im Dreiecke eine Linie E0 ſo gezogen, daß die Seiten gleich oft gemeſſen werden durch die obern Abſchnitte, ſo ſind alle Seiten proportional und alle Winkel gleich, und ED iſt parallel zu AC. a 63„„ m In der Annahme, daß—= liegt zugleich die, vaß 4—— 1 P P N 8 m Denn es iſt a= m ＋ n und= pÆ 4, daher: 5 0 m II 1. 1 P 1n P 1 P Iſt ED nicht die Verbindungslinie zweier Punkte, ſondern iſt ſie von einem beſtimmten Punkte E und unter einem beſtimm— ten Winkel à nach BC hin gezogen, ſo erhält man ED und die Theile m unden aus 336. Es iſt: EC. sin. EDB Ap. sin. B e, Da nun EDB 180—(63 ＋ c und sin. EDB sin.(B ＋ c), ſo erhalt man: Sin. B 367)„„ 166

Sin. sin.(B ο Der untere Abſchnitt m wird durch n beſtimmt. In dem beſonderen Falle, wo a S A alſo ED parallel zu AC, iſt(Fig. 57): ED p 368) sin. B sin. A n und sin. A 6in. A 87n.(X P gin. C G QTnn Oiſt B9 Sin. A E und §in. C 0 Sin. C D weil nach 103 sin.(& ＋ Nach 337 iſt ferner: 2 t ſomit: ED P 55 und n p— Hieraus folgt weiter, daß: 8 TID— 5 und—.— mithin: b n P I 23 ſo daß man findet: 369) Iſt die Linie ED parallel zu AC, ſo wird von dem größe— ren Dreiecke ein kleineres abgeſchnitten, deſſen Seiten in denen des großen gleichoft enthalten ſind. Aus 366 und 369 geht weiter hervor: 370) Die Parallelität der Linie ED und die Proportionalität der Seiten beider Dreiecke ſind immer mit einander verbunden. Zieht man die Linie ED(Fig. 56) ſo, daß&= C, ſo nennt man ſie antiparallel. In dieſem Falle iſt EDB ν A und Sin. B 6in. B b und sin. B Sin. C 8 e n

und es ergeben ſich folgende Gleichungen: a. ED p. b und n. a 2 p.· welche nachſtehende Sätze enthalten: 371) Das Produkt der Antiparallelen und der Seite, nach welcher ſie gerichtet iſt, gleicht dem Produkt der zweiten Seite und des oberen Abſchnittes der dritten, und 372) Die Produkte der Seiten in die obern abgeſchnittenen Theile 31 ſind gleich. Nimmt man d= o, alſo p S e an, ſo gehen die obigen Gleichungen über in(Fig. 58): 0 ene,,, 35 Welche nun nachſtehende Wahrheiten darſtellen: 373) Das Produkt der Antiparallelen und der Seite, welche ſie trifft, gleicht dem Produkte der beiden andern Seiten; und 374) Die zweite Potenz der dritten Seite gleicht dem Produkte Del der erſten in das obere Segment derſelben. Ein vierter beſonderer Fall entſteht, wenn(Fig. 59)&= 900, K 5 Sin. B Sin. B 10 2 e pkang. B und 1 A% 8 =P · Iin.(5 ＋ 90) cos. B 3 was ſich mit Zuziehung von 132 und 57 ergibt. Denkt man ſich die Senkrechte aus C gezogen, ſo verſchwin— det m, und n wird S a, daher: S22 S 1 5 5 505 alſo wird p= a cos. B Sin. B sin. B 555 coS. B wie dieß ſchon in 355 gefunden wurde. Es iſt bisher angenommen worden, die Senkrechte treffe mit BC(Fig. 60) zuſammen, dieß wird ſo lange der Fall ſeyn, ſo lange p a, cos. B, erreicht p dieſen Werth, ſo geht die S à. Sin. B und ED 2p.

Senkrechte durch C, wird aber pa. cos. B, ſo trifft ſie mit der Seite AC zuſammen. Wir betrachten hier die Seiten als drei durch die Endpunkte begrenzten Geraden und in dieſer Eigen— ſchaft kann eine andere Gerade ED nur mit zweien Seiten zuſammen— treffen. Nimmt man aber die drei Geraden unbegrenzt an, ſo wird Ed mit allen dreien zuſammenkommen, wenn dieſe Gerade nicht mit einer von den dreien parallel iſt. In dieſem Falle iſt jedoch AE keine Seite des Dreiecks, CP kein Abſchnitt derſelben und die Unter— ſuchung erhält eine Ausdehnung, die hier noch nicht beabſichtiget wird Nach den früheren Unterſuchungen in§. 15 liegt die Senkrechte 8D im Winkel A, wenn X TL900, und hierfür iſt AD poſitiv. Je mehr der Winkel zunimmt, deſto kleiner wird AbD, wird der Winkel M900, ſo iſt AD negativ und BD liegt außerhalb des Winkels A. Hieraus geht hervor, daß im ſpitzwinkeligen Dreiecke die Senkrechte innerhalb und im ſtumpf— winkeligen außerhalb liegt. Denkt man ſich zwiſchen A und D(Fig. 61) noch mehrere Linien cI, ez, es.. gezogen, welche die Winkel Al, mit A0 bilden, ſo iſt: BD C. sin. A ci. sin. Ai ε. sin. A2:⸗·᷑-·· Beim Uebergange von A zu Au, Aà,... werden dieſe Winkel immer größer, indem ſie ſich dem Rechten ADB mehr und mehr nähern, es wachſen mithin auch die Sinuſſe derſelben. Sollen die vorſtehenden Produkte nun gleich 5 ſo müſſen iiiier mehr abnehmen. Dem Maximum des Sinus wird daher das Minimum von 0 Dem größten Sinus gehört der kleinſte Werth der Linie zu, welche von Bnach AC gezogen werden kann. Dieſe Linie iſt aber die Senkrechte, da für ſie der Winkel S 900 und sin. 90 ν 1 das Maximum des Sinus iſt. Die Senkrechte BD iſt mithin die kleinſte Entfernung des Punktes B von AC, daher die Höhe des Dreiecks. In Bezug auf die Höhe BD, heißt B der Scheitel und AC die Grundlinie des Dreiecks. Die Grundlinie wird durch die Höhe in zwei Theile getheilt, welche man die Abſchnitte der Grundlinien nennt; eben 9 Arneth, Geometrie.

— 130— ſo theilt dieſelbe den Scheitelwinkel B des Dreiecks in zwei Theile, welche Partialwinkel heißen. Eine einfache Betrachtung genügt zu zeigen, daß hier folgender Zuſammenhang ſtatt findet: 375) Die Abſchnitte der Grundlinie und die Theilwinkel ent—⸗ ſprechen ſich in der Art, daß dem größeren Winkel der größere Abſchnitt und dem kleineren Winkel der kleinere Abſchnitt angehört, und umgekehrt. Aus den Gleichungen 341 erhält man(Fig. 49): a2= bb2— 2 bœ. cos. A ＋ 02 und c2 a2— 2 ab. 006. C ＋ bꝛ. Da nun C. c0s. A= AD und a. cos. CS=DC, ſo iſt auch: a?2= bꝛ— 2 b. AD ＋ c2 und e2 au442— 2 b. DC ＋＋ bꝛ. Woraus man erhält: be ＋ 2— a2? ound 2 b 20 Auf gleiche Weiſe iſt für die Senkrechte CEE der Seite AB (Fig. 62): (2 ＋ as2— be bꝛ ＋ C2— a2 377) BE und AE 2 8 30 und für die Sekrechte AF der Seite BC(Fig. 63): 5 9 82 02 a 2— bꝰ 3780 E 2 und BF 2 2 a Iſt das Dreieck gleichſchenkelig oder a S e, ſo wird aus dieſen Gleichungen: b 90 8 2 a?— bꝛ 380) BE—— H 3 bꝛ 5 381) AE 2 a Im gleichſchenkeligen Dreiecke halbirt alſo die Senkrechte die Grundlinie, und von den gleichen Seiten ſind die obern Abſchnitte, ſo wie die untern, unter ſich gleich.

131 Sind alle Seiten gleich, ſo werden dieſelben durch die Senk— rechten halbirt. Aus 376 erhält man den Unterſchied 2 VVVCVXERR daher: b.(DC— AD)(a2 Weil nun b= AC ſo iſt: (b ＋ AD)(D Das Produkt aus der Summe der Abſchnitte der beiden Abſchnitte: 82 b 2 CD ＋ DA und a²—(2 ADB)=(a ＋ ꝙ)(a— 0) der Grund—⸗ linie in den Unterſchied derſelben iſt gleich dem Produkte 5 der entſprechenden Seite in den Unterſchied Die oder die Höhe theilt das Dreieck in zwei rechtwinkelige Dreiecke, in welchen man erhält: — Die Winkel können nun aber funden werden, daher auch die Höhe. für die Höhe nach 355 nach 343 aus den Seiten ge— Es iſt nun nach der angeführten Gleichung: 41 bꝛ 2232 35 W5d.60 8—(◻νeb Da nun nach 76 sin. A2 1— cos. A?2, ſo wird: 2 62 sin. A2 1— Wban D 2 be 2 be 4 bz ＋(2— a2 2be— b— c ＋ a2 2 be 2 be ＋2be J)— a2 a2—(öb2— 2bœ L C2) II 2 be ecb 4. 0)2— aa— ο2 2 be 2 be 9 15

h (‚b ＋ e＋a db＋Ea)(a 4 b- O(a- h＋4) sin. A?²* 5 35(a 4bOCaꝗrbꝗe)(a b ＋＋ ꝙ(a b-M) 4 bꝛ C2 Wird hieraus die Wurzel gezogen, ſo erhaͤlt man: Y(Ca-qul eR 6 384) c)( 9 bo)(a4bh-) Führt man jetzt dieſen Werth in 383 ein, ſo fällt e im Nenner heraus und es bleibt: 432 V(aꝓbbꝙ Ca TbTO/(a—-hꝗoa ＋ b-) 2 b Auf gleiche Weiſe können die Senkrechten CE und AF der Seiten AB und BC(Fig. 62 und 63) berechnet werden. Setzt man der Kürze wegen: (a ＋ b Caꝙꝓαbiyoα=bTOATbb-OÆM ſo iſt: 385) 3 25 ** Ar 2 XM 2 a Iſt das Dreieck gleichſchenkelig, alſo e S= a, ſo wird: M(EQZaꝗtb). b. Oa-—bh). babꝛ. a 4b) a- b) daher: 386) h= VQa b) 2 a— b) 5 Ck α V 2 a ＋ h) 2 a— b) 94 AE 2z VQaITDEA2— Hieraus ergibt ſich, daß die Senkrechten der gleichen Seiten auch gleich ſind. Iſt auch noch b S a, alſo das Dreieck gleichſeitig, ſo wer⸗ den die Senkrechten alle gleich und man findet für dieſelben: 387) h=ZaV3.

— 133— Die Höhe, die Abſchnitte der Grundlinien, die Partialwinkel ſind Größen, welche aus den Elementen des Dreiecks hergeleitet werden können; ſie beſtimmen zu Drei unter ſich oder mit den Elementen des Dreiecks verbunden, das Dreieck eben ſo wie in den Fällen des§. 50. Daſſelbe gilt von anderen Verbindungen der Seiten und Winkel des Dreiecks, als Summe und Unterſchied mehrerer homogenen Elemente. Auf dieſe Weiſe erhält man noch viele Stücke, welche zu drei verbunden das Dreieck beſtimmen. Eine nähere Betrachtung einiger ſolcher Fälle wird in der Folge gegeben werden. Beiſpiele über einige Fälle dieſes§. I. Es ſey ein Dreieck gegeben, deſſen Elemente ſind: RKE A8 A 2 520 24/37%8; B ν 820 5/48/ 5; C 45029/33%/%7 —Die Seiten a und e ſind durch eine Gerade ED verbunden, die ſo gezogen iſt, daß p= 12“ und n⸗= 8“, alſo: g= 6“ Man ſucht die Größe dieſer Geraden und die Winkel, welche ſie mit a und« bildet. Zuerſt iſt: ED2 n?— 2 n. p. C0s. B ＋ ps 64— 192. cos. 820 5“ 48/5 ＋ 144 208— 192. 0,1374998 208— 26,3999596. 181,6000403 U daher: ED 13/,4759. Ferner iſt: 5 f N. B 8 Sin. B DEB n. und ein. EDB= P. oin n EID und gin EDB b. TE5D und Log. sin. B log. sin. 82 5“ 48½5 9,9958553— 10 log. ED log. 13%4759 1,1295579 3 n. B Mithin: 109.—1Ib(0,S8662974— 2 109. 0,0735017.

Folglich: Sin. DEB SS8. 0,0735017 0,5880136 sin. 360 0/58¾/2 und 57n. EDB 12. 0,0735017 0,8820204 8un. 610 53“13½%3. Die verlangten Stücke ſind ſomit: ED= 13½,759...; DEB360 0/58½%2; EDB 6153/13½. II. Es werde in demſelben Dreiecke von demſelben Punkte E aus eine Gerade ſo gezogen, daß ſie den Winkel a SH 60 mit AB bildet. Man ſucht die Größe dieſer Geraden ED und die Theile der Seite BC, n und m. Nach 367 und 368 iſt: in. 820 5/48½5 Sin. 820 5/48½5 Sin. B EDp. in.EI2· 5in.14205/18%½„„.375511175 und sin. 600 sin. 600 D AöAS 12. Sin. 67u. 14205/48%,5 Sin. 37054“11%5 Nun iſt: log. sin. 820 5,/ 48½5 9,9958553— 10 1og. sin. 370 54“ 11½%5 ◻ 9,7884012— 10 541 log. 12 1,0791812 1,2866353 ◻ log. 19,34797. log. oin. 60 1,9375306 lug. sin. 370 54“ 11½%5 ◻ 98,7884012 0,1491294 log. 12— 1,0791812 12283106 S log. 16,9165 Man hat alſo EDL S 193 3,0835 Ergibt ſich, daß n20, d. i. a, ſo theilt ED nicht mehr die Seite B0(Fig. 64), ſondern AC und die Theile dieſer Seite ſind: n 16,9165=ff, AD 5 ꝗ44 DC== b— AD und für ED iſt: ED 4 Sin. A Ain.(A A

135 III. Iſt in der zweiten Aufgabe«= C, ſo iſt die Anti— parallele: 25 5 2*„ ED= u12 12 43 55 und die Theile der Seite ſind: 18 9 108 EIIT ii2222ꝛ2· I10,8 20 10 10 alſo: V9/2 Geht die Antiparallele durch den Punkt A, ſo iſt für dieſelbe: hee 4— 4 ◻2.5 und für die Theile der Seite BC: 163 e IV. Im gleichen Falle ſey« 900, ſo iſt die Senkrechte: EDp. lang. B 12. fang. 820 5, 48½5 12. 7,2036664 S686,4439 Da dieſer Werth größer iſt als irgend eine der drei Seiten, ſo erſieht man, daß ED die Seite BC(Fig. 60) nicht mehr trifft, ſondern mit AC zuſammenkommen wird. Hierfür iſt: 9 1 ED= ꝗ. fang. X und ADñD= 33 mithin: ED S6. lang. 520 24/37/ 8 26. 1,2990189 27,̃7941134. 55 XS4 See. A Æ 6 sec. 520 34“37%8 ＋ G6 1,6393444 V9,8S360664. Es iſt ſomit: Dihl D„66 AD 2 9,836 Geht die Senkrechte aus einem Endpunkte, ſo findet man die— ſelbe, ſo wie die Theile derſelben leicht aus: ED p. lang. B und n= Sec. B 8 Man kann aber auch die Höhe und die Abſchnitte der Grund— linie aus den Seiten nach 376 und 385 finden.

— 136— Es iſt, wenn A0 die Grundlinie: ·ν 252 ＋ 182— 202 625 ＋ 324— 400 Ab———— I 2 235 50 549 10%08 50 und 2 325— 32 70 D0 a? ＋ b 3 400 ＋ 625 324 5 9 50 50 wie dieß auch ſeyn muß, da beide zuſammen die Grundlinie b 25“ ausmachen. Es iſt ferner: a ＋ b ＋ c 20 ＋ 25 ＋ 18 P63 — a ＋ b e= L 20 ＋ 25 ＋ 18 ◻ 23 b 1= 20— 25 18 13 4 ⏑ ο ε 20 ＋. 25— 18 27 daher die Höhe: XN 63. 23. 13. 27 X 508599 85 713, 41612 50 50 50 ＋ 14/%2632 Außer den angeführten Fällen läßt ſich die Linie ED noch nach anderen Bedingungen im Dreiecke ziehen. Setzt man z. B. (Fig. 56) ◻ ＋’ A, ſo wird nach 367 und 368: sin. B 1 ö sin. RX& A in fud. n Wird hierbei g= 0 alſo p=“ Cig. 58), ſo erhält man für die Linie, welche den Winkel A halbirt: sin. B 61n. C Ab K—＋2——— Fin. 3 3 Sin.(C＋ 4A) Für die Theile der Seite 36 iſt: sin. 1 A a J0 §in. Y A un.(B T TA Hieraus erhält man wieder: iieb in und m b. oder: f‚f»tui e und n rn;

3 388) Halbirt eine Linie einen Winkel des Dreiecks, ſo wird die dieſem Winkel gegenüberliegende Seite ſo getheilt, daß die Produkte aus den Abſchnitten in die nicht anliegenden Seiten oder in die Sinuſſe der anliegenden Winkel einan— der gleich ſind. §. 55. Mehrere Parallel-Linien im Dreiecke. Iſt die Seite AB(Fig. 65) in mehrere gleiche, z. B. 3 Theile getheilt und nennt man einen jeden Theil p, zieht aus den Theilungspunkten Linien parallel zur Seite AC, ſo iſt nach 369: BD ERB. P.m C C 56= FEB 2 P. 2 2 m ä 5 daher: BD DG 6. Ferner findet man: 8 b b DEEBBRR̃ DPD‚» Æ RRů C C ä 5 C C ä C C daher: 389) Wird eine Seite eines Dreiecks in irgend eine Anzahl n gleicher Theile getheilt und werden aus den Theilungs— punkten Linien parallel zu einer der beiden anderen Seiten gezogen, ſo wird die dritte Seite in eine eben ſo große Anzahl unter ſich gleicher Theile getheilt, und die Parallel— Linien ſelbſt verhalten ſich wie 1: 2: 3:... n. Zieht man außer den vorigen Parallelen noch die neuen EM, EN parallel zu BC(Fig. 66), ſo iſt nach dem Vorſtehenden AM MN= NC k und FM S 1I. m, EN= 2. m, 50 S3im.

— 138— So wie nun die Seite B0 durch die erſte Parallelenreihe in drei gleiche Theile getheilt wird, ſo wird nach demſelben Satze 389 EN in zwei gleiche Theile getheilt, oder die Parallelen ENM, EN, BC werden ihrer Folge nach von den Parallelen ED, FG, AC in 1, 2, 3 gleiche Theile getheilt; und umgekehrt, erhält die letzte Parallelenreihe von der erſten dieſelbe Theilung. Hieraus geht nun weiter hervor, daß, wenn man AC in 3, 6 gleiche Theile theilt, die Parallelen EM, EN und BC durch dieſe Theilungspunkte gehen werden. Der Satz 389 kann ſomit in fol⸗ genden erweitert werden: 390) Wird eine Seite eines Dreiecks in irgend eine Anzahl ngleicher Theile getheilt und aus den Theilungspunkten Linien parallel zu den beiden anderen Seiten gezogen, ſo werden auch dieſe in eine eben ſo große Anzahl unter ſich gleicher Theile ge— theilt, und die Parallelen ſelbſt theilen ſich gegenſeitig in gleiche Theile. Theilt man aber die eine Parallelenreihe, der Ordnung ihrer Größe nach, in 1, 2, 3... n gleiche Theile, ſo wird die zweite Reihe der Parallelen durch die Theilungspunkte der erſten gehen. Zieht man nun noch von den Punkten D und 6 Linien pa⸗ rallel zu AB, ſo müſſen dieſe nach dem vorſtehenden Satze durch die Theilungspunkte M, N, P gehen und es wird: AB 3 p, DM 2 p, N p ſeyn. Die Parallellinien erzeugen eine Menge kleiner Dreiecke, deren homologen Seiten gleich, die Dreiecke ſomit ſelbſt congruent ſind. (358). Die kleinen Dreiecke ſind aber nicht bloß unter ſich die— ſelben, ſie ſind auch ähnlich dem großen, aus welchem ſie erzeugt wurden(362). Man findet folglich: 391) Die drei Reihen von Parallellinien theilen ſich gegenſeitig nach der Folge ihrer Größe in 1, 2, 3... m gleiche Theile, es geht alſo immer eine Parallelenreihe durch die ent⸗ ſprechenden Durchſchnittspunkte der beiden andern und es werden im großen Dreiecke eine Menge kleinere gebildet,

— 139— deren entſprechenden Seiten einander gleich, die folglich congruent ſind und dem großen ähnlich. Die Parallellinien bilden gemeinſchaftliche Seiten der kleinen Dreiecke, wären ſie doppelt, ſo würde jedes Dreieck ſeine beſonde— ren Seiten haben. Die doppelte Anzahl der Theile aller Parallelen, nebſt der Anzahl der Theile der drei Seiten wird ſomit die Summe der Seite aller kleinen Dreiecke liefern, und dieſe Summe, durch drei gemeſſen, gibt die Anzahl der kleinen Dreiecke, in welche das große zerlegt wird. Iſten die Anzahl der Theile von AB, ſo erhält man n— 1 Parallellinien, dieſe geben Theile: n(n 1 Die doppelte Anzahl iſt n(— 1), die drei Reihen von Parallelen geben alſo: 3. n.(— 1) Theile, hierzu die Theile der drei Seiten mit 3n gibt: 3 un(n— 1) ＋ 3n 3-n2— 3n ＋ 3u 2 3. n? 2 3. n2 3 —— daher Anzahl der Dreiecke: Dieß führt zu der Wahrheit: 392) Wird eine Seite eines Dreiecks T inen gleiche Theile ge— theilt, ſo kann man durch Parallellinien daſſelbe in n? kleinere Dreiecke theilen, welche ſämmtlich unter ſich iden— tiſch und ähnlich dem großen ſind, ſo daß, wenn man die kleinen Dreiecke mit t bezeichnet, T=n2 ⸗t iſt. §. 56. Fortſetzung der Unterſuchungen über die Verbindung von Linien mit dem Dreiecke. Verbindet man das Dreieck mit Linien, ſo daß immer drei von den Seiten oder den Endpunkten aus unter derſelben Bedingung gezogen werden, ſo ergeben ſich manche intereſſante Eigenſchaften des Dreiecks, zu deren Herleitung man mit Vortheil die Unterſuchungen des zweiten Abſchnittes be— nützen kann. I. Halbirt man die Seiten des Dreiecks ABC(Fig. 68) und

— 140— verbindet man die gegenüberliegenden Eckpunkte mit den Halbirungs⸗ punkten, ſo findet man, daß ſich dieſe Verbindungslinien in einem Punkte 6 ſchneiden auf folgende Weiſe. Man nehme die Seiten AB und AC als Coordinatenachſen an, ſo iſt nach 307 die Gleichung der Geraden DC: 2 C I 5= 1 00 1 6 2 Auf gleiche Art iſt die Gleichung für die Gerade BF: * 3* Die Gerade AE geht durch den Anfangspunkt und außerdem W L durch den Punkt E, deſſen Coordinaten AF Ib und EF Fe. Für eine ſolche Gerade iſt aber nach 306: C yJ D 55 X. Durchſchneiden ſich die beiden Geraden AE und DC, ſo ſind die Coordinaten ihres Durchſchnittspunktes nach 310 und 311: 0 C . 2 2 2 b b 13*Ä SCTEE.........00 3 0 2 3 C 3 52 2 b und e C E2 r I75 8 3 ‚⏑ 52 2 b Auf gleiche Weiſe erhält man für die Coordinaten des Durch—⸗ ſchnittspunktes der Geraden AE und BF: .———.— 175 3. 0 3. 6 3 b b S und — UP·

— 141— Da dieſe Werthe dieſelben wie die vorſtehenden ſind, ſo folgt daraus, daß alle drei Linien ſich mit einem Punkte G durchſchnei— den, deſſen Coordinaten ſind: e en 3 3 Da Ell jt AB, ſo iſt AB: 6H1= BF: GF oder: o: 1 2 BF: GF, alſo: 6F BF. Der ſenkrechte Abſtand iſt GK π 6H. sin. AS e. sin. A und AK AH ＋ G6H. cos. A Ob ＋ C. cos. A). Man findet ſomit: 393) Werden die Seiten eines Dreiecks halbirt und die Halbirungs— punkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten verbunden, ſo durchſchneiden ſich die Verbindungslinien alle nur in einem Punkte G, deſſen Lage ſo beſchaffen iſt, daß All b, GH e, FG6 IBF, BG i BF, AK ce eos,, GK e ein Außer dieſer Eigenſchaft laſſen ſich noch viele andere auffinden. II. Errichtet man in den Mittelpunkten der Seiten ſenkrechte Linien und nimmt man&0 und die darauf ſenkrechte BM(Fig. 69) als Coordinatenachſen an, ſo iſt, weil nach 307 die Gleichung von BC: ö dersf= 5 die Gleichung der Geraden EG, welche hierauf ſenkrecht iſt und durch den Punkt E geht, deſſen Coordinaten Xx] und 7i ſind, iſt nach 320: m Y=vi2=Æ-& xy. Nun iſt aber: yIi= EN I BM Mnm, daher: h und xI= MN 10— m), h oder: 7 m B

— 142— Auf gleiche Art findet man die Gleichung der Geraden D6, welche auf AB ſenkrecht iſt: n h?— u2 „‚„ Endlich iſt die Gleichung der dritten Senkrechten EF nach 286: Xx MFhbe-n. Die beiden Senkrechten EEund EG durchſchneiden ſich in einem Punkte, deſſen Coordinaten nach§. 43 ſind: xi y b n und y1= 11(Eb-u1)— Ahnn VCVCCC Dieſer Ausdruck der Coordinaten läßt ſich noch vereinfachen. Es iſt: m. b— 2m. n h2— mꝛ m. b- 2m(b-m) ＋ hꝛ mẽ m b— 2m b ＋ 2 m2 ＋ he— m2=m. b ＋ he ＋ mꝰ= E= m b ＋ aꝛ2= a b. ehs ＋ aꝛ S a(a— b. cos. C) a. C. cos. B. Da nun auch: a. C. C0S. B FReeiſt 777. J0 2 a. sin. C b f cos. B.-B 1b. colang. B. Vergl. 339 u. 340. C —— Æ＋ CoS. B. 5 Sin. C Die beiden Senkrechten EEund D6 durchſchneiden ſich in einem Punkte, deſſen Coordinaten ſind: 2 2 xI= z b— n uund y)“ Q 1(Ab-n) 13 1 —ub J1 2n2 ＋ h?— n2— n. b ＋ he TEn? En. b＋ 2 2— C. b. coS. A c(e-b. cos.A) A2 2 l 535 2 ùh c. a. Cos. B C b 7 Kahtz B A＋ ̃b. colang. B. Da dieſe Coordinaten dieſelben wie die obigen ſind, ſo folgt daraus, daß alle drei Senkrechten ſich in einem Punkte durch⸗ ſchneiden, deſſen Coordinaten ſind: Mry= I b- n und FG= A b. cotang. B. 100

— 143— Setzt man es ſey(Fig. 70) 6E i, GF va und DGys, ſo iſt eeenh,. 52 ◻ν nu b. colang. B, ys ◻. colang. C; daher: A62 AF2 4 72² bN b ba — Æ 2＋)· colaung. Be— 4 0 ＋colang. B2) — cosec. B2 8(69 u. 55) ſomit: 55) ſomit: b R C AG Æ Auf gleiche Weiſe findet man DG20 und a S o0* 4— b 28 7n. A 5n. B 5in. C830) ſo iſt auch A6 νρ νοσε QEG. Man findet mithin: 394) Errichtet man in den Mittelpunkten der Seiten eines Dreiecks ſenkrechte Linien, ſo kommen dieſe nur in einem Punkte G zuſammen, und dieſer iſt gleichweit von den Endpunkten entfernt, alſo der Mittelpunkt des Dreiecks. III. Werden die drei Senkrechten aus den Endpunkten gezogen Cig. 71) ſo iſt bei denſelben Coordinatenachſen die Gleichung von BC(307): 83 der y=— h dder 7 Die Gleichung der Geraden AE, welche auf BC ſenkrecht ſteht und durch den Punkt A geht, deſſen Coordinaten ſind * n und y S0 iſt nach 320: m m. u m Eben ſo iſt die Gleichung der Geraden AB: tbdber und die der darauf Senkrechten CD, für welche in C, N 0 und XS m: n 3(m- Y.

— 11⸗— Die Coordinaten des Durchnittspunktes von AE und BF ſind nun H. 43: m.n „„„ und die von CD und BF ſind: 1 ein, Da nun dieſe mit den vorigen dieſelben ſind, ſo ergibt ſich, daß: 395) Im Dreiecke durchſchneiden ſich die von den drei Eckpunkten auf die gegenüberliegenden Seiten werden, in ein und demſelben Punkte G, deſſen Ab⸗ wenn man das Pro— drei Senkrechten, welche gefällt r ſtand von einer Seite gefunden wird, dukt der Segmente dieſer Seite durch die zugehörige Höhe mißt. Werden alle Seiten des Dreiecks gleich, ſ Abſchnitte und alle Höhen gleich, und man findet, daß: FG A BF 2 BG. Außer dieſen Wahrheiten können noch eine Menge anderer o werden auch alle hergeleitet werden. IV. Halbirt man die Winkel des Dreiecks durch die Gera— den AE, BF, CD Cig. 72), ſo nehme man AC und BF als Coordinatenachſen an, alsdann iſt die Gleichung der Geraden D6 nach 295: sin. G f ee, Hier iſt c der Winkel der Geraden mit AC 180— 1 C; der Coordinatenwinkel P Æ A ＋ 4 B; daher AT2B- 180 ＋ 10= 180 ＋ AA 1(A＋3＋0 ̈180 ＋ 4 A ＋T 90— 90 ＋ 4 A(090 1ν und zin.(ꝙ— a) gsin.—(90— 2 A)= ſin.(90—4 = cos. 4 A nach 115 und 29. Kk iſt eine noch zu beſtim⸗ mende Konſtante. Die Gleichung von DC iſt daher: C in. C056.* =

Für wachſende x nimmt vab, wird x m, ſo wird y S0; daher: 3un. 1 0 hieraus ergibt ſich 1 sin. C 38 885 Hierdurch wird die Gleichung von DE: Sin. 0 sin. 1 C „„ Auf 0 findet man: 1 88 8 als Gleichung der Geraden AE. Die Coordinaten des Durchſchnittspunktes von BF und CD ſind: xi und yi 2 8158 Eben ſo ſind die der Geraden BF und AE: Sin. 2 — und 51 n 82 C0s. 1 Die Form beider Coordinaten kann geändert werden. Es iſt: 2. Sin. 4 C. cos. 4 C m. Sen. C rren⸗ F6 m-co5. YA. cos. 1 U 1 2. ein. 4 A. cos. A 8 nein.& REREWEEC 2 A. cos. 1C Die Nenner dieſer Brüche ſind gleich; daſſelbe iſt aber auch nach 388 mit den Zählern der Fall, indem für die Linie BF, welche den Winkel B halbirt, die Produkte der Segmente in die Sinuſſe der an— lezendeh Winkel gleich ſind. Beide Coordinaten ſind mithin gleich und die drei Geraden kommen nur in einem Punkte zuſammen. Für den Abſtand A6(Fig. 72) iſt: Sin. X A AG. sin. 1 A2 6F. sin. F n. Sin. ꝙ coõ. E . oder da: n. sin. ꝙ e sin. 1 B Arneth, Geometrie.

— 146— ſo wird: 46 sin. 4 A ſuch N 0 56— 6 cos. X cos. YB 2 B sin. Y C 66 5in. C0õ. 4— Die ſenkrechten Linien 81, 8S2, Ss welche von G auf die drei Seiten a, b, c gefällt werden können, ſind: sin. A. sin. 1 C fir s1 60. sin. 2* 41 ein. 1 AK. sin. 4 B. sin. C W b 5 4 i ein. B. sin. 1 C Sin. B 2 2 2 ˖ A—— „„5*3*. sin. Y A. sin. 1 B. sin. 1 C 5§in. A 3 C 8 8 85 2.ein. 1 A. sin. 1 B. ein. 4 0 67n. C a b 0 333 85 9— Da nunßn ſo ſind dieſe Sen 01 §n. A§in. B 57n. C ſo ſ rechten gleich und man findet für die Linien, welche die Winkel des Dreiecks halbiren: 396) Die Linien AE, BF, CD, welche die Winkel des Dreiecks halbiren, durchſchneiden ſich nur in einem Punkte G und dieſer iſt der Mittelpunkt der Seiten. Auch hier laſſen ſich noch viele andere Wahrheiten, zum Theil von hoher Wichtigkeit, angeben. 319 0¹⁰ Zwölftes Kapitel. Von der Berechnung der Dreiecke. §. 57. Bemerkungen über die Verechnung des Dreiechs. Es iſt früher bei der Unterſuchung über die Beſtimmung des Dreiecks ſchon angeführt worden, wie aus drei gegebenen Stücken 0 des Dreiecks die übrigen aufgefunden werden können. Zur praktiſchen Anwendung aber ſind die gegebenen Gleichungen

— 147— noch nicht vortheilhaft eingerichtet, man muß ſie ſo zu verändern ſuchen, daß ſie ſich leicht mit Hülfe der Logarithmen berechnen laſſen. Man muß daher die Gleichungen, die aus mehreren Glie— dern beſtehen, welche durch E.und— mit einander verbunden ſind, in ſolche zu verwandeln ſuchen, die nur Produkte enthalten, weil für ſolche die Logarithmen erſt eigentlich anwendbar ſind. Außer den drei angeführten Fällen, wo nur Seiten und Winkel des Dreiecks vorkommen, gibt es noch viele andere in denen daſſelbe aus Verbindungen von Seiten und Winkeln berech⸗ net werden ſoll. Solche zuſammengeſetzte Fälle können immer auf die einfachen zurückgeführt werden, und welche Aufgabe auch vorge— legt werden mag, ſo laſſen ſie ſich doch alle aus den früheren drei Grundgleichungen 336, 340 und 341 herleiten. Die Konſtruktion der einfachen Fälle iſt im§. 50 ſchon an⸗ gegeben; die der zuſammengeſetzten Aufgaben iſt mit größeren Schwierigkeiten verbunden. Man wird jedoch eine Konſtruktion als gelöst betrachten können, wenn man ſie auf die der einfachen Fälle zurückführen kann und es werden dieſe hierbei immer als bekannt vorausgeſetzt. §. 58. Verechnung des Dreiecks aus den Seiten deſſelben. Nach 2 2 2 343 iſt cos. A Sind a, b, e große Zahlen, ſo iſt die Rechnung nach dieſer Formel weitläufig. Man beachte nun, daß nach 205: an A?2, ſo wird: b? ＋. 2— aà2 o 1 sin.&A daher: be ＋ 2— a2 2. sin. 14221 2 be 2 be— bꝰ?— e Ta2 az—(öb2— 2beœ ＋ c2) 2 be 2 be — à2—(h— 02 2 be

— 148— Nun läßt ſich aber der Zähler in zwei Faktoren zerlegen und man findet: ( A. J be Ausziehen der Wurzel und durch Fortrücken der Buch⸗ A2² zin. Durch ſtaben erhält man nun hieraus: 5 a T b— c)(a— 397) sin. A AV a ＋ b ＋ c)(a ＋ b 5 1—.— ＋＋—........ 35 3 Jac (a b ＋ 0)(22 b ＋ c0) 8 sin. T CV Auch dieſe Gleichungen laſſen ſich mit Vortheil noch weiter verändern; ſetzt man nämlich die Summe aller Seiten a Tb Æπ e 8, ſo iſt— a bC 268—; a— b ＋ e * 2(8S— h); a ＋ b— Æ=? 2(8S-); mithin: 398) sin. 1 A N 3 ˖ 0 85 ac 5n. 1 G=V G= ab Nach der Gleichung 206 iſt: cos. A= 2. cos. 4 A? 1, ſetzt man dieſen Ausdruck in die obige Gleichung, ſo wird 1„ 2ehs, K— 1 5 oder: 2 2 33 i ͤ 5 2 be 112 ‚ 3 ＋ 2 be ＋ ◻⁊ a⸗ 30 ＋ 0)2— a2 3 2 be 2 be Auch hier läßt der Zähler in zwei Faktoren ſich auflöſen und man erhält: (a ＋ bꝗyq)-a bc) ͤ˖ 4 be C0sS. 4 A2² Æ

— 149— Wie aus der obigen Gleichung des Sinus, ſo erhält man hieraus: 309) c06. 1 A NÆνν R 4 be (a ＋ b ＋ c)(a— b ＋ 0) (a ＋ b ＋ o)(àa ＋ b-) 1— 8 4 ab Setzt man auch hierin a 3 b ＋ 28, ſo iſt: 8S— a) 400) cos. A 8. cos. X BV— 8(8— C9 cos. 1 C V Die gefundenen Gleichungen geben durch Meſſen wieder an— 9 hung 9 0 ein. dere; da nämlich flung., ſo iſt: a— b J＋ ꝙ)(a b— e 401) bang. AV 6 5 ＋ b„„„ 8 FKRRo 3 8 b. o)(a— b e) lang. KBV 11- lang. oder auch: 402) lang.I AÆVÆ. 8 (— 80 — (8— a)(8— 82 76— lang. XRC VY Aus den Gleichungen 397 und 398 laſſen ſich auch noch andere erzeugen, wenn man die entſprechenden Gleichungen mit einander multiplizirt und beachtet, daß nach 201 2.§en. a. Cos. a sin. 2a iſt. Der Kürze wegen ſey:

V(aTbO CSa ＋ b ＋ c))(a—- b＋)(a＋απh5= =V M, ſo iſt(vergl. 384) 403) 3 601¹. B 175 6in. NA „„2 Gebraucht man auch hier die obige Abkürzung, ſo wird: 2 404) 6in. K 55 XS. 8-— G8— b)(8-) 2 zin. B3 VS(S—(8— b) 8- 0 AC ein. C= ½. VSS= ο ο §. 59. Berechnung des Dreiechs aus zwei Seiten aus dem eingeſchloſſenen Winkel. J. Berechnung der dritten Seite. Nach 341 iſt, wenn b, c, A als gegeben angeſehen werden 42 b2 2 be cos. K. e2. Setzt man nun hieriß nach der Vorſchrift 205 cos. A 1— 2. sin. 4 A2, ſo wird: a?= bz— 2 be(1— 2. 3in. 4 A2) ＋ 2 4A3 = be 2 be. o A be ein =＋ c—)2 ＋ 4 be. sin. 1 A2. Es iſt ſomit: 405) a2 ·s— c)2 ＋ 4 be. sin. 1 A2 b2(a— c)2 ＋ 4 ac. 6in. 1 B2 (a— b)2 ＋ 4 ab. sin. 1 C2 Setzt man aber in die vorige Gleichung nach 206 cos. A 2. cos. T A2— 1, ſo erhält man folgende Gleichungen: 406) a?=(b ＋ c)2— 4 be. cos. 1 A2 bꝛ2=(a ＋ c)2— 4 ac. cos. 1 B2 c(a ＋ b)e— 4 ab. cos. 1 C2. 6 Durch dieſe Veränderungen erhalten die Gleichungen 341 an— dere Formen, welche für die Anwendung, für die wirkliche Berechnung,

— 151— 1 vortheilhafter ſind, obſchon auch die neuen Gleichungen, da ſie noch aus zwei Theilen beſtehen, nur theilweiſe durch Logarithmen berechnet werden können. II. Berechnung der Winkel. Nach 336 iſt b.sein. G⸗= 6 iin By., da nun G 180—(A ＋FJB), ſo iſt auch ꝛn. C= ein.(180—(A ＋ 3)) S= sin.(A ＋ B) nach 103, führt man dieſen Werth ein, ſo iſt: b. 6in.(A ＋ B) α. sin. B In dieſer Gleichung iſt B die Unbekannte, um ſie auffinden * zu können, muß sin.(A ＋ B) nach 197 aufgelöst werden. Hier— durch wird: 96— b. Fin. K Ccbs. B ＋ b. cos. A. sin. B ein. B 8 ein. 8. Wird dieſe Gleichung durch cos. B gemeſſen und dabei = lang. geſetzt, ſo entſteht: b. ein. AT b. cos. A. lang. B2= C. lang. B oder: tang. B(c— b. cos. A) b. sin. A. Hieraus erhält man: b. sin. A 63 Auf gleiche Weiſe iſt auch für den Winkel C: c. sin. A 4 F Nach dieſen Geſetzen kann man nun die folgenden Gleichungen aufſtellen: — a. Sin. C b. sin. C a. 5in. B. sin. B 4. eene b. 6in. A e. éin. A lang. 8 D* tang. Dieſe Gleichungen, obſchon einfach an ſich, geſtatten doch nur eine theilweiſe Anwendung der Logarithmen, daher es ſich ſchon der Mühe lohnt, noch andere Wege zur Berechnung der Winkel einzuſchlagen.

Durch den Winkel A iſt auch die Summe der beiden andern B ＋ C gegeben, kann man nun den Unterſchied B— C dieſer beiden Winkel auffinden, ſo laſſen ſich aus Summe und Unter⸗ ſchied die Winkel B und C ſelbſt Wrch ein bloßes Zu- und Ab⸗ zählen finden. Man ſetze nun, es ſey der Kürze wegen B ＋ inns 6(a ＋ ꝙ) und C=◻(d— 9), und aus der obigen Gleichung be. sin. C = ein. B wird: b. sin. 1(— ꝙ ρ ο. sin. 1(c＋ ꝙ). Aus dieſer Gleichung muß man jetzt die Unbekannte ꝙ ent⸗ wickeln. Zu dieſem Zwecke hat man die Sinuſſe der zweitheiligen Winkel nach 197 und 199 aufzulöſen. Hierdurch entſteht: b. sin. 1 4. cos. 1— b. cos. 2 sin. Y ꝙ 6. sin. 1&. cos. 1ꝙ ＋. cos. 2&. sin. 4 ꝙ/ oder: (b). sin. 1 G. cos. 1 ꝙ= ＋ o) cos. Iα. sin. J ꝙ. Wird dieſe Gleichung durch(h ＋ c) cos. Y ο. cοs. gemeſſen, ſo wird: 3 Sin. 0 - b„% und ſomit: b— tang. 1 r 2 lang. X G. Setzt man nun ſtatt ꝓ und à die Größen, welche ſie ver⸗ treten, ſo hat man: 8 408) kang. 1(A— B) 2 lang. Y(A ＋) lang. 1(A— C) 2.ang. 1(K ＋ O0) 5 tang. 18 0) 5 Lang. X B ＋ O) Dieſe Gleichungen ſind für die Anwendung viel vortheilhafter wie die obigen, ſie laſſen eine vollkommene Berechnung d durch Logarithmen zu.

— 153— §. 60. Verechnung des Dreiechs aus zwei Seiten und dem nicht eingeſchloſſenen Winkel. J. Berechnung der dritten Seite. Nimmt man an es ſeyen b, o· und Cegegeben und ſoll die dritte Seite a gefunden werden, ſo muß man von den früheren Grundgleichungen diejenige wählen, welche die drei Seiten und den Winkel C enthält. Dieſe Gleichung iſt nach 341: C2 ε ma2— 2 ab. coS5. C ＋ b. Hierin iſt a die Unbekannte und in Bezug auf dieſe die Gleichung vom zweiten Grade; geordnet wird dieſelbe: eee Ergänzt man das Quadrat, ſo wird: 42—2 ab. cos. CA bꝛ. cos. C2 C2— bꝛ ＋ b7. cos. Cà oder: (àa— b. cos. C)2= 2— bꝛ(1— cos. C2). Die auf der rechten Seite eingeklammerte Größe iſt aber nach 68 ν gsin. C⁊, daher: iheeeeee e, Durch Wurzelausziehen und Uebertragung erhält man hieraus: a= b. cos. CÆV(eꝛ— bꝛ. sin. C2). Aus dieſer Gleichung erhält man nun zwei Werthe für die dritte Seite a. Sind ſie beide poſitiv, ſo können zwei Dreiecke ſtatt finden. Iſt der eine poſitiv und der andere negativ, ſo kann nur der erſte genommen werden, und es iſt nur ein Dreieck mög— lich. Iſt endlich b. sin. Cc, ſo wird a unmöglich und aus den drei gegebenen Größen läßt ſich gar kein Dreieck bilden. (§. 50, 3.) Die gefundene Gleichung läßt ſich noch einfacher darſtellen, wenn man die Größe unter dem Wurzelzeichen in ein Produkt auflöst. Es iſt: 409) a τ b. cos. CYV(eA＋ b. sin. C)(= b. sin. O b= C. cos. A＋V(a ＋f. sin. A)(à—. sin. A) S a. cos. BÆV Ob Ta. 6in. B) ch— a. sin. B) Da in allen dieſen Fällen auch der andere nicht einge ſchloſſene

154— Winkel gegeben ſeyn kann, ſo werden auch folgende Gleichungen oft Anwendung finden: 410) a b 0 U l C. cos. BÆVOC. sin. B)(b— C. sin. B) a. cos. CEVCCTa. 6in. C)(e— a. sin. C) b. cos. AV(a ＋ b. sin. A)(a— b. sin. A) II. Berechnung der Winkel. Sind wieder b, e und C gegeben, ſo i nach 336: ein. 6 daher: 6n. 5— b. 31n. C b. 6in. C C Dieſe Gleichung gibt, wie ſchon früher angegeben worden iſt, für B zwei Werthe, die kleiner als 1800 ſind, ſie ſind beide möglich, ſo lange nicht ＋ C1800 wird. §. 61. Eine Seite und die Winkel des Dreiecks ſind gegeben, man ſoll die beiden andern Seiten berechnen. Die gegebene Seite ſey b, ſo iſt nach 336: Bn und 110 b. 3in. C Ein. B. 10 Hieraus erhält man: 1 Sin. A sin. C b—.— 3 7 in. B 7 6in. B Sind die anliegenden Winkel A und C gegeben, ſo iſt: B 180e—(A ＋ O), daher: 6in. B sin.(A ＋ O) und 410 a= b. Sin.(X) Sin. A sin. C 08— S81N.(X＋0) 0

Vierter Abſchnitt. den dertsche. Dreizehntes Kapitel. Von dem Zuſammenhange der Seiten und Winkel des Viereckes. §. 62. Einleitung. Verbindet man(Fig. 73) vier Linien a, b, e, d, von denen keine zwei dieſelbe Richtung haben, ſo erhält man das vollſtändige Vierſeit. Die vier Linien durchſchneiden ſich in ſechs Punkten, welche ſich paarweiſe KAund C, B und D, E und F entgegengeſetzt ſind. Die Verbindungslinien der entgegengeſetz⸗ ten Punkte nennt man Diagonalen. Das vollſtändige Vierſeit enthält daher: Seiten, 6 Eckpunkte und 3 Diagonalen. Verbindet man(Fig. 74) viele Linien a, b, e, d, indem man ſie in einem Zuge und vier Abſätzen zieht, bei jedem Abſetzen die Richtung ändert und zuletzt in den Anfangspunkt zurückkehrt, ſo heißt die Figur, welche entſteht, ein einfaches Vierſeit, daſ⸗ ſelbe hat: 4 Seiten, 4 Eckpunkte und 2 Diagonalen.

— 156— Das vollſtändige Vierſeit enthält hiernach die einfachen Vier— ſeiten, ABCD, EBFD, AFCE. Verbindet man vier Punkte A, B, C, D(Fig. 75) auf alle mög⸗ 06 liche Arten durch Linien, ſo nennt man die Figur, welche entſteht, ein 0 vollſtändiges Viereck. Die Verbindung der vier Punkte ge— ſchieht durch 6 Linien, die ſich paarweiſe a und e, buund d, e und f entgegengeſetzt ſind und die alſo drei Durchſchnitte E, F und G gegenüberliegender Seiten bilden. Das vollſtändige Viereck enthält daher: 4 Eckpunkte, 6 Seiten und 3 Durchſchnittspunkte gegenüberliegender Seiten. Verbindet man vier Punkte A, B, C, D Cig. 74) in einem Zuge, ſo daß man von einem Punkte zum andern übergeht und zuletzt in den erſten zurückkehrt, ſo entſteht das einfache Viereck, welches alſo mit dem einfachen Vierſeit daſſelbe iſt. In den folgenden Unterſuchungen iſt nur von den einfachen Vierſeiten oder Vierecken die Rede und zwar nur von ſolchen, bei deren Bildung keine Seite von einer andern durchſchnitten wird (Fig. 74 und 76). 35 04 7§. 63. Vom Zuſammenhange der Winkel des Vierecks. Durch eine Diagonale kann man das Viereck in zwei Dreiecke theilen (Fig. 77), nun machen die Winkel der beiden Dreiecke zuſammen— genommen die Winkel des Vierecks aus, deren Summe daher: nIR oder 360 iſt Pithi 412) A ＋ B ＋ C＋ DE 360“. Hieraus können folgende Sätze hergeleitet werden: 1) Iſt ein Winkel des Vierecks gegeben, ſo kennt man auch die Summe der drei übrigen und iſt die Summe dreier gegeben, ſo iſt es auch der vierte. Sind zwei Winkel oder deren Summe gegeben, ſo iſt auch die Summe der 0 beiden andern bekannt. 2) Machen zwei Winkel zuſammen 1800 aus, ſo müſſen auch die beiden andern zuſammen 1809 ausmachen. —

3) Die Gleichheit von zwei oder von drei Winkeln hat keinen weſentlichen Einfluß auf die übrigen. 4 R 4) Sind alle Winkel gleich, ſo iſt jeder= 4?̃r⸗ 900. 5) Weder ein Winkel noch die Summe zweier oder dreier kann 3600 erreichen. §. 64. Von dem Buſammenhange der Seiten und Winkel des Vierecks im Allgemeinen. Es iſt, wenn BE und CF(Fig. 78) ſenkrecht zu AD und CG ſenkrecht zu BE ſind: BE B3Gd ＋ 6E Æ BBd ＋＋ CF. Nun iſt ferner: BE B6 CF 80 FLin. A, ◻ sin. m,— gsin. D a b C daher: BE S a. Sin. A, BG b. sin. m, CF C. sin. D ſomit, wenn dieſe Werthe eingeführt werden: a. Fin. A= b. sin. m ＋ C. sin. D Der Winkel m kann durch Winkel des Vierecks erſetzt werden. Es iſt nach 335 und 412: m S 180— A ＋＋ B)= 180—(360—(C ＋ P)) 180 J(C＋ D)(180—(C＋ D)) daher mit Hülfe von 103: sin. m Ssin.(180—(A ＋B3)) gsin.(& ＋ B) oder auch nach 103 und 115: sin. m sin.—(180(C＋＋ D))== sin.(180(C＋)) gin.(C ＋ P) folglich die vorſtehende Gleichung: a. sin. Ab. sin.(A ＋ B) ＋. sin. D oder auch: a. 6n. A= b. Sin.(C ＋ D) ＋. sin. D. Man kann die Form dieſer Gleichungen noch weiter ändern. Es iſt: D 360(A ＋ BA＋ 0

daher nach 107: gin. D sgin.(360—(A＋TB＋ C)) e= Fsin.(A＋B＋0) und a. sin. K b. sin.(A ＋E B)—. sin.(A ＋ B ＋＋ C) oder: A 2 360—(B ＋ C＋ PD) sin. A= ̈ sin.(B ＋ C＋ P) folglich: aà. 6in.(B ＋ C＋D)== b. sin.(C＋ PD) ＋ C. sin.D Dieſe verſchiedenen Gleichungen drücken alle nur ein und daſſelbe Geſetz aus, nämlich: 0= à. 6in. A— b. sin.(A＋ B) ＋ e. sin.(A＋ B＋ C) und man wird ſich der einen oder der andern Form bedienen, je nachdem es die Unterſuchung erfordert. Ein zweites ähnliches Geſetz für die Vierecke erhält man auf folgende Weiſe. Es iſt: AD= AE ＋ EF ＋ FD =＋ AE ＋ 60 ＋＋ FD. Nun iſt aber: 85 10 FD ＋ obs. A,—S2 cos. m,—= Cos. 0 2 b C mithin: AE S a. cos. A, 60 b. cos. m, FD SC. cos.D und, wenn dieſe Werthe eingeführt werden: d a. cos. A ＋ b. cos. m ＋ c. cos. D. Nach dem obigen iſt in Verbindung mit 119, 123 u. 131: cos. m S cos.(180—(A ＋＋ B))=—- cos.(A ＋) und cos. m cos.—(180(C＋D)) cos.(180(C＋”) — obs.(C J. cos.(360—(A＋B＋ O)) cos.(A＋B＋) cos.(360—(B＋CD)) cos. BG＋ C＋ D c.D coS. A mithin: d S a. cos. A— b. 0os.(A ＋ B) ＋. cos. D UE

d Sa. cos. A- b. cos.(A ＋ B) C. cos.(A＋SB＋C) d Sa. cos.(B ＋C＋fD) b. cos.(CÆD) ＋ C. cos. D Auch dieſe Gleichungen ſind nur verſchiedene Ausdrücke für ein und daſſelbe Geſetz. So wie nun früher für das Dreieck, ſo findet man hier für das Viereck zwei Geſetze. 413) 0 ua. sin. A— b. sin.(A＋ B) ＋ c. sin.(A＋B＋＋ C) 414) d Sa. coS. A—b. co0s.(A＋ B) ＋ C. cos.(&K ＋B＋T C) von welchen das erſte 336 und das zweite 340 entſpricht. Aus dieſen Gleichungen läßt ſich alles ableiten, was über das Viereck geſagt werden kann. Eine allgemeinere Form dieſer beiden Gleichungen iſt: 415) 0 Sa. çin. A b. sin.(A ＋ B) ＋ c. sin.(A＋TB＋T0) — d. sin.(A ＋ B ＋ C ＋ D) 416) 0 a. coSs. A- b. c0s.(A＋B) ＋ C. cos.(AK＋B＋ O) ees B59 ſie gehen in die vorhergehenden über, wenn man beachtet, daß A ＋B ＋ C＋D 360 und sin. 360 ◻ 0, cos. 360 1 iſt(108 und 124). Die Gleichungen 413 und 414 führen vereint zu einem drit⸗ ten Geſetze. Man erhebe beide zur zweiten Potenz und zähle ſie zuſammen, ſo entſteht: 2 σ(a. sin. A— b. sin.(A＋B) ＋ C. sin.(A＋B＋ O0))2 ＋(a. cos. A— b. cos.(AB) ＋ C. cos.(A＋ÆB＋T O0)2 S= a2 F6in. A2— 2 ab. 6in. A. sin.(A ＋ B) ＋ 2 ac. sin. A. sin.(A ＋ B ＋ C) a2 cos. A2— 2 ab. C05. A. cos.(A ＋ ＋ 2 ac. cos. A. CoSs. A ＋ B ＋ 0) ＋ b2. 6in.(XB)2— 2 be. sin.(A B). cin.(AT＋B3＋0) ＋ b2. C0s.(A＋CB)2— 2bœ. cos.(A＋B). cos. A＋B＋) ＋ c2. sin.(A ＋ B ＋＋ C)02 ＋ e2. cos.(A ＋ B ＋ C)02

a2(Sin. A2 ＋ cos. A2) 2 ab(C05.(A ＋ B). cos. A ＋ sin. A＋＋gB). sin. A) 2 ac(Cs.(AYB＋TC). C06. K NTsin.(A＋B＋TO. sin.N) bꝛ(sin.(A ＋ B)2 ＋ cos.(A ＋＋ 302) 2 be ein.(A ＋ B ＋ CC). cos.(A ＋ B) an.(A T B ＋ C). ein.(A ＋ B)) c2(sin.& ＋ B ＋ C)2 ＋ cos.(A ＋ B ＋ 0)02) Mit Hülfe von 68 und 200 erhält man hieraus: 417) de a2— 2 ab. cos. B ＋ 2 ac. cos.(B ＋ C) b2be eos. ＋ e2. Dieſe Gleichung hat dieſelbe Bedeutung für das Viereck, wie 341 für das Dreieck. Die beiden Grundgleichungen 413 und 414 können außerdem noch auf ſehr verſchiedene Weiſen unter ſich und mit ihrer abge⸗ ＋＋ IIII leiteten 417 verbunden werden. Gibt man z. B. der Gleichung 417 die Form: d2= a2 ＋ b?— c2— 2 ab. cos. B ＋ 2c2— 2be. cos. C＋ 2ac. cos.(B ＋ 00 = az bꝛ e2 2 ab ecos. 5 ＋ 2c(e— b cos. C＋ a. cos.(B ＋ O) und beachtet, daß nach dem Geſetze 414: b. cos. C— a. cos.(B ＋ C) ＋ d. cos. AK＋ÆB＋0 oder: bheCss. C— a, coe.,( folglich: beoe C à Coe. ſo wird: d2 az 4 b2— 2— 2 ab. C056. B ＋ 2 cd. cos. D oder auch: de ＋(2— 2de. cos. D S az ＋ bꝛ— 2 ab. cos. B. Dieſe Gleichung kann auch, und zwar noch leichter gefunden 1189 a A10) 4 2 I＋6 120 4 — 22 22

— 161— werden, wenn man das Viereck FFig. 77) in zwei Dreiecke zerlegt und hierbei die Gleichungen 341 anwendet. Es iſt im Dreiecke ABC: ACꝛ2 a? 4/ bꝛ— 2 ab, cos. B und im Dreiecke ADC: AC2= e2 T de 2 cd cos. D beide verbunden geben die obige. Eine andere Gleichung, welche die Winkel A und C enthält, findet man, indem man das Viereck durch die Diagonale BD in zwei Dreiecke zerlegt, und es iſt: 418) a?2 ＋ b2— 2 ah. cos. B 02 ＋½ dꝛ— 2cd. cos. D 419) a? 4 dze— 2 ad. cos. A be ＋ c2— 2bœ. c0s. C In ähnlicher Art können andere Gleichungen gewonnen werden. §. 65. Van dem Zuſammenhange der Seiten unter ſich. Nach 342 iſt a ＋ b A und nach demſelben Geſetze AC ＋e ad, daher: 420) a 4 b T N d d. i., die Summe dreier Seiten muß immer größer ſeyn als die vierte. §. 66. Von der Veſtimmung des Vierecks. Man kann die Betrachtungen über die Beſtimmung des Vierecks, wie bei dem Dreiecke, an die gefundenen Grundgeſetze knüpfen, dabei aber auch die früheren Unterſuchungen über das Dreieck benutzen, indem man durch Diagonalen das Viereck in zwei Dreiecke zerlegt, oder ſich daſſelbe aus zwei Dreiecken zuſammengeſetzt denkt. Zuerſt zeigen die gefundenen Gleichungen, daß fünf Elemente des Vierecks gegeben ſeyn müſſen, wenn ein ſechstes dargeſtellt gefunden werden ſoll. Die Seiten und Winkel des Vierecks laſſen ſich aber zu fünfe auf folgende Art zuſammenſtellen. 4 Seiten und 1 Winkel, 3 32* „ 3 oder 4 Winkel. Die zweite Zuſammenſtellung zerfällt in 4 andere und die dritte in 2, wenn man auf die Folge der Seiten und Winkel achtet. Die Winkel können entweder beide eingeſchloſſen ſeyn, oder Arneth, Geometrie. 11

— 162— nur theilweiſe, oder gar nicht; ſie können auf einander folgen oder getrennt ſeyn. Eben ſo können die Seiten auf einander folgen oder getrennt liegen. Man erhält hierdurch folgende Zuſammenſtellung: 4 Seiten und 1 Winkel, 3 2 welche eingeſchloſſen ſind. ** 3* 338 5 5 der eine iſt eingeſchloſſen, der an⸗ dere aber nicht, folgt jedoch auf den erſten. 3„ 7 5 der eine iſt eingeſchloſſen, der andere ſteht ihm gegenüber. 3 5 5 5 welche nicht eingeſchloſſen ſind. 5 3d0d 4„ die Seiten folgen auf einander. *„ 30d. 4„ die Seiten liegen ſich gegenüber. In wie weit das Viereck in dieſen ſieben Fällen beſtimmt iſt, ſoll in dem Folgenden näher unterſucht werden. Erlter Fall. Es ſind vier Seiten und ein Winkel gegeben. Sind a, b, e, d und A Cig. 79) beſtimmt und gegeben, ſo iſt das Dreieck ABD durch a, d und A beſtimmt(339), daher auch deſſen dritte Seite BD. Das Dreieck BCD iſt beſtimmt durch b, c und BD. beiden Dreiecke, aus welchen das Viereck zuſammengeſetzt iſt, ſind alſo durch die fünf 3 Stücke vollkommen beſtimmt; allein ſie enthalten keine nähere Beſtimmung über die gegenſeitige Lage dieſer Dreiecke, ſo daß ſie 1 9 das Viereck ABCD(Fig. 79) und dann das Viereck ABED(Fig. 80) bilden können. Durch die ge— gebenen fünf Stücke werden alſo zwei verſchiedene Vierecke beſtimmt, welche ſich dadurch unterſcheiden, daß der, dem gegebenen gegen— überſtehende Winkel in dem einen Vierecke 1800, im andern aber T1800 iſt. Iſt das E Die Dreieck BCD ſo beſchaffen, daß es nicht innerhalb

— 163— des Dreiecks ABD liegen kann, wie in der zweiten Figur, ſo iſt nur ein Viereck möglich, nämlich ABCD. Hieraus geht hervor: 421) Vier Seiten und ein Winkel beſtimmen das Dreieck voll— kommen, wenn noch ferner beſtimmt iſt, ob der Winkel, welcher dem gegebenen gegenüberliegt, größer oder kleiner als 180“ iſt. Dieſelben Neſultate gibt die Gleichung 419. Man erhält aus ihr: ＋ bs ＋— de ＋ 2 ad. 608. A 2 be Sind nun die fünf Größen, welche der Ausdruck zur Rech⸗ ten enthält, gegeben, ſo iſt auch der Zahlenwerth des Bruches nur 422) Ccos. C=— ein einziger, beſtimmter, gegebener. Iſt dieſer Bruch eine poſitive Zahl, ſo können zu ihm als einem Coſinuſſe gehören die Winkel (F. 17): 5, 4 R-—, 4 RER wo y T 900 der Winkel der Tafeln iſt. Von dieſer Winkelreihe ſind im Vierecke nur die beiden erſten möglich, weil alle folgenden& 360“ ſind. Es iſt mithin entweder S= oder C⸗ 18 7. Iſt die Tafeln, welcher der poſitiven Zahl angehört, ſo entſpricht dem negativen Coſinuſſe die Winkelreihe eſer Bruch aber negativ, und wieder 7 der Winkel der „ 2 R„ ο˖ · und von dieſen ſind auch nur die beiden erſten möglich, ſo daß entweder CS⸗ 2 R, oder C= 2 R ＋ 5. Wie alſo der Bruch auch beſchaffen ſeyn mag, ſo erhält man für C immer zwei Werthe, was auf zwei Vierecke hinweist, welche die gegebenen fünf Elemente wechſelweiſe gleich haben, aber doch unter ſich verſchieden ſind. Es iſt ſchon oben angeführt worden, daß nicht bei allen Werthen der gegebenen fünf Elemente zwei Vierecke ſtatt finden können; wie dieß die Rechnung anzeigt, wird im ſechszehnten Kapitel gelehrt werden. 11*

—164— Die Konſtruktion des Falles iſt leicht. Man bilde aus a, Dreieck ABD, ſodann aus BD, b, e d und A(Fig. 79), das D das Dreieck B8CD oder BED, ſo ſind ABCD und ABED die Iſt BED Cig. 80) ſo beſchaffen, daß, wie bei en eiden Vierecke. b n ich durch chr eiden, ſo kann nur das 0 3 1 BFD(Fig. 81), zwei Seite erſte Viereck ſtatt finden. Zweiter Fall. rei Seiten und die beiden eingeſchloſſe— nen Winkel. Man kennt d 3, C Cig. 77) gegeben. Man denke 15 den Dreiecken ABC und ind B, daher auch KC Es ſeyen a, b, e und ſich das Viereck zuſammengeſetzt aus ADC. Das erſte iſt beſtimmt durch a, br und AcB. Durch Cund J AchB iſt auch L AC0 be⸗ ſtimmt. Betrachtet man nun das Dreieck AD0, ſo iſt dieſes beſtimmt durch AC, e und dem eingeſchloſſenen Winkel ACD; daher auch das ganze Viereck. In dieſem Falle können nicht wie im vorigen die Dreiecke verſchiedene Lagen haben, indem der Winkel C die Lage von AD0 gegen AB3C ebeſtimmt. 6 Man findet mithin: 423) Drei Seiten und die beiden eingeſchloſſenen Winkel beſtim⸗ men das Viereck vollkommen, nur auf einzige Weiſe. Daſſelbe Reſultat muß die Betrachtung der Gleichungen liefern. Die Gleichung 417: d2= 22— 2 ab. cos. B ＋ 2ac. cos.(B ＋ C) be ees ＋ C2 gibt, wenn die fünf Größen im Ausdrucke zur Rechten gegeben ‚ ſind, nur einen einzigen Werth für d, wie dieß die obigen Be⸗ trachtungen verlangen. Eben ſo ſind die beiden übrigen Winkel nur auf einzige Weiſe beſtimmt, wie dieß die nachſtehenden Unter⸗ ſuchungen zeigen werden. Man trenne in der Gleichung 413 nach dem Geſetze 197 Winkel A, ſo geht ſie über in: den

a. 8in. A „ ＋ C. sin. A. cos.(B ＋C) ＋ C. cos. A. sin.(B＋0) 0 ◻σ sin. A(a— b. cos. B ＋. cos.(B ＋ C)) — cos. A(b. sin. B—. sin. B ＋ O)) Hieraus erhält man: b. sin. B—. sin.(B ＋ C) ee n 424) lang. KA Der Ausdruck zur Rechten erhält für gegebene Werthe der fünf Größen nur einen einzigen Werth, welcher als Tangente, wenn er poſitiv iſt, der Winkelreihe: „ ne, R, und wenn er negativ iſt, der Winkelreihe: R R„ GR σEh‘ angehören kann, wenn à der Winkel der Tafeln iſt, welcher dem poſitiven Bruche entſpricht. Die zwei erſten Glieder beider Reihen allein können dem Vierecke angehören und es ſcheint ſomit die Gleichung zwei Fälle zuzulaſſen, einmal für einen poſitiven Werth: Scc oder: R R und dann für einen negativen Werth: nR ce; deeR Dieſe Unbeſtimmtheit verſchwindet durch folgende Betrachtun— gen. Nach der Vorſchrift 414 iſt: becos. B— e cobs.(B E O) d.. cos. A daher: 2 a— b. cos. B ＋. cos.(B ＋ C) d Dieſe Gleichung, mit der obigen 424 verglichen, gibt: b. 6in. B— e E6in.(B. 00 d Die Zeichen dieſer Brüche hängen nun bloß allein von den Zeichen der Zähler ab, da d immer poſitiv ſeyn muß— 4250 C0s5. X 426) 67n. KA

— 166— Setzt man der Kürze wegen: b. ein. B—. sin.(B ＋ O) 1. 15 4 eb B. ebe., ˖· ſo iſt: 7. d ＋ sin. A tang. A N N 6061 d Nun ſeyen Z und N poſitive Zahlen, ſo müſſen gleichzeilig sin., cos. und lang. von A poſitive Größen ſeyn. Dem poſitiven sin. können nun zugehören die Winkel à u. 2 K—0 5 ebs. dον 4A4R= G der„an. 3 5„*3 d τν 2R＋ ο es kann ſomit nur X τ, ſeyn. 0 Iſt Z poſitiv und N negativ, ſo erhält man: Dem poſitiven sin. können zugehören die Winkel u. 2 R l „ negativen cos.„ 5 5„ 2R= d, 2R ＋EG der„ lang.„ 5 5„ 2R— a, 4R hier kann alſo nur A= 2R— a ſeyn. Iſt Z negativ und N poſitiv, ſo wird dem negativen szu. zugehören der Winkel 2 R J＋ àd oder 4R— „ poſitiven C0s. 5 51 5&„„ 4R- der negativen Lang.„ 5 9 2R—„ 4R— ſo daß nur AÆ 4 R— aà ſeyn kann. Iſt zuletzt LE negativ und N negativ, ſo werden dem negativen 5in. zugehören die Winkel 2 R Æπ α und 4R- 2RAα ‚ ↄQA2RÆ der poſitiven(ang.„ 5 5&„ 2R＋ 1 „„ C05. 5„ 5 5 wo alſo nur A 2 K ＋T 4 ſtatt finden kann. Die Unbeſtimmtheit von 424 wird alſo aufhören, wenn man die Zeichen von Zähler und Nenner beachtet, es wird für: ＋ und N A im erſten Rechten NN HAhi zweiten „„„„„„** 6; N„ vierken:

— 167— liegen, der Winkel A und ſomit auch der Winkel D vollkommen, nur auf einzige Weiſe beſtimmt ſeyn, was auch die vorhergehen— den Betrachtungen verlangen. Soll das Viereck gezeichnet werden, ſo bilde man zuerſt das Dreieck ABC an BC, in Cllege man den gegebenen Winkel C an und mache COD= Me, werden nun die Punkte A und D ver— bunden, ſo iſt ABCD das Viereck. Dritter Fall. E rei Seiten ſind gegeben und zwei Winkel, welche auf einander folgen und von denen der eine ein⸗ geſchloſſen iſt, der andere nicht. Sind a, b, e und A und B(Fig. 82) gegeben, ſo denke man ſich das Viereck zuſammengeſetzt aus den Dreiecken ABC und ACD. Im erſten Dreiecke iſt durch die beiden Seiten a, b und den as Winkel B, die dritte Seite AC und der Winkel BAC vollkommen beſtimgmt. Durch X und BAC iſt auch CAD, alſo im Wekr ACD zwei S Winkel beſtimmt. Aus den beſtimmten Elementen des ACb können nun zwei Dreiecke gezeichnet werden, einmal AC und dann ACE. Die fünf gegebenen Elemente des Vierecks laſſen alſo zwei Fälle zu, das Viereck ABCD und das 2 ABCE; beide unterſcheiden ſich dadurch, daß im erſten der Winkel D ein eiten und der nicht eingeſchloſſene Dreiecks ſpitzer und im anderen E ein ſtumpfer iſt— Man findet folglich: 427) Sind drei Seiten und zwei auf einander folgende Winkel des Vierecks, wovon der eine eingeſchloſſen iſt, der andere nicht, beſtimmt und gegeben, und iſt außerdem noch be— ſtimmt, ob der andere nicht eingeſchloſſene Winkel& 90“ iſt, ſo iſt auch das Viereck vollkommen beſtimmt und gegeben. Die Betrachtung der Gleichungen führt zu Folgendem: Es iſt 413: a, sin. A S b. 6in.(A ＋E B) e. sin. D

daher: 4 5 à ii A b eIin( 3 TTTT. Iſt nun§ der Winkel, welcher dem einzigen Werthe des Bruches als sen. zugehört, ſo iſt für eine poſitive Zahl: D 8 oder D= 2 R 8 und für einen negativen Werth des Bruches: DS2R ＋ 0 oder D 4R. Die Gleichung gibt alſo, wie es die obigen Betrachtungen erfordern, ganz richtig zwei Werthe für D. Aus 428 erhält man: D 3(a. éin. A-h. sin.(A3))2 ben c06. DV(Isin. Dꝛ)V(—— N N 62—(a. sin. A— b. ein.(A ＋ B)2)(75 02 f M10 —.— 8 Ce2—(a. sin. A— b. sin.(A ＋ B)2) eobs bcCes.(K ein, ſo geht ſie über in: 429) d a. cos. A— b. cos.(X ＋ 3) 5 ＋V(eꝛ—(a. sin. A— b. sin.(A ＋ B92) und dieſe Gleichung gibt für die vierte Seite d ebenfalls zwei verſchiedene Werthe, den größern KD und den kleinern AE, wie Führt man dieſen Werth in 414 55 dieß nach dem Obigen ſeyn muß. 13 Das Viereck kann auf folgende Art gezeichnet werden. Man 1 bilde aus a, b und B das Dreieck ABC, an AB in A lege man den gegebenen Winkel A und ziehe die Gerade AD von willkürlicher Länge, aus C durchſchneide man mit e rder dritten Seite dieſe Gerade, da dieß in zweien Punkten D und E geſchehen kann, ſo erhält man die beiden Vierecke ABCD und ABCE. Nicht immer R N iſt die Bildung von zweien Vierecken möglich; man erkennt dieß aus 428, wenn der zweite Werth von D mit A und B zuſam⸗ mengenommen ſchon 3609 iſt, und aus 429, wenn der ratio⸗ nale Theil der Gleichung O der irrationale Theil derſelben wird.

Vvierter Fall. Drei Seiten und zwei einander gegenüberſtehende Winkel ſind gegeben. Sind a, b, e und A, C Cig. 79) gegeben, ſo betrachte man das Viereck zuſammengeſetzt aus den Dreiecken BCD und ABD. Das erſte Dreieck iſt beſtimmt durch b, e und C, die dritte Seite BD kann alſo nur einen beſtimmten Werth haben. Das Dreieck ABD iſt nicht vollkommen beſtimmt, da von demſel— ben nur zwei Seiten a und BD und der nicht eingeſchloſſene Winkel A beſtimmt ſind. Es können mithin zwei Dreiecke A3D Fig. 83) und ABF gebildet werden, daher auch zwei Vierecke ABCD und ABEF ſtattfinden, welche die gegebenen Stücke wechſelweiſe gleich haben, ohne dieſelben zu ſeyn. Die beiden Fälle, welche hier ſtatt haben können, zeichnen ſich nicht, wie die früheren, dadurch aus, daß die unbeſtimmten Winkel in verſchiedenen Rechten liegen, eine den fünf gegebenen Größen hinzugefügte allgemeine Bedingung über die Beſchaffenheit der Winkel wird daher auch dieſe beiden Fälle nicht ſcheiden. Die beiden Vierecke unterſcheiden ſich aber beſonders dadurch, daß die Diagonale der unbeſtimmten Winkel in AB0D einen ſpitzen und in ABEF einen ſtumpfen Winkel mit der vierten Seite bildet; daher: 430) Drei Seiten und zwei einander gegenüberliegende Winkel beſtimmen das Viereck nur dann vollkommen, wenn noch ferner beſtimmt iſt, ob die Diagonale der unbekannten Winkel mit der vierten Seite einen ſpitzen oder einen ſtumpfen Winkel bildet. Die Gleichung 413: a. sin. A= b. 6in.(C ＋ D) ＋ C. 8in. D führt, wenn der Winkel D getrennt wird, zu: h 6 E 431———. Cos. D———, Wzdlcin 0 ee o=b. cos. C und hieraus erhält man D nur durch eine Gleichung vom zweiten

— 170— Grade, ſo daß alſo zwei verſchiedene Werthe von D ſtatt finden ſt müſſen. Die Auflöſung dieſer Gleichung wird im ſechszehnten ö Kapitel gezeigt werden. Aus den Formeln 413 und 414 erhält man ferner: 4 4 n. b in.(&K B) ＋C. sin.(A＋Æ3 0 d— a. cos. R= b. cos.(A＋B) Æ. cos. A＋B＋0 Erhebt man dieſe Ausdrücke zur zweiten Potenz und zählt ſie zuſammen, ſo erhält man: (d— a. cos. A)2 a?. gin. A2 b2 4＋ c2 2be. cos. C 7 und hieraus: 432) d a. cos. AÆV(b2 ＋C2 2bCe. c0s. C az? Fzin. A2) J Auch hier findet man, wie es die obigen Betrachtungen ver— 1 U langen, zwei Werthe fuͤr d. Die fünf gegebenen Größen laſſen ſich durch Zeichnung auf 3.0 folgende Art zu einem Vierecke vereinigen. Man bilde aus b,& und Cdas Dreieck BCD, hierdurch erhält man die Diagonale BD. Aus BD, a und A zeichne man nun entweder das Dreieck ABD oder ABF und füge dieſem das erſte At Dreieck BCD an, ſo iſt entweder ABCD oder ABEF das Viereck. Von dieſem Falle gilt daſſelbe was bei den früheren erwähnt worden iſt, nicht immer ſind die fünf gegebenen Elemente ſo be⸗ ſchaffen, daß zwei Vierecke gebildet werden können. Fünkter Fall. Drei Seiten ſind geg ben und die beiden nicht ein⸗ geſchloſſer e ſſenen Winkel. Dieſer Fall läßt ſich nicht auf frühere Unterſuchungen zurück⸗ i führen, iudem man das Viereck auf keine Weiſe in zwei Dreiecke U zerlegen kann, welche durch die gegebenen Größen beſtimmt wären. Die Betrachtung der Grundgleichungen gibt. Aus 413: I 3* a. sin. A— sin. D 433) sin.(A ＋ B)——— 0 Der Ausdruck zur Nechten führt bei gegebenen Werthen von

a, b, e und A, D nur zu einem einzigen Werthe des Bruches. Iſt nun 6 der Winkel, welcher als Sinus dieſem Werthe ange⸗ hört, ſo iſt für eine poſitive Zahl: ATB6 oder A ＋ B 2 R 6 und wenn der Bruch negativ iſt: A＋ B= 2R ＋6 oder A ＋ B AR 6 Im erſten Falle wird: B 6 e oder B= 180- 6 und im anderen: B 180 ＋ 6— A oder B= 360—— A In beiden Fällen erhält man zwei Werthe für B, was auf zwei verſchiedene Vierecke hinweist. Aus 433 erhält man: b. cos.(A ＋ B) b. V(1i— sin.(A ＋ 392) ( =Vob(a. sin. A—. sin. D)2) Da nun 414: d S a. cos. A ＋ e. cos. D— b. cos.(A ＋ B) ſo erhält man durch Einführung dieſes Werthes: 434) d Sa. coS. A＋. C0S. DÆVCGb2-(a. sin. A- C. sin. D)2) Für die vierte Seite findet man alſo auch zwei verſchiedene Werthe, und aus den fünf gegebenen Größen können ſomit zwei verſchiedene Vierecke gebildet werden, welche man auf folgende Art durch Zeichnung erhalten kann. Man lege an einer Geraden KL Cig. 84) in zweien will⸗ kürlich gewählten Punkten A und M die gegebenen Winkel A und D und ziehe AB und MN. Man nehme ſodann AB ε a und MN S eé und ziehe NP üt zu KL. Aus B, ſo daß 30C b, durchſchneide man dieſe Parallele, dieß kann ſowohl in C als in E geſchehen; zieht man nun CD und EE Aßt mit MN, ſo iſt das geſuchte Viereck entweder ABCD oder ABEF. Die beiden Vierecke unterſcheiden ſich dadurch, daß in dem erſten die verlängerte B0 mit der vierten Seite einen ſpitzen und im anderen BE einen ſtumpfen Winkel macht. Man findet folglich:

435) Sind drei Seiten und die beiden nicht eingeſchloſſenen Winkel eines Vierecks gegeben, ſo iſt daſſelbe nur dann voll⸗ kommen beſtimmt, wenn noch ferner angegeben iſt, ob die verlängerte zweite Seite mit der vierten einen ſpitzen oder einen ſtumpfen Winkel bildet. Sechster Fall. Zwei auf einander folgende Seiten und die Winkel des Vierecks ſind gegeben. Sind a und b(Fig. 77) die gegebenen Seiten, ſo iſt ABC durch a, b und B vollkommen beſtimmt, daher auch AC und die Winkel BAC und BCA, da nun A und C gegeben ſind, ſo kennt man auch CAD und ACoD, alſo im Dreieck ADC eine Seite und zwei anliegende Winkel, welche daſſelbe vollkommen be⸗ ſtimmen. Die Dreiecke, aus welchen das Viereck beſteht, ſind alſo vollkommen beſtimmt, eben ſo ihre gegenſeitige Lage durch Aund C, ſomit auch das Viereck ABCD. Man findet alſo: 436) Sind im Vierecke zwei auf einander folgende Seiten und die Winkel gegeben, ſo iſt daſſelbe vollkommen beſtimmt. Aus 413 erhält man: 4370 oin. A＋ b. sin.(A ＋ B) §In.(X ＋ B ＋0) „. K b. sin.(C ＋ D) sin. D Nach dieſem Geſetze iſt eben ſo: 438) d— b in. C L a.ain. G ＋0 Sin.(A ＋B ＋＋ C) b. Sin. C Fa. sin.(A ＋ D) 5 Sin. D Beide Gleichungen geben für beſtimmte Werthe von a, b und A, B, C, D nur beſtimmte Werthe für e und d, wie es die vorſtehenden Betrachtungen verlangen. 139 U

Man konſtruirt das Viereck, indem man zuerſt aus a, b und B das Dreieck ABC bildet, an AB in A den Winkel A und an BC in C den Winkel C anlegt und AD und Cd zieht. Siebenter Fall. Die Winkel des Vierecks und zwei einander gegen⸗ überliegende Seiten ſind gegeben. Frühere Unterſuchungen können hier, wie beim fünften Falle nicht angewandt werden. Aus 413 erhält man: a. sin. A c. 6in.(A＋ B ＋ O) NubeFR Sen.(A ＋ B) —5 a. sin. A— e. sin. D 5in.(A ＋ B) und nach demſelben Geſetze: a. sin. B ＋. sin.(A＋B＋ PD) sin.(A ＋＋ B) à ein. 8 dein. FB Die Werthe von b und d ſind hierdurch vollkommen beſtimmt, ſo daß nur ein Viereck ſtatt finden kann; daher: 441) Sind im Vierecke die Winkel und zwei gegenüberliegende Seiten gegeben, ſo iſt daſſelbe vollkommen beſtimmt. Das Viereck kann auf folgende Art konſtruirt werden. An zwei willkürlichen Punkten A und E(Fig. 85) einer Geraden AE lege man die gegebenen Winkel Aund D und ziehe AB und EF. Aus F, ſo daß EF e, ziehe man FG àt AE und in B, ſo daß AB S a, lege man den gegebenen Winkel B und ziehe BC, ſo iſt ABCD das verlangte Viereck. 440) d §. 67. Von dem Zuſammenhange der Seiten und Winkel des Vierecks im Veſonderen. Legt man den Seiten und Winkeln des Vierecks beſondere Eigenſchaften bei, ſo geſtatten die Seiten folgende Annahmen:

1) Parallelität gegenüberliegender Seiten; 2) Gleichheit gegenüberliegender Seiten; 3) Gleichheit aufeinanderfolgender Seiten. Die Winkel geſtatten: 4) Gleichheit aufeinanderfolgender Winkel; 5) Gleichheit gegenüberliegender Winkel; 6) Aufeinanderfolgende Winkel geben eine beſtimmte Summe; 7 Gegenüberliegende Winkel geben eine beſtimmte Summe. 1) Sind zwei einander gegenüberliegende Seiten des Vierecks, z. B. b und d(Fig 86) zu einander parallel, ſo hat dieß keinen Einfluß auf die beiden andern Seiten a und e. In Bezug auf die Winkel iſt mit dieſer Annahme verbunden, daß: A ＋ B 1800 und C ＋ DP ν 1809. Das Viereck heißt ein Trapez und die Grundgleichungen deſ— ſelben ſind, nach 413 und 414: 442) 0. sin. A— zin. D à. sin. B— C. sin. C d b à. cCos. A C. cos. D— à. cos. B— 6b Wird auch noch A= D, ſo gibt die erſte Gleichung a Se und die zweite geht über in d— b 2 a. cos. A. Iſt D 2 900, ſo iſt auch G= 900 und e S a. sin. A, f ‚ ‚ ε 2) Sind im Vierecke je zwei gegenüberliegende Seiten parallel, ſo nennt man daſſelbe Parallelogramm, Rhomboid(Fig. 87). Die Parallelität bedingt, daß: A ＋＋ B= 1800½ ieunund Dd. X ◻ 1800; hieraus folgt: und B S D. Die Grundgleichungen führen zu: ein. · sin. R alſo: 0= à— oder a= E und zu: eir cn 005. A (— c). cos. A ν oder b d. Man findet daher: 443) Im Parallelogramme ſind je zwei gegenüberliegende Seiten und Winkel gleich. 3) Bei der Gleichheit von je zwei gegenüberliegenden Seiten erhält man, wenn z. B. a=c und b d iſt, aus 418 B D aus 419 0⸗= A, daher A ＋ BÆ C ＋ D.

— 175— Da nun A BTC＋D 3600, ſo iſt A＋B1800 und C＋ D 180, aber auch A ＋D= 1800 und B＋C 1800, je zwei gegenüberliegende Seiten ſind folglich zu einan— der parallel. 444) Das Viereck, in welchem je zwei gegenüberliegende Seiten gleich ſind, iſt ein Parallelogramm. 4) Die Gleichheit von zwei oder drei auf einander folgenden Seiten hat keinen Einfluß auf die übrigen Stücke des Vierecks. 5) Sind alle Seiten gleich, ſo nennt man das Viereck Raute, Rhombus(Fig. 88). Bei der Gleichheit aller Seiten hat man auch die Gleichheit der gegegenüberliegenden und nach 444: 445) Die Raute iſt ein Parallelogramm. 6) Die Gleichheit von zwei oder drei auf einander folgenden Winkeln hat keinen weſentlichen Einfluß auf die übrigen Theile des Vierecks. 7) Sind alle Winkel gleich, ſo iſt ein jeder& 900, daher A ＋＋ B 180 und A＋τ D 1800, je zwei gegenüberliegende Seiten ſind alſo parallel. Das Viereck heißt ein Rechteck oder Rectangulum und man findet für daſſelbe: 446) Das Rechteck iſt ein Parallelogramm. 8) Sind je zwei gegenüberliegende Winkel gleich, A= C ünd 5, ſo wird K. D= 1809 und B. 1800 und auch C＋ D ◻ 180 und B ＋ A ◻ 180, je zwei gegen⸗ überliegende Seiten ſind daher parallel und 447) Das Viereck, welches die gegenüberliegenden Winkel gleich hat, iſt ein Parallelogramm. 9) Wenn zwei oder mehrere auf einander folgende Winkel eine beſtimmte Summe ausmachen, ſo iſt nur der Fall zu beach— ten, wo dieſe Summe 1800 beträgt. Sind nur zwei auf einander folgende Winkel gleich 180“ 3 ſammengenommen, ſo iſt nach(1) das Viereck ein Trapez. Sind je zwei auf einander folgende Winkel zuſammen D 1800, ſo ſind je zwei gegenüberliegende Seiten parallel und das Viereck ein Parallelogramm. —— = II

— 176— 10) Machen je zwei gegenüberliegende Winkel zuſammen 1800 aus(Fig. 89), A＋ C 1800 und B ＋ D= 180“, ſo iſt BC antiparallel zu AD und CD zu AB. Das Viereck heißt ein Antiparallelogramm. Dieſes Viereck hat die entgegengeſetzten Eigenſchaften des Parallelogramms, es iſt dieſem in ſeiner Bildung entgegengeſetzt, daher: 448) Das Antiparallelogramm hat die entgegengeſetzten Eigen⸗ ſchaften des Parallelogramms; nämlich: Antiparallelogramm. Parallelogramm, Autiparallelität gegenüberliegen— Parallelität gegenüberliegender Seiten der Seiten. Gleichheit gegenüberliegender Ungleichheit gegenüberliegender Seiten Seiten. Gleichheit entgegengeſetzter Winkel Ungleichh. entgegengeſetzt. Winkel. Zwei auf einander folgende Winkel] Zwei entgegengeſetzte Winkel ſind 180 machen 180“. Die Grundgleichungen des Antiparallelogramms ſind: 449) 0 a. sin. A— b sin.(KA ＋ B)-. sin. B Sa cocos. K— b cos.(K E 5—(eis oder auch: o= C ein. D— b. sin.(C ＋ D)— a. ein. C „eie d bebeos,( 1 fEeif Die Gleichungen 418 und 419 gehen in dieſem Falle über in: 450) 2(ad ＋ be). cos. A σ a b ‚ eien c2— d Hebt man eine Eigenſchaft des Antiparallelogramms auf und erſetzt ſie durch die entgegengeſetzte, ſo werden auch alle übrigen aufgehoben und in die entgegengeſetzten verwandelt. Es ſey im Antiparallelogramm a Se, ſo geben 450: 2(d4b) a. cos. A= d2— b? dd b)(d— b) daher: (h23 cCos. und 2a.(b ＋ d) cos. B leb dh ch- d) daher d= 2 cos. B A2a Cos. D, ſo däß alſo; d— b= 2a. 06. A und d— b== 2a. cos. D;

daher: A D oder auch B= C iſt. Hieraus folgt A ＋ B 180 und C＋ D ◻ 1800, oder das Viereck wird ein Tra⸗ pez. Setzt man zur vorhergehenden Bedingung noch die, daß b d, ſo wird A= C und B= D alſo A B CÆ D 900, und das Antiparallelogramm wird ſomit ein Rechteck. Hebt man eine Eigenſchaft der Winkel auf, ſetzt man z. B. A ◻ CC und B D, ſo wird A B C D 90, das Viereck alſo wieder ein Rechteck. Das Rechteck iſt alſo zugleich ein Parallelogramm und ein Antiparallelogramm. Theilt man die Eigenſchaft der Winkel beider Vierecke, ſetzt man B D= 900 und läßt man die beiden andern Winkel ungleich ſeyn, was immer angeht, und bloß der Bedingung un— terworfen, daß A C S 1800, ſo erhält man als Grundformeln für dieſes Viereck(449): nel eb n Hieraus durch Elimination: h 9 a. d— b. Aus 450 erhält man ferner: 453) a? ＋ bꝛ= C ＋ dz Vereinigt man die Eigenſchaften aller vorhergehenden Vierecke in einem, ſo erhält man das Quadrat. Im Quadrate Fig. 90) ſind alle Seiten und alle Winkel gleich, es iſt daſſelbe zugleich ein Parallelogramm und ein Anti— parallelogramm u. ſ. w. Arneth, Geometrie.

Vierzehntes Kapitel. Vergleichung mehrerer Vierecke, die in beſtimmten Beziehungen zu einander ſtehen. §. 68. Von der Identität oder Kongruenz der Viereche. Haben zwei Vierecke alle Elemente, Seiten und Winkel wechſel— „ſo nennt man ſie kongruent, identiſch. emente des einen gleich lben Ordnung genom—⸗ weiſe gleich Wenn nun in zweien Vierecken fünf El ſind fünf Elementen des anderen in derſe men, und zwar die fünf Elemente in der Art zuſammengeſtellt, und denſelben allgemeinen §. 66 angegeben iſt, ſo zeigen unbekannten Elemente aus den gegebenen nur auf eine einzig mithin, da in beiden Vierecken die Bedingungen unterworfen, wie dieß in die Unterſuchungen dieſes§.: daß die e Weiſe beſtimmt werden können, daß gegebenen Elemente gleich ſind, auch die übrigen gleich ſeyn müſſen. Hieraus folgt: 454) Sind in zweien Vierecken fünf Elemente— wie ſie in 421, 423, 427, 430, 435, 436, 441 zuſammengeſtellt wurden— der des einen, gleich fünf Elementen des anderen in ſelben Ordnung genommen, ſo ſind auch alle Elemente des einen gleich allen Elementen des andern und die Vicrecke ſind kongruent, wenn auch die den fünf Elementen beige— gebenen allgemeinen Bedingungen von beiden Vierecken er⸗ füllt werden. Aus dieſem Satze folgt in Verbindung mit den früheren Unterſuchungen. 455) Werden kongruente Vierecke auf gleiche Art ſo ſind die entſprechenden Dreiecke ebenfalls kon— Vicrecke in Dreiecke zerlegt, gruent und die entſprechenden Diagonalen beider ſind gleich. §. 69. Von der Kehnlichkeit der Vierechke. Man nennt Vierecke ähnlich, wenn, in derſelben Ordnung genommen, alle Winkel des einen gleich ſind allen Winkeln des

anderen, und die Seiten des einen gleichoft gemeſſen werden, durch die entſprechenden Seiten des anderen. Nun ſeyen in zweien Vierecken ABCD und AIBICI D. 5 a b 8 d (Fig 91) die Seiten proportional·· ẽ& 3¹ b1 01 di und A ν A, Ceund Ci, ſeyen gleichartig. Es iſt nach 422: — a2 ＋ bꝛ ＋ 62— d2 ＋ 2. ad. 06. KA 6034 2be 52(2 d2 d 2 ehs ＋ 2 2 885 aꝛ 4ꝛ ＋ 2 4 h e b 2 6 2 d 2 d 1 1 1 0 1 3 ＋* 8 2. cos. A1 —— 41 2 bi— 1 —al ＋bz: ＋ ei2— di: ＋2af. di. 006. Al = ceoο. Ci. Wegen der Gleichartigkeit von C und Ci, folgt aus der Gleichheit der Coſinuſſe die Gleichheit der Winkel, ſo daß 6E10 Gibt man der Gleichung 431 die Form: b —. Sin. C 5 a Sin. A SeN. D— 5 eoõl.—— 5— ———. cos. C—— F. cos. C 4 4 a a ſo geht ſie wegen der obigen Annahme über in: b 2 08 61 6in.D— 5 5 06D——6—— —A. cos. CI—＋＋.. cos. C1 41 41 21 21 oder: 0 bi. Sin. C ai. 6in. A n. D——⏑hHne—. cos. Döo1 01— b1. C08. CI1 C1— b. 006. CI 1 25

— 180— Da nun im Vierecke A1B107D1 auf dieſelbe Weiſe: a1 · Sin. Al 0 ain. D— bI in. CI L. Cos. D! I ci— biI · cos. C. 01 bi · 0086. C1 ſo müſſen die Unbekannten beider Gleichungen dieſelben Werthe haben, alſo: zin. Di sin. D und cos. Di co. M. daher D1= D ſeyn. In beiden Vierecken ſind alſo drei Winkel des einen gleich 18 drei Winkeln des andern, daher auch der vierte dem vierten gleich, ſo daß: Wenn in zweien Vier portional ſind, ein Winkel des einen gleich iſt dem homo— gleichen ecken alle entſprechenden Seiten pro— logen Winkel des andern und außerdem die, den Winkeln gegenüberliegenden Winkel gleichartig ſind, ſo ſind Nul! auch alle Winkel beider Vierecke, in derſelben Ordnung genommen, einander gleich. 0 Aehnliche Betrachtungen laſſen ſich für die übrigen in§. 66 angeführten 6 Fälle anſtellen und man erhält: 456) Sind in zwei Vierecken von fünf Elementen— wie ſie in 421, 423, 427, 430, 435, 436, 441 zuſammengeſtellt wurden— die Seiten proportional und die Winkel gleich, alle in derſelben Ordnung genommen, ſo ſind auch alle ent— 10459 ſprechenden Seiten proportional und alle entſprechenden Winkel gleich, alſo die Vierecke ähnlich, wenn auch noch die, den fünf Elementen beigefügten allgemeinen Bedingun— gen in beiden Vierecken dieſelben ſind. 10 Ferner erhält man hieraus in Verbindung mit dem Früheren: 457) Aehnliche Vierecke beſtehen aus ähnlichen Dreiecken, und in ähnlichen Vierecken ſind auch die entſprechenden Diagona⸗ len proportional.

Fünfzehntes Kapitel. Linien mit den Vierecken verbunden. §. 70. Anterſuchungen über die Diagonalen des Dierecks. Die Diagonalen Ac= m und BD ν n Cig. 92) können leicht aus den Gleichungen: 458) mꝰ a2 ＋ bꝛ— 2 ab cosS. B fE d?e— Zed cos. D da eeös& = be ＋ e2— 2beœ. cos. C welche nach 341 gebildet ſind, aufgefunden werden. Eben ſo leicht erhält man die Theilwinkel, in welche die Winkel des Vierecks durch die Diagonalen getheilt werden, nach 336. Es iſt: 8 C. Sin. D b Ein. B 459) sin. ν e—½, Sin. 41⸗— m m 5 d.. Sin. A Eein sin. 6=—.—, sin. 61⸗=— I I 8 a. sin. B de.§in. D .7—, 61u. 71..— 7 m 7¹ m b. sin. C 8 à. 3uin. K n§7N. 01— Man kann dieſe Winkel auch durch den Coſinus berechnen, und erhält durch das Geſetz 340: d— e. cos. D 6635 460) e. a·— ebös. ů m m 606,8 a— d. 06. A. b— e. cos. C „———————— C0S.————— n n h— a. 00s. B d. cos. D REASSSASSEEEh m m e b. cos. C 6ͤl 6 C05S. 71 Die Diagonalen durchſchneiden ſich unter dem Winkel P 180—( αœ 6 ru180—(51 ＋, ſo daß sin. ꝙ= sin.(al ＋ 60 oder zin. ꝙ= sin. 01 ＋T 0).

— 182— Wählt man den erſten Ausdruck, ſo wird: 2 Ein, zin. a1 cob. 6 T cos. 1: u. 6. n d co. K 5 b ehs B Iuin ————————.——— 3 m n m n ab zin B bd Cos, K. iyn. B ＋ ad. sin. K— bd. Sin. A. Co. B F........ 5 m. n cos. B B cos. A. sin. B) 1 ab. sin. B Tad. sin. A— bd Cin. A. ab. sin. B ＋ ad. cin ein. A—bd-§ein. Lin.(A 5 B) „ 1 ab. 3in. B B ＋d(a. sin. AXb. sin. AA＋)) 3 7 Die eingeſchloſſene Größe iſt nach 413=. sin. D, ſo daß: 10 ab. sin. B ＋ cd. sin. D D äjͤù/ Auf gleiche Weiſe gibt der zweite Werth von ꝙ die Gleichung: ad. 3in. A be. sin. C m. un 462) sen. Will man den Winkel ꝙ durch den Coſinus berechnen, ſo iſt cos. ꝙ C(0s.(c1 ＋ 6); daher: a. cos.(B 4. O)— bad. ee m.n 463) CoS. ꝙ Æ Verbindet man die bisher erhaltenen Gleichungen auf ent⸗ I ſprechende Weiſe, ſo erhält man die verlangten Winkel auch un—⸗ abhängig von m unden, bloß aus den Seiten und Winkeln des 15 Vierecks. Für ꝙ z. B. iſt: ab. sin. B ＋ ed. ein. 0 155 5 5 ac. C06.(B ＋9— bd. C0s.(X ＋ B) 5 ad. Sin. A ＋ be. 6n. C ac cos.(B ＋ C)— bd. cos. JJ) 0 Aus 461 und 462 erhält man noch eine Relation zwiſchen den Seiten und Winkeln des Vierecks. 465) ab. Sin. B ＋ cde. sin. D ad, sin. A be. ôin. C 10 Die Diagonallinien zerlegen ſich gegenſeitig. Sind deren Seg⸗ mente AE mi, EC mz, BE nz, ED nz, ſo iſt nach 336:

m1. sin. ꝙ mi m. K. n. 6 a. sin. 6 sin. ꝙ daher: d sin. A — A U I ab. sin. BÆed. sin. D m In ad. 67n. A ab. sin. B cd. sin. DB Denſelben Werth erhält man, wenn man m. aus der Gleichung mI sin. ꝙ d. sin. öͤi aufſucht. Der Nenner des gefundenen Bruches kann auch noch nach 465 abgeändert werden. Seine Segment m. einmal beſtimmt, ſo können die andern Segmente durch ein Fortrücken der Buchſtaben leicht ge— funden werden. ö 466) m m mæ m ni n. Man erhält: ad ein. K ad. gin. K T be. sin. C be. sin. C ad. 3in. be. sin. U ah ein B ab, Sin. B ＋ cd. Sin. D cde. 5in. D ab. sin. B T ed. sin. D Hieraus ergeben ſich die Verhältniſſe: 15 467) mi: ma und die Produkte: 468) mi. ma u1 un., Dieſe Produkte 469) m (m. Ferner iſt: 5 470 mi 11 m ad. sin. A: be. 6in. C ab. sin. B: ed. 6in. D abed. sin. A. sin. C (ad. sin. A ＋ be. 5in. C)2 abed. sin. B. sin. D (ab. sin. B ＋ cd. Sin. D)2 · m 2 A verhalten ſich wieder: m2 i 12 sin. A).(m. sin. C):(. sin. B).(n. Sin. D). a2? b. d. S6in. A. Sin. B 3(ab. sin. B ＋ ed. sin. D)2 c2. b. d. S5en. C. sin. D men (ab. sin. B T＋ cd. sin. D)2

und zuletzt: 471) mi ni1: m na (a. sin. A).(a. sin. B):(e sin. C).(c. sin. D). §. 71. Anwendung der vorhergehenden Unterſuchung auf be— ſondere Vierecke. Trapez.,(00 öt Für dieſes Viereck iſt(Fig. 93) A ＋ B ◻ 180 und C Ditz isd ꝗꝗ bi§1; daher nach 459: c. sin. D 4A zin 5 sin. sin.)„5 3 c. 3in. C a zIin sin. 61 sin. ö1 hieraus folgt: iin d ain B und e. Fin gin. A da aber sin. A sin. B und zin. CS= sin. D, ſo iſt I„„ ein. B ſtia, 4 Die Gleichungen 458, ſo wie die übrigen Gleichungen in 459, werden in dieſem Falle nicht einfacher; eben ſo die Gleichun— gen 461 und 462. Aus 464 erhält man: a(b ＋ d). Ein.& ac. coS.(A ＋ D) ＋ bd 472) lang. ꝙ Aus 466 wird: d b 473) mi m. 1—1 0 b ＋ d b d — 1..32e- HE.. 8 b ＋ d alſo: imn,= d: b und uz u und hieraus: f ͤ oder: 8 474) mi ni= mz n· Die Abſchnitte der einen Diagonale verhalten ſich alſo wie umge— kehrt die Abſchnitte der andern; oder auch, die Abſchnitte, welche den gleichen Winkeln entſprechen, meſſen ſich gleichoft. Dieſe Eigenſchaft

iſt eine nothwendige Folge der Aehnlichkeit der beiden Dreiecke AED und BEC, deren Winkel gleich ſind. Das Trapez wird durch die Diagonalen noch in andere Dreiecke zerlegt, oder es werden durch dieſelben Dreiecke gebildet, welche eine gemeinſame Eigenthümlichkeit haben. In einem jeden Paare der Dreiecke ABD, ACD und BAC, CDB und AEB, CEp ſind die Produkte aus zwei Seiten in den Sinus des einge— ſchloſſenen Winkels gleich. Es iſt: a. sin. KAÆ C. sin. D; daher auch: ad. sin. A ecd. sin. D. Hier iſt dieſe Wahrheit für BAD und CDA bewieſen. Parallelogramm. In dieſem Vierecke iſt KA ＋E B B ＋C= C＋D e und D; ο οf 61 u d; a ec und b d(Fig. 94). Die vor⸗ hergehenden Unterſuchungen geben: 475) mꝛ S as ＋ b ＋ 2 ab. cos. A n2= a2 ＋ b2— 2ab. cos. A daher: rre e oder: hheann ieee, Aus 464 erhält man: 2 ab. sin. A 6◻αν ο ονοε ν Aus 466 ergibt ſich: 476) fang. ꝙ mi mz 2 zm und ni n 2 n Aus 459 findet man noch: a. sin. A b. Sin. A sin.——, 6in. G1 In In und b. sin. A a. Sin. A sin. 6=—, 6in. 612.——TZ—— I

Hieraus ergibt ſich: 6in. G: sin. i a: h und Zin, 6: sin. 6i b Außer den Eigenſchaften des Trapezes beſitzt daher das Pa⸗ rallelogramm auch noch folgende: die Diagonalen halbiren ſich und je zwei gegenüberliegende Oreiecke ſind identiſch. Ra u t e. Zu den Eigenſchaften des vorhergehenden Vierecks kommt bei dieſem noch die Gleichheit aller Seiten; fur die Diagonalen erhält man daher nach 475: m2 2 42 ＋ 2a?.cos. A 2Zaꝛ?(1 ＋ c0s. A) = ‚2?2 g6çeos. A? Aa? cos. KA und n2 222— 2 a2. c%. A= 2 a?(1— cos. A) in,, A= ii Qif e Die Verwandlungen der eingeſchloſſenen Größen geſchehen nach 209 und 211. Durch Wurzelausziehen erhält man jetzt: 477) m S 2a. cos. 1 A und n 2a. sin. 1 A Für die Theilwinkel erhält man nach den obigen Verhält— niſſen, da in dieſem Vierecke auch b S a, sin. à S? sin. a1 und sin. 6 sin. 61; hieraus ergibt ſich wegen der Gleichartigkeit der Winkel a= ai und 6 σ 61, d. i. die Winkel der Figur werden halbirt. Aus 476 findet man, weil b= a: 478) fang. ꝙ= 00 alſo ꝙ=τ 900. Auch hier iſt mi= m m und nu:= n= n. Außer den Eigenſchaften des Parallelogramms beſitzt die Naute auch noch folgende: die Diagonalen halbiren die Winkel des Vierecks, die Dia⸗ gonalen durchſchneiden ſich unter rechten Winkeln und die vier Dreiecke, in welche die Raute zerlegt wird, ſind identiſch.

— 187— Rechteck. Das Rechteck iſt ein Parallelogramm, deſſen Winkel ſämmt— lich gleich, folglich alle Rechte ſind: Man erhält, da A σ 90: 479) me a ＋ be n alſo mSn. Die Diagonalen des Rectangulums ſind alſo gleich. Den Neigungswinkel erhaält man aus 476: 2 ab Quadrat. Sind alle Seiten und alle Winkel gleich, ſo finden ſich alle bisherigen Eigenſchaften aller Vierecke im Quadrat vereiniget. 480) kfang. ꝙ Antiparallelogramm. Iſt A＋C= 180 und B＋ D= 180 alſo C◻80—A, D 180— B, ſo iſt(Fig. 95) nach 458: 481) mꝛ² a2 ＋ b2 2 ab. cos. B e2 ＋ d? 2cd. coS. B n2 a2 ＋ d— 2ad. c0S. Ab? ＋ C2 ＋2be. coS. A Für die Winkel des Vierecks findet man hieraus: 42 be— e2— d F a2— be— 2 ＋ d? 2(ad T be) und wenn dieſe Werthe wieder in 481 eingeführt werden: a2 ＋ b?— 0— dz (aꝛ 4 ba)(ab edh— ab(a: ＋bC. d2) 605. B cog. K mꝛ= aà2 ＋ bꝛ— 2 ab (ab ＋(d) bh ee dꝛ2) ab (ab(d) 51 azcd ＋ becd ＋ ab. c2 ＋ ab. dz * ab ＋ cd ac(ad ＋ be) ＋ bd(be ＋ ad) ab ＋ cd (ac ＋ bd)(ad bo) ab ＋ ed

— 188— Auf gleiche Weiſe erhält man für n2 einen ähnlichen Aus⸗ druck, wenn man den Werth von cos. A in die zweite Gleichung einführt. Es iſt: (ac ＋ bd)(ad I be) 0— t ab ＋ cd 8 (ab 4 cd)(ac bd) ad be Hieraus erhält man das Verhältniß: ms(ad ＋ be)⸗ ns(ab ＋ cch? oder: ad be 0 FRNVMaiß d Für das Antiparallelogramm iſt nach 465: (ab T edh sin. B(ad ＋ be). ein. A mithin: be und hieraus: 6in. A 485) m. sin. An. sin. B oder 5 1 m Was die Theilwinkel betrifft, ſo findet man, mit Zuziehung der vorſtehenden Wahrheit aus 459, Folgendes: 8 C. 6in. D C. sin. B C. ein. A 0 6in.—. 61 m III I und hieraus& 61. Daſſelbe Verfahren auf die übrigen Theil⸗ winkel angewandt, gibt: 486) C ε g681, y 2 ↄðͥIi, 6 σ e ͤ νσ ggαn- Hieraus folgt, daß die Winkel in je zwei gegenüberliegenden Dreiecken wechſelweiſe gleich, die Dreiecke ſelbſt alſo ähnlich ſind. Den Winkel, welchen die Diagonalen mit einander bilden, er— hält man nach der Gleichung 464: (ab ＋ ed) sin. B ac. cos.(— B) ＋ bd. cos.(A ＋ B) 487) fang.

Für die Theile der Diagonalen iſt aus 466: ad. m. 3n. A ad m. sin. A dab I＋T cd) su. B(ad ＋ ch). sin. X Wendet man das Geſetz dieſer Gleichung auf die übrigen Seg— mente an, ſo erhaͤlt man, da sin. A verſchwindet: mi ad. m ad. n ad ＋ cb ab ＋ Cd be. m be. n „„ ab. m Rn Hieraus findet man weiter: abed. mꝛ mi m=(ad ＋ ch)? abed. mꝛ und ſomit: 489) mi. m ni. n2. Die Produkte der Segmente der Diagonalen ſind gleich. Sechszehntes Kapitel. Von der Berechnung des Vierecks aus gegebenen Seiten und Winkeln. §. 72. Verechnung aus vier Seiten und einem Winkel. I. Man ſucht den Winkel, welcher dem gegebenen gegenüber liegt. Es ſeyen a, b, e, d und A gegeben, ſo findet man den Winkel C mit Hülfe der Gleichung 422; für die wirkliche Berech⸗ nung kann dieſelbe aber auf eine vortheilhafte Weiſe umgeändert werden.

— 190— Man ſetze zuerſt nach 205 cos. A2 1— 2. 8gin. Y A2, ſo wird: — a2 ＋ bꝛ 4＋6— de ＋2 ad— 4 ad. 6in. A2 2 be —(aꝛ2— 2 addz)bec2— A4ad. sin. 1A2 2 be —(a— d)e ＋b2 ＋62=Aad.in. T KA2 „··... K.“ 604— Da auf gleiche Weiſe cos. CG=σ 1— 2. zin. 1 C2, ſo wird durch Uebertragung: —(a— dhz ＋ bꝛ ＋ 62 Aad. sin. 1A2 2 be d)2—(b2— 2bCe ＋ 2) ＋ Aad. sin. YA2 2. 6in. 1 C2 1— 2 be (à— d)?—(b-= c) A＋A4 ad sin. Y A2 2 be 32(a Abbc-=a bre-=d) T4Aad. K 2 be daher: i Setzt man aber nach 206 cos. CG=σ 2. cos. 102 ſo wird: — —(=d)s ＋ be 4— 4 ad. 6in. 1 A2 2.665.33. 450 —(a— d)z2 b402 A4 ad. Sin. Y A2 3 (aꝗgbꝗgc)(CaꝗꝙtbeÆd)-Aad. Sin. AA2 2 be oder: 3 4 7 ½ 491) c06.402(Abge c)0 agbeTd) Aad. Sin. AX& 5 4 be Eben ſo findet man aus 422 mit Zuziehung der erwähnten Geſetze 205 und 206: 492) 61n 1c2 Atb=eA-(a-bꝗgerd)—Aad. cos. 1 A2 4 be

und (aꝓbꝗgegd)(- aꝙhαb-e-=d) 4ad. cos.RA2 4 be 8 Aus dieſen vier Gleichungen können durch Vervielfachen und Meſſen wieder andere erzeugt werden, die aber alle weniger vor— —— 493) cos. . theilhaft als dieſe ſind. Daß alle dieſe Gleichungen zwei Werthe für C geben müſſen, iſt früher ſchon erwaͤhnt worden, beide Werthe machen zuſammen 360 aus. II. Man ſucht die Winkel, welche auf den gegebenen folgen. Man bilde nach dem Geſetze der Gleichung 417 die folgende: (2 d2— 2 ad. c05. A ＋ 2bd. c0s.(A ＋ B) A2ah Cos. B ＋Æbꝛ, welche außer den gegebenen Stücken nur einen unbekannten Winkel B enthält, der auf A folgt. Um hieraus B zu entwickeln, muß cos.(& ＋ B) nach 198 aufgelöst und ſo dann die Gleichung nach den Funktionen von B geordnet werden. Es wird: c a2 4 bz 4 dz— 2 ad. cos. A— 2 ab. cos. B ＋ A2bd. cos. A. cos. B— 2bd. sin. A. sin. B oder: 2bd.&7n. A. Sin. B＋ 20(a- d. c06. A). coS. Baꝰ Æbe-c ＋ds ee Wird die ganze Gleichung durch 2 bd sin. X gemeſſen, ſo entſteht: 44.E neee du. sin. A 2 Dbd.. sen. A Dieſe Gleichung enthält zwei verſchiedene Funktionen des Winkels B, ſoll dieſer gefunden werden, ſo muß man die eine zu entfernen ſuchen. Nun iſt nach frühern Angaben sen. B Æν V(I— cos. B2) oder cos. B Æ V(1— sin. B2); indem man dieſe Werthe einführt, erhält man für sin. B oder cos. B eine Gleichung, die zum zweiten Grade anſteigt und ſehr zuſammengeſetzt iſt.

— 102— Ein anderer Weg führt durch eine Zwiſchenrechnung leichter zum Ziele. 1 Man fſetze: 45 debs.& d* lang. ꝙ und der Kürze wegen: 4² bee e ie, „E..... ſo wird aus der obigen Gleichung: sin. B ＋ cos. B. fang. ꝙ ◻ν u oder: sin. B. cos. ꝙ ＋ cos. B. sin. ꝙ ◻ν iο. cos. ꝙ. Hieraus erhält man durch 197: 494) sin.(B ＋ ꝙ) ο. cos. ꝙ. KA- Hat man aus a und 6 die Werthe von ꝙ und ijberechnet, 3 ſo erhält man aus der vorſtehenden Gleichung den Werth von B. 46 Auf gleiche Weiſe erhält man, wenn: d— a. cos. A 1-1¹ 3 und a?— b2 ＋. c? ＋ d?— 2 ad. 0. A Ta r geſetzt wird, aus der Gleichung: 5 495) sin.(D ＋ ꝙu1) ν¹- 0s. ꝙ1 I den Werth von D. Der hier angewandte Kunſtgriff, um die Rechnung zu ver— kürzen, hebt jedoch die Folgen nicht auf, die aus einer Gleichung 0 des zweiten Grades für die Werthe von B und D hervorgehen, man muß auch hier für beide Winkel zwei Werthe finden. Eine Betrachtung der Figur zeigt, daß p der Winkel ABD iſt, der 180o nicht erreichen kann, es iſt ſomit für ꝙ nur ein Werth möglich. Für B ＋ ꝙ erhält man dagegen eine ganze Reihe von Winkeln, von welchen jedoch nur die beiden erſten für W B mögliche Werthe geben. Daſſelbe gilt für D. Von den berechneten Winkeln gehören die kleineren Werthe

— 193— von B und D dem größeren von Cſan und umgekehrt. Findet man, daß für einen der beiden Winkel B oder D einer der Werthe negativ wird, ſo machen die drei übrigen Winkel zuſammen ſchon mehr als 3609ſ aus und in dieſem Falle kann ein zweites Viereck nicht ſtattfinden.(Vergl.§. 62 und Fig. 81.) §. 73. Berechnung des Vierecks aus drei Seiten und den beiden davon eingeſchloſſenen Winkeln. J. Berechnung der vierten Seite. Sind a, b, e und B, C die gegebenen Größen, ſo kann die vierte Seite d nach der Gleichung 417 berechnet werden. Eine kleine Veränderung kann man mit dieſer Gleichung vornehmen, wenn man nach 205 die Coſinuſſe durch andere Werthe erſetzt. Es wird: deSa2 2ab ＋ 4 ab. 6in. 2 B2 ＋2 ac- A4 ac. sin. J(B ＋ 0)2 ＋ bꝛ— 2be ＋ 4be. sin. 1 C2 Nun iſt aber: a?— 2ab ＋ 2ac 4 b?— 2be ＋((a— b ＋ o)2 daher: 496) de(a- b ＋ 0)? ＋ 4ab. sin. B2— 4ac. sin. Y(B＋0)2 ＋ 4be. sin. YC2 Dieſe Gleichung hat zwei Glieder weniger als die 417. II. Man ſucht die beiden andern Winkel. Nach der Gleichung 424 ſind die nachſtehenden Gleichungen gebildet, welche zeigen wie die Winkel A und D berechnet werden können. * bh. sin. B—(. sin.(B ＋ O) —bp. cCos. B ＋ C. cos.(B＋O) b. 67u. C— a. 5in.(B ＋ C) c— Db. cos. B ＋a. cos.(B＋) Zur Berechnung der Winkel kann man noch andere Gleichun— gen aufſſtellen; die folgende gibt den Unterſchied der unbekannten Winkel, aus welchen die einzelnen Winkel leicht gefunden werden können, da deren Summe durch B und C gegeben iſt. Arneth, Geometrie. 13 497) lang. A tang. D

— 194— (ad). sin. 1(B＋0) A b. sin. 1(3—0) 498) 4un9. A—D(aTc)-Cs.1＋G—b. cos. 1(5=0 Alle Gleichungen geben nur einen Werth für die unbekannten Größen. §. 74. Verechnung des vierecks aus drei Leiten und zwei Winkeln, von welchen der eine eingeſchloſſen iſt, der andere nicht, der letztere folgt jedach auf den erſten. I. Man ſucht die vierte Seite. Sind a, b, c und A, B gegeben, ſo findet man die vierte Seite nach 429, der zweite Theil dieſer Gleichung läßt ſich aber in zwei Faktoren zerlegen, wodurch ſie für die Berechnung an Brauchbarkeit viel gewinnt. Es iſt: 6 499) d a. cos. A— b.. cos.(A ＋ B) ＋V(CTJ a. sin. A— b. sin.(A＋ B)). (e— a. sin. A b. sin.(AA3)) II. Berechnung der Winkel. Den Winkel D gibt die Gleichung 428: a. sin. A— b. sin.(A ＋ B) Uh C Durch dieſen Winkel findet man jetzt auch den vierten C. Alle dieſe Gleichungen geben zwei Werthe für die Unbekann— ten, wie dieß die frühern Betrachtungen verlangen. §. 75. Verechnung des Vierecks aus drei Seiten und zwei Winkeln, wovon der eine eingeſchloſſen iſt, der andere dieſem gegen⸗ überſteht. I. Man ſucht die vierte Seite. Die gegebenen Stücke ſeyen a, b, e und A, C. Nach 432 iſt: d a. coS. ATVCb2 ＋ 2— 2bC. c0s. C— a? sin. A2)2 An die Stelle von: be ＋Ee2— 2 be. cos. C 1 kann nach§. 59 geſetzt werden: (b—)2 ＋ 4 be. sin. 1 C2 daher: 110 d a. cos. AV(OC- e)2— aꝛ sin. A2 ＋ 4 bœ. sin. 2C2)

oder: 500) d a. cos. AT V(ch— ＋ a. ein. A). cb D,eᷣ= a. 5in. A) ＋ 4beœ. 6in. ＋ C2) und dieſe Gleichung iſt für die Berechnung vortheilhafter als 432. II. Man ſucht die übrigen Winkel. Die Gleichung 431 by. 6in. C gn A gibt, wenn man: Lin. C — b. cos. C ſetzt: a. zin. A sin. D— cos. D. tang. ꝙ oder auch: n. oin. D. cos. ꝙ— cos. D. oin. ꝙ daher nach 199: 5 a. sin. A 5010 Sen. 9 C0s. ꝙ Die gefundenen Gleichungen geben, wie die frühern Betrach⸗ tungen verlangen, für jede Unbekannte zwei Werthe. §. 76. Berechnung des Vierecks aus drei Seiten und den beiden nicht eingeſchloſſenen Winkeln. J. Man ſucht die vierte Seite. Es ſeyen a, b, e und A, D die gegebenen Größen, ſo gibt die Gleichung 434 die vierte Seite, die nachſtehende Form der— ſelben erleichtert die Berechnung. 07 50½0% d ſebs. A e e TVCbTa. sin. A— C. sin. D)(ba. sin. Ae. sin. D) II. Man ſucht die übrigen Winkel. Aus der Gleichung 413 erhält man: A 8. sin. D 13*

— 196— Eben ſo iſt: „L 3..sin. C 5 a. 6in. A Aus welchen Gleichungen man die Winkel berechnen kann. Für die Unbekannten erhält man zwei Werthe. §. 77. Verechnung des Vierecks aus zwei auf einander fol⸗ gende Seiten und den Winkeln. Sind a und b die gegebenen Seiten, ſo findet man die bei⸗— den andern aus 437 und 438: a. 3in. A ＋ b. sin.(C ＋ D) 3—. 5 sin. D 3 b. sin. C ＋ a. 6in.(A ＋ DD) 2 gin. D §. 78. Berechnung des Vierecks aus zwei einander gegenüber⸗ liegenden Seiten und den Winkeln. Die Gleichungen 439 und 440 geben: b A in. A. ein. D , 4 Lin. B— e. gin. C sin.(A ＋ 8)

anacde⸗ Fünfter Abſchnitt. von den Fünkt- und vielecken und von dem Kreite. Siebenzehntes Kapitel. Von dem Zuſammenhange der Seiten und Winkel der Fünf⸗ und Vielecke. §. 79. Von den Winkeln der Fünf und vielecke. In den nachfolgenden Unterſuchungen iſt nur von einfachen Fünfſeiten oder Fünfecken, einfachen Vielſeiten oder Vielecken die Rede und zwar nur von ſolchen, bei deren Bildung keine Seite von der an— dern durchſchnitten wird. Ein ſolches einfache Fünfeck kann durch Diagonalen in drei Dreiecke zerlegt werden Fig. 96). Da nun die Winkel der Dreiecke zuſammengenommen die Winkel des Fünfecks ausmachen, ſo iſt die Summe derſelben: 504) A ＋ B ＋ CTDTES3. 2R 6R Eben ſo kann das Sechseck in 4 Dreiecke zerlegt werden, und die Summe der Winkel deſſelben wird ſeyn: A＋B＋ C＋DTETF=A. 2R8R Auf dieſe Weiſe erhält man für die Vielecke die nachſtehende Zuſammenſtellung:

— 198— Das beſteht aus und enthält 1 1 l⸗ * A 2. 2R ⸗ Seck 3 4 neck(n— 20(n- 2). 2 R L⸗ Bezeichnet man daher die aufeinanderfolgenden Winkel des neckes durch A1, A2, A;3,.. An/ ſo iſt: 62 5030 A A% A E. A.A( Werden alle Winkel einander gleich, ſo iſt jeder: 2(n— 2) 506) A R 19— Dieß gibt für: 13 5 332 Das gleichwinkelige Dreieck KA D 8 R 600 2. 2 5 5 Viereck A 7 R ÆE 900 1li⸗ 8 3. 2 f „ Fünfeck R 5 R 2 1080 432 5 Sechseck A Æ 5 R D2 1200 N „ Siebeneck KA R 1284⁰ ****„„* §. 80. Von dem Zuſammenhange der Seiten und Winkel des Fünfeckes im Allgemeinen. Sind BF, CG und DIH(Fig. 97) ſenkrecht zu AE; DN ſenkrecht zu CG und CNM ſenkrecht zu BP, ſo iſt: BF Æ BM Y＋ MF BM ＋ CGÆ BM ＋(N ＋ NG BM ＋ CN ＋＋ DlI Nun iſt aber: BFDa. sin. A, BMAb. sin. m, CNC. sin. n, DHd. ein. E daher: a. 6in. A=r b. sin. m. 1f sin. n ＋ d. Sin. E

— 199— 1 Ferner iſt: AE Æ◻ AF ＋ FG ＋ Gl1 ＋ HE = AF ＋ MC＋ ND ＋L HE Da nun: AE SZe, XFSa. cos. A, MCSb. cos. m, ND C. cos. n HE d. cos. E ſo wird: e Sa. cos. A ＋ b. cos. m＋ c. cos. n ＋ d. cos. E In dieſen beiden Gleichungen laſſen ſich die Winkel m, n und E durch andere erſetzen. Es iſt: m 180—(A ＋＋ B) — n 360—(A ＋ B ＋＋ C) nB 050 daher: sin. m sin.(A＋ B) coS. mS- C06.(A ＋E B) 6in. n sin.(A＋B ＋ C) cos. n= Æ＋ Cos.(AK＋HB＋＋ C) 6in. ES sin.(A＋B＋C＋D) cos. E=— eos.(ATBCDD) und wenn dieſe Werthe eingeführt werden: a. sin. ASb. 6in.(A ＋ B). sin.(A＋ B ＋ C) ＋ d. sin. A＋BTC＋D) e S aà. cos. A b. cos.(A ＋B) ＋ C. cos.(K＋B＋ C) — d. cos.(K＋BTCTD) oder allgemeiner: eein.& — b. 6in.(K ＋ B) ＋Cc. sin.(A＋ B ＋ 0) — d. sin.(A ＋ B ＋ C＋＋ D) „„ und 508) 0 a. cos. A — b. cos.(X ＋ B) ＋ C. co5.(A ＋ B ＋ — d. cos.(A ＋ B ＋ C＋PD) ＋e. cos.(A ＋ B ＋- ＋ Aus dieſen Grundgleichungen des Fünfeckes kann man auf

— 200— dieſelbe Weiſe, wie dieß in§. 49 und§. 64 geſchehen iſt, eine dritte ableiten, ſie iſt: 509) e?2= 22— 2 ab. cos. B ＋ 2ac. cos.(B3 ＋ 0) — 2ad. cs.(B ＋ C＋＋D) ＋ bꝛ— 2 be. cos. C ＋ 2 bd. cos.(C ＋ PD) ＋(2— 2 cd. cos. D ＋ 43 Aus dieſen Grundformeln laſſen ſich nun alle Wahrheiten und Rechnungen über das Fünfeck ziehen, wie dieß bei dem Dreiecke und Vierecke gezeigt worden iſt. Was aber zuerſt die Beſtimmung des Fünfeckes betrifft, ſo zeigen dieſe Gleichungen, daß wenigſtens ſieben Elemente des Fünf— ecks gegeben ſeyn müſſen, wenn ein achtes dargeſtellt oder beſtimmt werden ſoll. Die Elemente des Fünfecks zu ſieben zuſammengeſtellt, laſſen folgende Fälle zu: 5 Seiten und 2 Winkel, 4 7** 3* 3„„ 1od.5, Man muß aber hierin auch auf die Folge der Seiten und Winkel achten, wie dieß ſchon bei dem Dreiecke und Vierecke gezeigt worden iſt; hierdurch erhält man nun folgende Fälle. Man kann zuſammenſtellen(Fig. 98): 1) 5 Seiten und zwei Winkel, welche a) auf einander folgen und b) nicht aufeinander folgen. 2) 4 Seiten und 3 Winkel. Die letzten können A eingeſchloſſen ſeyn von den 4 Seiten, B) nur zwei ſind eingeſchloſſen und a) alle Winkel folgen auf einander, b) nur die eingeſchloſſenen Winkel bilden eine Folge, c) die eingeſchloſſenen Winkel liegen getrennt. C) Nur ein Winkel iſt eingeſchloſſen und a) alle Winkel folgen auf einander;

—A12 b) der eingeſchloſſene Winkel liegt von den andern ge— trennt. 3) 3 Seiten und 4 oder 5 Winkel; die Seiten a) bilden eine Folge; b) die Folge iſt unterbrochen. Im Ganzen erhält man alſo 10 Fälle, denen man eine be— ſondere Betrachtung widmen muß, und in welchen das Fünfeck Durthe vollkommen oder in der Art beſtimmt iſt, daß man den gegebenen Elementen noch eine allgemeine Bedingung beifügen muß, ohne welche immer zwei verſchiedene Fünfecke ſtattfinden können, welchen die gegebenen Elemente gemein ſind. §. 81. Grundgeſetze der Vieleche. Bezeichnet man die Seiten der Vielecke der Reihe nach mit ar, az, az,... an, die Winkel eben ſo mit Al, A2, As3,... An, ſo ſind die Grundgleichungen des Dreiecks: —ͤ — a.sin.(Al ＋ A2) ＋ ag. sin.(AIi ＋ A ＋ Az;) 8— a. chs.(Al ＋ A2) ＋ az. cos.(A1 ＋ Az ＋ Az) des Vierecks: „ ‚ — az. sin.(A1 ＋ A2) ＋ ag. sin.(AI ＋ A ＋ Az) — a.. sin.(AI ＋ Ar ＋ A ＋ A.) ceas.A — aa. cos.(Al ＋ Az) Tazs. cos.(Al ＋ A2 ＋ Az) — a..cos.(A1 ＋ Az ＋ A; ＋ A.) E es Fünfecks: 0 νσ a. Sin. A1 — az. sin.(A! ＋ az. sin.(A! ＋ ＋

.cos. a.. cos. a,. cos. Uſw. Setzt man der Kürze wegen: AI νA1I Al ＋ A ◻ν Aiſz Al ＋ Agz 5 A3 3 Alls ** ſo iſt der Analogie nach für das neck 510) 0 ai. 61n. A. — ag. sin. Al A1 ＋ azß. sin. 4(- i an f sin. Al lu 1 2 3 und 5I 0. 5 — a. cos. Allz ＋ aßg. cos. AIls ε aa oos. Alſn Das letzte Glied der erſten dieſer Gleichungen iſt für ſich gleich Null, ſo daß ſie nur 2(n— 1) Elemente des neckes ent⸗ hält und daher n— 3 Elemente erfordert werden, wenn das neck beſtimmt ſeyn ſoll. Die Seiten und Winkel laſſen ſich nun zu 2n—3 auf fol⸗ gende Art zuſammenſtellen. n Seiten und „ 1 n—2 5„ 7* n—3 Winkel n—2 5 n—i odern„

203— Wenn nun in dieſen Zuſammenſtellungen die Folge der Seiten und Winkel beachtet wird, ſo ergeben ſich aus jedem dieſer drei Fälle wieder mehrere untergeordnete, ſo zerfällt z. B. bei dem Sechsecke der erſte Fall in 3, der zweite in 9 und der dritte iſw. In den meiſten dieſer Fälle iſt das Vieleck durch die gegebe— nen Seiten und Winkel nicht vollkommen beſtimmt und es müſſen noch allgemeine Bedingungen über die Beſchaffenheit der nicht ge—⸗ gebenen Winkel oder anderer Theile der Vielecke die verſchiedenen Figuren ſcheiden. Die beiden Grundformeln enthalten jeden Zuſammenhang, jede Relation des Vielecks, und können, mit einander verbunden, ſehr verſchiedene Formen annehmen. Ueber den Zuſammenhang der Seiten und Winkel im Beſon—⸗ deren wird das nächſte Kapitel Einiges enthalten. §. 82. Vergleichung mehrerer Vielecke, die in beſtimmten Ve⸗ ziehungen zu einander ſtehen. Die früheren Betrachtungen über die Kongruenz der Dreiecke und Vierecke laſſen ſich auch auf die Fünf- und Vielecke anwen⸗ den. Auf gleiche Weiſe erhält man die Sätze: 512) Sind zwei Vielecke durch dieſelben Elemente, Seiten und Winkel, und dieſelben allgemeinen Bedingungen auf gleiche und einzige Weiſe beſtimmt, ſo ſind ſie kongruent und haben alle Elemente wechſelweiſe gleich. Eben ſo den folgenden; unter Beziehung auf den vorſtehen⸗ den Satz: 513) Sind aber in einem ſolchen Falle die gegebenen Seiten in beiden Vielecken nicht gleich, ſondern nur proportional, ſo ſind die Vielecke ähnlich. Die Verbindungslinien zweier nicht unmittelbar auf einander folgender Punkte der Vielecke nennt man Diagonalen. Das Viereck hat deren zwei; das Fünfeck 5; das Sechseck 9; das Siebeneck 14, u. ſ. w.; das neck endlich— S2 2. Man ſieht leicht ein, daß nicht alle Diagonalen gleichen Werth haben, oder ſich auf

gleiche Weiſe verhalten. Diagonalen gleicher Art ſind die, welche zwei Seiten umfaſſen, welche drei Seiten umfaſſen, u. ſ. w. Hier⸗ nach haben Vierecke und Fünfecke nur Diagonalen einer Art; Sechsecke und Siebenecke zwei verſchiedene Arten, Achtecke und Neunecke drei Arten derſelben u. ſ. w. Den früheren Wahrheiten entſprechend, findet man nun auch für die Vielecke. 514) In kongruenten Vielecken ſind die entſprechenden Diagona⸗ len gleicher Art einander gleich, und werden kongruente Vielecke auf gleiche Weiſe durch Diagonalen in andere Vielecke zerlegt, ſo ſind auch dieſe kongruent. Und auch: 515) In ähnlichen Vielecken ſind die entſprechenden Diagonalen gleicher Art proportional und werden ähnliche Vielecke auf gleiche Weiſe durch Diagonalen in andere Vieelecke zerlegt, ſo ſind auch dieſe ähnlich. Wählt man im Innern eines Vieleckes einen Punkt und ver⸗ bindet man dieſen mit den Eckpunkten, ſo wird daſſelbe in eben ſo viele Dreiecke zerlegt als das Vieleck Seiten hat. Die vorher— gehenden Sätze führen nun mit Leichtigkeit zu Folgendem: 516) Sind zwei Vielecke identiſch und werden ſie von zwei Punkten im Innern derſelben, welche bei beiden die gleiche Lage haben, auf die erwähnte Art in Dreiecke zerlegt, ſo ſind auch die homologen Dreiecke beider Vielecke identiſch; ſind aber die Vielecke bloß ähnlich, ſo ſind auch die Dreiecke ähnlich. Die Theilungslinien, welche hier von einem Punkte aus nach den Eckpunkten gehen, kann man Strahlen oder Radien nennen. §. 83. Allgemeine Vemerkungen über die Verechnung der Vielecke. Der Zuſammenhang der Winkel des neckes iſt von der Art, daß durch n— 1 Winkel der nte beſtimmt iſt; fügt man hierzu die n Seiten, ſo ſind durch n— 1 Elemente des neckes alle Ele⸗ mente gegeben. Nun werden aber In— 3 Elemente erfordert,

wenn das neck beſtimmt ſeyn ſoll, Nechnung unterliegen können. Die Grundformeln des meckes welchen die er ſte An— 2, die zweit ſo daß nur 2 Elemente der ſind zwei Gleichungen, von e 2n—1 Element deſſelben enthält; ſind nun in einem beſtimmten Falle An— 3 Elemente gegeben, ſo müſſen die beiden Gleichungen in der Art verbunden werden, daß die eine Unbekannte entfernt wird und man alsdann Rug die andere auffinden kann. Es ſeyen z. B.(Fig. 99) bei dem Fünfecke gegeben a, a, ag, a, und Al, As, A5, ſo ſind die Unbekannten a, und A 37 4 3 5 5 2 oder A4; ſoll nun a, gefunden werden, ſo muß man aus beiden Gleichungen A und Al wegzuſchaffen ſuchen. 0 2 4 3 1823 Man beachte nun, daß, 111, 112, gin.(540— Af) ＋ sin. Az sin. AI.4 cos. A14 sin. AIIs cos. AI1U5 127, 128: ＋ cCps.(540— A;)= cCos. A;, 340 0 (20. 540-1 und die Grundgleichungen des Fünfeckes hierdurch werden: de ue 0 Sal. sin. Al— a2. sin. Alſz Tag. sin. AIls a4. 6in. A, 0 Sai. co0s. Al— ag. cos. AIJ2 Tas · cos. AIIs Tal. cos. A, Dieſe Gleichungen enthalten den Winkel A, nicht mehr. Um nun auch noch A2 wegzuſchaffen, bringe man alle Glieder, welche dieſen Winkel nicht enthalten, auf die andere Seite, ſo wird: Erhebt man jetzt dieſe Gleichungen zur zweiten Potenz und *n a.. sin. A,— a1. ſin. Ai as. ein. Alſs— ag. oin. Alſa a,— al. cos.A,— a1. coõs.AI Sag. cos.AIIs— à2 · CoS.AI2 zählt ſie zuſammen, ſo erhält man auf bekannte Weiſe: (as— al. cos. A,— a1. CoS.A1)2 ＋(ag. sin. Aß;-a1. Sin. A10? Sasß 23 2 a2. COS. Aà Taz daher durch Uebertragung und Ausziehung der Wurzel: 517) a, a.. cos. A;5 T＋ai. cos. Al — M(as?— 2 ag. ag. cos. A, ＋ az? (a.. sin. A,— ai. sin. A1)2)

Den Winkel A erhält man weniger leicht aus der erſten 13935 veränderten Grundgleichung. Es iſt: ö a.. sin. A5— ai. sin. A1 as. sin.(AI ＋ A2 ＋ Az) — az. sin.(A1 ＋ A2) oder wenn Az getrennt wird: a,. sin. A,— al. sin. A1 a. 6in.(AI ＋ Ag). c0s. A2 ＋as. cos.(AI＋TA3). sin. A2 — ag. sin. AI. Cos. Aà— ag. cos. Ai · Sin. A2 (as. sin.(AI TA3;)— ag. sin. AI). coS. A2 ＋(as. c0s.(AI TA5)— ag. c08. AI). sin. As Dieſes iſt eine von denjenigen Gleichungen, die zum zweiten Grade führen, was aber durch einen Kunſtgriff vermieden werden kann. Man gebe der Gleichung die Form: ag. sin.(AI ＋ Ag)— a. sin. AI ag. cos.(A1 ＋ Az;)— a. cos. Al a. ein. A,— ai. zin. A Aag. C058.(XI TA;)— a. 008. Al und ſetze: sin. A2 ＋.C0o. A2 ag. sin.(Al ＋ Azg)— ag. sin. A1 ag cos.(XI ＋ K55— a. C06. KI und der Kürze wegen: „ S lang. ꝙ 5— ai. 37n. A1 ag. C0s.(AI1 ＋ Az;)— a. Cos. Al ſo geht ſie über in: sin. Aà lang. ꝙ. cos. A S§eN. 8* Wird nun kang. 75 geſetzt und mit cos. ꝙ multiplizirt, ſo erhält man auf die bekannte Weiſe hieraus: 8 518) sin.(A ＋ ꝙ ◻ ο. cos. ꝙ. Bei dieſen Berechnungen kann man oft mit Vortheil frühere Unterſuchungen benützen. Theilt man durch die Diagonale A A, das Fünfeck in das Dreieck A AzgA und in das Viereck AA1As AA, ſo iſt: Az Al2= a? ＋. ag3?— 2322.ag C006. A3;

und A2Al? ο- 2a1. aß. cos. A1 ＋2al. a4. cos.(AI A,) 11 ＋ aß?— 2 a.. aßs. cos. A; ＋ a,? daher durch Gleichſetzung und Trennung von aß: as?2— 2aß(ai. C06. Al ＋ a, cos. A5) 4 ＋ 2al. a.. C0s.(AI ＋ A,) ＋ ai2 ＋ a2 = az? ＋ az?— 222 ag. cos. Ag und durch Uebertragung und Ergänzung des Quadrats: 2 àaf(ai cCos. A a4, cos. 45) ＋(a.. cos. AI1 T a.. cos. A,)2 ë·ai2 Taz2 ＋ a32 — a,?— 2 al. a. Cos.(A1 ＋ A5,)— 2 ag. ag. Co0s. A3 ＋ al2. cos. AI 2 Pa. 2. CoS. Aj, 2 ＋2a1. a. CoS.A1. COS. Aß Nach gehörigen Reduktionen erhält man hieraus: 01.1(a„—(al. cos. AI＋a,. C06. A5) 2π 2ag. ag. C0S. Aà Tag? —(a. sin. A,— ai. 6in. A1)2 ſomit wieder wie früher: aß, S. C06.A, Tan. CoS. Ai KVM(az?— 2a. ag. C0S. A3 Taz? —(a.. sin. A,— ai. 61n. A1)2) *9 Die erhaltenen Gleichungen zeigen, daß zwei Fünfecke möglich ſind, denen die gegebenen Elemente wechſelweiſe angehören können und die doch unter ſich verſchieden ſind. Die beiden Fünfecke un— terſcheiden ſich dadurch, daß in dem erſten(Fig. 100, 1) die Dia— gonale Aà A, mit az einen ſpitzen und in dem andern Cig. 100, 2) einen ſtumpfen Winkel bildet. Um die Methode der Berechnung an einem zweiten Beiſpiele zu zeigen, ſey ai, az, aß, a,, aß, und Al, X. gegeben. Die Grundformeln geben: a,— ai. cos. Ai=— azg. 606.(Al ＋ A2) as cos.( A. 45) — à.ehs.(Ai ＋ A, ＋ As ＋ A,) en A ai ein.(Ai A.) ＋ ag. Sin.(A1 ＋ A ＋T As) ein. A1 1 A. ＋ A ＋ A.)

— 208— Erhebt man dieſe zum Quadrate und zählt ſie zuſammen, ſo erhält man auf die bekannte Art: 1 (as— ai. cos. Al)“ ＋ al!. gin. A1 a22— 2 a. ag. cos. A3 T 2 a2. 44. C0s.(A3 ＋ A,) AZa, à, eos. A. ＋ af? Hieraus kann der Winkel A; aufgefunden werden. Es iſt: 2 aa, cos.(A, ＋ A)— 2 à2 2(E06. As 111 4 8 =(ah— ai. cos. A1)2 ＋ ai?. ein. Al1“ — az2— az?— a? ＋ 2ag. a. C06. A. Löst man den Coſinus des zuſammengeſetzten Winkels auf N und ſetzt der Kürze wegen den Ausdruck zur Nechten P, ſo entſteht: 242. a. Ccos. As,. co8. A.— 2a2. al. sin. As · ſin. A. e A, P oder: 2 a(al. cos. A.— aß). cos. A3— 2a2. a..sin. Al. sin. A Æ Die ganze Gleichung durch die Vorzahl von cos. As ge⸗ meſſen gibt: a. sin. A E 4 4—— 5 1 =. A Eü N a. C0S. Al— az 2 aꝛ(a. CoS. Al— aß) 1 Hieraus findet man nun: Ececbbs. 510) cos. A. K=Zar(Ar-6o a..en. KA. u. cos. A.— aß Will man den Winkel A finden, ſo kann man auf ähnliche Art verfahren, oder auch frühere Sätze benützen. Wird das Fünfeck Fig. 101) durch A; A, in ein Viereck und in ein Dreieck zer— legt, ſo kann die Diagonale A; As einmal als Seite des Vierecks, 0 2 dann als Seite des Dreiecks angeſehen werden, und man erhält durch Gleichſetzung, mit Hülfe von 417 und 341: aß?— 2 ag. ai. cog. Al ＋ 2. aßh. az. cos.(AI ＋ A2) ＋ al2?— 2a1. az. 008. A: ＋ az2 ö a,?— 2 a a.. cos. A. ＋ al.? lang. ꝙ geſetzt wird. wenn

oder: 2aßs. az. cos.(AI ＋ A2)— 2 an. az. cCos. A: ua3— — 2ag.a, cos. A,. ＋ a,?— —(ai? ＋ az? ＋ az2— 2 a1. aß. C06. Al) Löst man cos.(A1 ＋ A2) auf und ordnet man nach Sinus und Coſinus, ſo wird, wenn zugleich der Kürze wegen der Aus— druck zur Rechten S G geſetzt wird: 2a(a5. cos. AI— a1). co6. A2— 2 a2. aß. Sin. Ai · 6in. A2 ꝗ oder: din. X. 8 e06. A.——.———. gin. A2rY 2ag Cos. A1— 41 2.— Zan(àaꝶ C008. KA1—41) 5 und hieraus erhaͤlt man, wenn ftfang. ꝙ1 a5. Cos. Ai— a1 geſetzt wird: 8 QA. cos. ꝙ 520) cos.(A2 ＋ ꝙ¹ ρ— Auch dieſe Gleichungen weiſen auf zwei verſchiedene Fünfecke hin, welche die gegebenen Elemente wechſelweiſe gleich haben. Im erſten. Fig. 102, 1) iſt As T 180, im zweiten(Fig. 102, 2) aber 180. Sind im Fünfecke drei Seiten ar, as, a und die Winkel gegeben, ſo iſt nach dem erſten Grundgeſetze: 0ai. sin. Ai— a. sin.(Ai TA2) Taß · sin. AITAz ＋TAz;) — a.. sin. AI ＋ A ＋ As ＋ A00 und oas 6in. A3— af. sin.(As ＋ A.) Tag. zin.(As ＋A. TAs) — ai. 6in. A, ＋ A, ＋ As A10 Hieraus ergibt ſich: 3 ai. 6in. A1 T＋az in. AIIs— al. Sin. A1IA in. AIJ2 und n. ½% l a. sin. A5/1 T ag. sin. AfI4 3 3 Sn. Az5 Dieſe Gleichungen zeigen, daß nur ein Fünfeck ſtattfinden kann. 14 Arneth, Geometrie.

Achtzehntes Kapitel. Von den Vielecken, die ſich durch beſondere Eigen— ſchaften auszeichnen. §. 84. Vieleche, in denen eine Anzahl aufeinander folgender Seiten und Winkel gleich ſind. Es ſey(Fig 103) Al, A.... As ein Theil eines Vieleckes, in welchem alle Seiten gleich ſind, ſo wie auch alle Winkel mit Ausſchluß des erſten und letzten A1 und As⸗ Man bezeichne die gleichen Winkel durch A die Seiten mit s1, die auf einander folgenden Diagonalen mit 82, 83.. Mit Leichtigkeit erkennt man an einer ſolchen Figur folgende Eigenſchaften. 3 523) Werden die gleichen Winkel halbirt, ſo kommen die Halbi— rungslinien in einem Punkte C zuſammen, ſie werden zu Strahlen die ſämmtlich gleich ſind, und der Punkt C iſt der Mittelpunkt der Figur. Die Dreiecke, deren Spitzen in C liegen und deren Grundlinien die gleichen Seiten ſind, ſind kongruent, daher die Winkel am Mittelpunkte den gleichen Seiten oder einer gleichen Summe derſelben ent⸗ ſprechend, einander gleich ſind. Die Diagonalen ſchneiden von dem Vielecke andere ab, welche dieſelben Eigenſchaften haben, ſo ſind z B. die an den Diagona⸗ len anliegenden, in der Figur bezeichneten Winkel eines jeden Vielecks gleich. Hierdurch findet man für dieſe Winkel: — 4R— 2A Ar AI A U 2RA ◻. Az Al A3 EEEEET Iſten die Anzahl der gleichen Seiten, C der Winkel am Mittelpunkte der Summe aller Seiten entſprechend, ſo iſt der * Winkel, welcher einer Seite angehört—. N

211— Dieſer Winkel iſt auch 2 R— A. Mithin: C Al1CA= 2 R— A 2 AAIA, 5 Man findet ſomit ferner: 524) Die Winkel an einem Scheitel des Vielecks, welche gleichen Seiten entſprechen oder einer gleichen Summe von Seiten angehören, ſind gleich, und gleich der Hälfte des Winkels, welcher am Mittelpunkte derſelben Summe von Seiten entſpricht. So iſt z. B. der Winkel am Scheitel Ar, welcher AA4A5Af entſpricht, A3 A1A6 ν 3 A AI1Ag3. Der Winkel am Mittel⸗ punkte der gleichen Summe von Seiten angehörend, iſt A3CA5ß 3. A1 CA2 ν 3 2 R— A) 3 Q AzAlAß), der erſte ie Hälfte des letzten. 2 55 D Der Zuſammenhang zwiſchen Seiten, Diagonalen, Strahlen und Winkel ergibt ſich auf eine einfache Weiſe. Es iſt nach 354 im gleichſchenkeligen Dreiecke K1CA2, wenn A1 C Dr. C Si= ⏑ ſgain.]— 8 2 1 Dieſe Vorſchrift gilt auch für A1 CA;, AI CAI..., ſo daß: — 5 C dꝛrrun 20 8= 2reuin 33 1 330 nein 111 Nun gibt die erſte dieſer Gleichungen: 8 81 1 87. 2 n 2 1 81 ο ρ- V 6— Gin.. 8 61— 2 n N 2.10 V 4 12 daher: C Ar?2— 512 R 2*

— 212— Der zweiten Gleichung kann man nach 201 die Form geben: S. 2r. 2 sin. 55 ecos. 5 in. 2 n 2 n 2. n C n Verbindet man die erſte und dritte Gleichung durch Zuzählen, ſo erhält man: 3.0 310 Ss1 ＋ 83 ◻ 2r(iin. 7n ＋ sin. 1370 oder mit Hülfe von 219: 3.0 3.C 1.0 61 46. 2. f. 2. fin. P.(I n—). cos. 163 5 2en 26 C ain...»e((ae. A2 608. 81 ³ C C905. 82 Dieſelbe Verbindung der zweiten und vierten Gleichung führt zu: 8 hung S2 ＋ 8. ν 2.(05. 83 u. ſ. w. Es iſt folglich: 527) 81 81 * 8.= 2esos. C 6% ehns. 1 2— 1 C 84 2 C08. 5 3— 82 C — 84— 84—1 84 ＋E1 ν 2. co08. 43 nach 526 er⸗ In dieſen Gleichungen kann man auch cos. 5 ſetzen. Werden die früheren Werthe von s in die ſpäteren Gleichun⸗ gen eingeführt, ſo erhält man folgende Reihe von Gleichungen, welche zeigen, wie alle Diagonalen aus den beiden erſten gefun— den werden können.

8. In dieſen Gleichungen kann auch=τ 2. cos.— 81 2n V(4 1*— 8120 5 Bildungen iſt: 529 1 81.( (d— 101ʃ—1 5 85 6 5 ＋ Und hieraus erhält man die obigen Gleichungen, wenn man ſetzi. geſetzt werden. Das allgemeine Geſetz dieſer Der Bruch iſt nach dem Obigen eine Irrational-Größe; 1 alle jene Diagonalen, welche nur gerade Potenzen dieſes Bruches enthalten, werden daher rational dargeſtellt werden können, die andern nicht. 8 Setzt man nun der Kürze wegen S= s, ſo ſind die irra⸗ tionalen Diagonalen:

81 83 81 531) „ 81 2 03 (4 * und die rationalen ſind: ＋ 23— ν 98 2 — 8 82) V(4— 62) 4 82. 4. 840) V(4— 682) 10 8s2 ＋ 6 84— 86) VY(4— 82) 819.—(65— 20 82 ＋ 21.8— 8 86 80 V4—850 *„ 8² 5 82 ＋ 84 U 14 82 ＋ 7 84— 8e 30 82 ＋ 27 84— 9 86 ＋ 88 ** 0„ 0*** Das Allgemeine dieſer Bildungen kann dargeſtellt werden durch: 8 66 1 538˙ 4¹ 5 0 532) 1101 8 1 4 13 1 0 2 5— 1 *5 66 8⁴ 8 287 3 4 3 6 17 1 ·4— 82) und durch: 533) 24 80

2d ＋ 6 8 17¹¹ 20 ＋ 1(d— 2061 5 1 Aus beiden Gleichungen werden die vorhergehenden wieder abgeleitet, wenn J=ν 1, 2,3 geſetzt wird. Die Größen 81, S2, S3... ſind noch anderen Geſetzen un— 1 2 3 terworfen. Nach 525 iſt: 6 er sn C S4—1 2 T. 8in.(d— 1). 5 daher: 1* 84 E1 84 1 Ar? ein.(g9 ＋ 1) 5 n IIn. 3 5 Verbindet man 219 mit 220 durch Multiplikation und ver— einiget man die Produkte nach 201, ſo entſteht: zin.(a ＋ b). sin.(àa— b) gsin. a? sin. b? C* ſetzt man nun a q. und b= 1., ſo geht hierdurch 2 n 2 n die vorſtehende Gleichung über in: 3 C Jꝛ2„„ 54 Ti. 84 1◻4T2.(6in. d·(ein. mithin: Dieſe Gleichung enthält den Zuſammenhang, welcher, zwiſchen drei aufeinanderfolgender Diagonalen und der Seite, ſtatt findet; ſie kann eben ſo benützt werden wie das Geſetz 527 oder 528. Die bisherigen Unterſuchungen hatten den Zweck, die Diago— nalen durch die Seite darzuſtellen und dieſe Aufgabe iſt vollkommen gelöſet worden. Die umgekehrte Aufgabe aus einer Diagonale die vorhergehenden und zuletzt die Seite darzuſtellen iſt mit größeren Schwierigkeiten verbunden und hängt immer von der Auflöſung einer Gleichung von höherem Grade ab.

— 216 Für die Darſtellung der Seite durch die erſte Diagonale er— hält man aus 527: C XV(Axr2— 612) S8 ˖ ·————————————— 82 cos. In 581 5 1 oder: irr; daher: 811IE:51(2 1)˙ i 8 ener ε 212 2 7 822 ‚‚(4— 21 83.2 — 12„„„ 38 2. 15 00 alſo: 832 535) S. TVY(2-VG— 9 Umſchreibt man Fig. 104) dem vorigen necke ein neues, ſo daß die Mitten der neuen Seiten die Ecken des erſten berühren und die Ecken des neuen Vielecks den Mittelpunkten des vorigen entſprechen, ſo werden Seiten und Winkel der neuen Figur gleich ſeyn, und ein beſtimmter Zuſammenhang wird ſtattfinden zwiſchen den Elementen des einen und des anderen meckes. Es ſeyen 8, und( Seite und Strahl des umſchriebenen neckes. Der Winkel am Mittelpunkte, welcher 8. entſpricht, wird 1 ſeyn. Es iſt nun: 6 f SL⁷. 2 n 81 lang.—21.⏑?＋— 2n 0 93 daher mit Zuziehung von 526: 2 536) 81 ——

Ferner iſt: r S cos. und mithin: 22 Rr Dieſe Gleichungen zeigen nun, wie die Elemente der neuen Figur aus denen der primitiven gefunden werden können. Da nun zwiſchen 8: und ç derſelbe Zuſammenhang ſtattfindet, wie zwiſchen 8: und r, ſo kann man jetzt leicht, mit Hülfe der frühe— ren Gleichungen 8S2., 83,... die Diagonalen des neuen neckes durch s: und r darſtellen. Betrachtet man aber das äußere neck als das erſte, und das frühere als dasjenige, welches dieſem eingeſchrieben iſt, ſo ſtellt ſich die umgekehrte Aufgabe, wie können s1 und er durch 81 und 0 ausgedrückt werden. Die Verbindungs⸗-Gleichung beider Figuren iſt: 81 35 0 81 n. 20 oder auch: Xd2— 812) C r2— 612) FWE= S 2 0 2 n 2 T Hieraus erhält man: 2 2 4 X(4ar?— 512) 6 5 XN 02— 812) und wenn dieſer Werth in 536 eingeführt wird: 81— 81—— 2 0681 Vrs 8150 xN4402— 812) 0 folglich: aee 2 0 Eben ſo durch 537: aeꝛ 8150

218 Auch folgende Gleichungen können zuweilen mit Vortheil benützt werden: 8 0 81n. 540) 81 V(2 0 und 8 541) 81—— welche man leicht aus dem Vorhergehenden findet. 13 §. 85. Von den ardentlichen Vielecken. Sind in einem Vielecke alle Seiten und alle Winkel gleich, ſo nennt man daſſelbe ein ordentliches Vieleck. Für ſolche Vielecke gelten alle im vorigen Paragraphen gefundenen Wahrheiten „ und Gleichungen, nur wird C σ 4 R alſo 5 1 Die Vielecke des vorhergehenden Paragraphen gehen in ordent— liche Vielecke über, wenn man die letzte Diagonale S 0 ſetzt, es ſchließt ſich dadurch der letzte Punkt dem erſten an, und man er— hält ein Vieleck, in welchem nunmehr alle Seiten und Winkel gleich ſind. Iſt nun 824 die letzte Diagonale= 0, ſo iſt der Zuſam⸗ menhang zwiſchen Seite und Strahl des ordentlichen Vieleckes von einer geraden Anzahl(29) Seiten nach 532: 5420 0 1 A 82 „„ 60 GDGTDAADUE 45 12 f3 jjj 8 Eben ſo iſt für das ordentliche Vieleck von einer ungeraden Anzahl(24 ＋ 1) Seiten, nach 533: 2 1 543) 0 4— 80⁰ 35 20 ＋ 1 g ν ν 82 U 3 173 20 ＋ 1(ꝗg-1). g.(d ＋ 0(＋ 2. 5 1„3»„633

Setzt man nun J= 2, 3, 4, ordentliche Viereck, aus 542: 2 2 2 ä == SνNHYαe= s½ für das ordentliche Sechseck: —.—— 3 44.3. 5. 4.3. 2 2 K 31 R S=(3— 4 82 ＋ s4) V(4— 82) .ſo erhält man für das für das ordentliche Achteck: 68 81 2 —6—432 1 78 α= α ＋ 10 W fuͤr das ordentliche 8 4% 3 1 3—— 82 6 ä 4 —ĩD——-—-—-——-— 3 5 yVvα̊ 8 (65— 20 82— 8 86 ＋ s8) V(4- 82) U. ib Wird aber ◻ 1, 2, 3,.. geſetzt, ſo wird aus 543: für das ordentliche Dreieck: rrr 0* 38— 5 1.14.5＋5

Für das ordentliche Siebeneck: 4 7 3.4 7„ 83 ⏑⏑ O Æ⏑νe= 82 44..＋8 1 8 122 ＋3 1234 7%˙ A„ —— 8 ˙ „„„iis Für das ordentliche Neuneck: 9 9 4. 5*VV 88— 8⁴4 „„UC... 9 9 3 8 10 i 35 F L u. ſ. w. Hat man aus dieſen Gleichungen den Werth von s gefunden, ſo erhält man, da 8 die Seite 1 Sr. s, und hieraus den Umfang des ordentlichen Vieleckes, wenn man dieſen Werth mit der Anzahl der Seiten vervielfacht. Das ordentliche Dreieck. Für dieſe Figur iſt(Fig. 105) „Fͤ P Das doppelte Zeichen bezieht ſich auf die Richtung der Bildung der Figur nach der einen oder nach der andern Seite. Man hat mithin: 544) Seite des ordentl. Dreieckes rV3 ν 1,7320508.r Umfang des ordentl. Dreieckes 37 V3 5,1961524... 1 Das ordentliche Viereck. Für das Quadrat iſt(Fig. 106): 0 S((2— s2) Y 4ËBñPkP68?) alſo: 0 ◻ 2— s2 und 0 2 4— 82 dieß gibt: S= V 2unund 8= 2

folglich: =2 und s„ Ar Von dieſen Werthen gehört bloß der erſte der Seite des Vierecks an, der zweite gibt die Diagonale 82, welche alſo gleich— zeitig mit der Seite gefunden wird. Es iſt daher: 545) Seite des ord. Vierecks Y V2 ◻ 1,41421356 T1 Umfang A. TV2 S5,65685424. 1 Diagonale„ 5„ Das ordentliche Fünfeck. Nan hat für dieſe Figur(Fig. 107, 1 u. 2). 2*—— Wird dieſe Gleichung aufgelöſet, ſo findet man: VY(IOT2YVYY) daher: 51 IT. V(IO 4 20 50 Das untere Zeichen gibt die Seite des Fünfeckes, das obere die Diagonale. Läßt man auch ſolche Vielecke zu, deren Seiten ſich durchſchneiden, und die in§. 62 von der Unterſuchung aus— geſchloſſen wurden, ſo gibt das untere Zeichen das eigentliche Fünfeck, das obere aber die Seite des fünfeckigen Sternes. Im erſten Falle wird von den fünf Punkten der erſte mit dem zweiten, der zweite mit dem dritten u. ſ. w. verbunden. Im andern Falle iſt die Verbindung 1 mit 3, 3 mit 5, 5 mit 2, 2 mit 4, 4 mit 1. Es iſt ſomit: 546) Seite des ordentl. Fünfeckes rV(10— 2V 5) „175575504. 7 Umfang„„877877520 Seite des ord. Heckigen Sternes 8. ST M(10 72* 5) 1,902113032. U E— Das ordentliche Sechseck. Für die Seite des Sechsecks iſt gefunden, daß(Fig. 108): 0 ◻ν(3— 482 ＋ s4)0 V(4— 82) —((‚1— 82)(3— s2)/(4— 82)

Hieraus erhält man: „I‚‚ · ¶QN alſo: s1i r, 52 ArTV3 und 83= 2 r Man findet alſo die Seite des Sechseckes nebſt den beiden Diagonalen deſſelben. Es iſt: 547) Seite des ordentlichen Sechseckes Sr Umfang„ 3 5 66 Das ordentliche Siebeneck. Die Seite des ordentlichen Siebeneckes iſt gegeben durch die Gleichung: 548) 0 7— 14 82 ＋ 784— 86 ſie iſt vom ſechsten Grade, läßt ſich aber auflöſen wie eine Gleichung vom dritten Grade, doch nicht durch die Cardaniſche Formel, ſondern nur auf dem Wege des Verſuches. Man erhält drei poſitive Wurzeln(Fig. 109, 1, 2, 3), die erſte gibt die Seite des Siebenecks, die zweite die Diagonale s2 oder den ſieben⸗ eckigen Stern erſter Art, die dritte die Diagonale sz oder den ſiebeneckigen Stern zweiter Art. Das ordentliche Achteck. Für das ordentliche Achteck iſt(Fig. 110, 1 und 2): 0(4 10 82 ＋ 6 s4— s6). yV 4— 82) ‚=gS82)(2 4 8˙ ＋ Dieſe Gleichung hat die Wurzeln: 2 welche ihrer Größe nach die Seite, die erſte, die zweite und die dritte Diagonale des Achtecks darſtellen. Es iſt: S1i SrVGQCLV2), s ArV2, ss ArVG ＋VY, S. SS2T＋ Aus s1 wird das Achteck, aus 82 das Viereck, aus 8z der achteckige Stern gebildet. Man hat daher: 549) Seite des ordentlichen Achtecks r V= V ＋(0,76536686..1 1U

— 223 Umfang des ordentlichen Achtecks S 6,1229348 1 Seite des achteckigen Sternes r VQVYTYVY2) 1,8477588...v Das ordentliche Neuneck. Im Neunecke hat man(Fig. 111, 1% 2 ¹ο 550) 0 ◻ 9·— 30 82 ＋ 27 84— 9 86 ＋ 58 683˙= 8οο3— 99σ ＋ 68— 66) Dieſe Gleichung gibt vier poſitive Wu rzeln, welche ihrer Größe nach der Seite des Neunecks, des neuneckigen Sternes erſter Art, des Dreieckes und des neuneckigen Sternes zweiter Art angehören. Das ordentliche Zehneck. Für das Zehneck iſt(Fig. 112, 1 und W 0 τρ g6- 20 82 ＋T 21. 84— 886 8S8)0 V(4— 82 6- 582 ＋ 84)(1— 3 82 J S9 Vd— 82) Die poſitiven Wurzeln dieſer Gleichung ſind: 2 S S◻ 2 V(10— 2 MV/ 5) ◻ ᷓ VYdO ＋ 2V 5) = VYGQEL2VYYSICEITVO) S A VGVYTZVYS)YÆT dGTVYVY5) Man erhält hieraus: —5 551) Seite des Zehneckes S ＋ T(—- I＋V5) 12 0,6180339887.r Umfang„ 7 6,180339887. r Seite des zehneckigen Sterns 4 r(I＋E V 5) Æ＋ 1,6180339887...v7 Die andern Wurzeln gehören den übrigen Diagonalen des Zehneckes oder dem Fünfecke an. Auf gleiche Weiſe kann man weiter gehen und noch andere Vielecke berechnen. Es hängt hierbei alles von der Auflöſung von Gleichungen höherer Grade ab, die oft durch ein künſtliches Verfahren reduzirt werden können. Die Gleichung 535 leiſtet bei der Berechnung der Vielecke 1U0

— 224 beſonders gute Dienſte. Bedeutet z. B. sz die Seite des ordent⸗ lichen Sechseckes, ſo iſt 8. die des Zwölfeckes; nun iſt 82 r nach „* 8 (547) daher 2 1 2 1, und 1 552) Seite des ordentlichen Zwölfecks Sr. VQCLVY4=I) rVGQE-VSYITVYIEV 0 0,51763809. vr Umfang deſſelben S 6,21165708...1 Eben ſo erhält man: 553) Seite des ordentl. 24 eckes rV Q=VY2 ＋ Y/ 3)) 554) Seite des ordentl. 20 eckes r VY2—IV(IO＋ 2vV5)) Dieſe Unterſuchungen können zur Berechnung der goniometri⸗ ſchen Funktionen benützt werden. Nach 525 iſt, wennes die Seite des ordentlichen neckes: 80 8 2* Iſt nun die Figur geſchloſſen, alſo CG= 4 R, ſo iſt: 32 8 Nun ſey n S3, alſo s die Seite des ordentlichen Dreiecks, ſo iſt: r V 3 8 sin. 60˙‚ g YP V3 0,8S6602540 Iſt n S 4, ſo iſt s die Seite des ordentlichen Vierecks, daher: 3 2 ſin. 450—— 2* V22 0,70710678. Itnſo iſt Ir VdO=2V5) 8＋＋2 (10— 2WV5) S C0,58778525 U. ſ. 6 507 6

Neunzehntes Kapitel. Von dem Kreiſe. §. 86. Von den allgemeinen Eigenſchaften des Kreiſes. Je größer die Anzahl der Seiten der ordentlichen Vielecke wird, deſto kleiner werden, bei demſelben Strahle, die Seiten, deſto mehr nähert ſich die gebrochene Linie des Umfanges einer Curve. Nimmt man die Anzahl der Seiten unendlich groß an, ſo werden die Seiten ſelbſt unendlich klein, der Umfang erhält eine ſtetige Krümmung, das Vieleck geht in einer Curve in den Kreis über. Jn der Reihe der ordentlichen Figuren bildet alſo der Kreis gleichſam das letzte, das Grenzglied, und es kommen demſelben alle Eigenſchaften zu, welche die ordentlichen Vielecke beſitzen. Mithin: 555) Der Kreis hat einen Mittelpunkt, d. i. einen Punkt, der gleichweit entfernt iſt von allen Punkten des Umfanges. 556) Alle Kreiſe ſind ähnlich und verhalten ſich wie ihre Strah⸗ len und Kreiſe von gleichen Strahlen ſind identiſch. 557) Gleichen Winkeln am Mittelpunkte entſprechen gleiche Theile des Umfanges, d. i. gleiche Bogen, und umgekehrt, gleichen Bogen entſprechen gleiche Winkel am Mittelpunkte. Bei der Berechnung des Umfanges der ordentlichen Vielecke erhält man: Für das Zeck 5,19615...r „ 4eck 5,65685vr szSeck 5,8778„ b6eck 6 eer Seck 6,1228„ „niszeck 6/21165 r u. f. 0 Dieſe Zahl wird alſo immer größer, für das letzte Vieleck, den Kreis, muß ſie einen Grenzwerth erreichen; dieſer iſt 6,2831853. ＋2 3, 1415926.. 2 2 und der Umfang des Kreiſes iſt: Arneth, Geometrie 15

— 226— 558) U 6,2831853..1 2. 3,1415926..r —r Man kann auf dieſe Art aber auch jeden Theil des Umfanges, jeden Bogen, berechnen. Es entſpricht nämlich dem mten Theile von U auch der nte Theil von 6,28... Wird nun ein beſtimmter Theil von gehörige Bogen mit B bezeichnet(Fig. 113), ſo iſt: 559) B ꝙP rT Es ſey C ein Winkel am Mittelpunkte, welcher einem ſtimmten Bogen B angehört, ſo iſt nach 532 560) B: U O: 4 R daher: 2 mmit ꝙ und der zu⸗ be⸗ * 6＋— 561) B 2 3 5 U oder: 56% J n e Werthe aus 558 und Setzt man aber ſtatt U und B d 559, ſo iſt: C 563) ꝙ IR* und 564) C 5 A R 2 T Die beiden erſten Gleichungen beziehen ſich auf einen beſtimm⸗ ten Kreis, die beiden letzten aber auf irgend einen, alſo auch auf einen Normalkreis, deſſen Strahl man als Längeneinheit r= 1 anſehen kann. Aus dieſen Gleichungen geht nun hervor, daß B und C oder ꝙ und C ſich gegenſeitig beſtimmen, ſo daß, wenn die eine Größe gegeben iſt, man die andere daraus auffinden kann. Aus den früheren Unterſuchungen iſt bekannt, wie die gonio⸗ metriſchen Funktionen den Winkel beſtimmen; die Gleichung 563 zeigt nun weiter, wie durch dieſen ꝙ oder der Bogen beſtimmt

— 27— werden kann; daß dieſe Funktionen alſo auch den Bogen beſtim— men, der einem beſtimmten Winkel angehört. Man kann nun, mit Umgehung des Winkels, die goniometri⸗ ſchen Funktionen direkt auf den Bogen beziehen und nennt ſie als⸗ dann Kreisfunktionen. Dieſe Beziehung wird durch die in 561 oder 563 ausge⸗ ſprochene Eigenthümlichkeit des Kreiſes geboten, und nur durch dieſe möglich, findet daher für jede andere Curve, die nach einem anderen Geſetze fortgeht, nicht ſtatt. Die auf den Bogen ꝙ bezogenen Funktionen werden nun in der Folge durch sin. ꝙ, cos. ꝙ, fang. P bezeichnet werden, und es iſt, wenn BD r(Fig. 114): 565) 55 gsin. ꝙ 7 AC tang ä˖ AC FG AB—— dCotang. 00 BC CE 46— 1 ◻ SeéC. ꝙ BC C6 AK r cosec. ꝙ Dieſen Funktionen hat man noch zwei neue sznus bersus und cosinus versus hinzugefügt, man hat geſetzt: 8 AD D CKrCI CA 566) SeN. Der. ꝙS QQ— 5 2 K 8 8 Æ＋ 1—cC0os. 0 und 2 BH KF AH- AB CF— AB 567) C0S. Vér. D= 3 BBW..(.. r— AB AB —= II1 FZin. 8 9 15*

228 ſo daß alſo sin. ver. ꝙ die Ergänzung des Coſinus und cos. ver. ꝙ die des Sinus zur Einheit iſt. Die früheren Wahrheiten, die goniometriſchen Funktionen be⸗ treffend, behalten auch für die Funktionen des Bogens ihre Gültig⸗ keit. Die allgemeinen Geſetze des§. 23 laſſen ſich aber, auf den Kreis bezogen, in andere umwandeln, die für die Berechnung dieſer Funktionen von großem Vortheil ſind. Es iſt nach 203: 5 n 5 sin. na t(cos. a) u—1(Sen. 301 — 1— 2 35— 3—(C0s. a)—3(ſin. a)ð E —1—2(1—39)(—4 4 RR 2(C0S. 2 1—5(gin. 40⁵ R*V 85„„——„ Nimmt man nun an, es ſey aà ein unendlich kleiner Bogen fͤ ein endlicher unden eine unendlich große Zahl, ſo daß na Bogen iſt, ſo wird cos. a ν 1 und 5un. a a geſetzt werden können. Aus den Fakultäten von n werden die Potenzen dieſer Größe, ſo daß: a— 3 ＋ 1 1932 1. 2* 6 FFF Beachtet man nun, daß n. a ν ꝙο ſo wird: 568) sin. ꝙ 5 ＋— 1 1.23 1IE ‚— ⏑⏑f—t Eben ſo erhält man: 4 2 660 2 569) cos.= 1 F if‚‚ f‚ Es iſt nun ſchon früher bemerkt worden, daß ſich ꝙ auf keinen beſtimmten Kreis bezieht, alſo für einen Kreis gelten kann, deſſen Strahl= 1 iſt. Sollen nun sin. und cos. von 1“ aufgefunden 6,28318531 —— 0 481 360560. 60 0/;000 8 werden, ſo iſt Are. 1“ N 3

daher: 0,0000048481(0,0000048481)3 1 (0,0000048481)2 3— ein. 1“ 1— Die zweite Potenz von Arc. 1“ hat erſt in der zehnten Stelle eine Ziffer, ſo daß: sin. 1“ 0,0000048481... und 606. 1“7 0,99999... So lange der Bogen klein iſt, ſind die beiden erſten Glieder dieſer Reihe hinreichend zur Berechnung der Funktion, und man ˖ erhält dieſelbe mit großer Leichtigkeit. Verbindet man mit dem Kreiſe gerade Linien, ſo liegen dieſe 190 entweder in demſelben und heißen Sehnen, oder ſie durchſchneiden den Kreis und heißen Sekanten, oder ſie berühren den Kreis und werden Tangenten genannt. §. 87. Der Kreis und ſeine Sehnen. Iſt AB Cig. 115) die Sehne S s, ſo iſt nach 525: 2rFun. 8 Wird C größer, ſo wird auches größer, und mit einer Zu— nahme von s iſt auch ein Wachsthum von sin. 4 C, alſo von C verbunden. Die Entfernung der Sehne vom Mittelpunkte iſt —— die Senkrechte CE σ r. sin. A. Wird nun s größer, ſo wird A kleiner, daher auch CE. Wird C 180, ſo wird 8 2. T. sin. 90 σ 2r, und erreicht hierbei ſeinen größten Werth. 2 Bei dieſem Werthe von Cwird A o, alſo CE σr. 6in. 0 S＋. Man findet alſo: 570) Der größeren Sehne entſpricht der größere Winkel am * Mittelpunkte und der kleinern Sehne der kleinere Winkel, und die größere Sehne liegt dem Mittelpunkte näher als die kleinere. Die größte Sehne iſt S 2 r eund geht durch den Mittelpunkt; man nennt ſie den Durchmeſſer des Kreiſes d S2 r. Zieht man im Kreiſe zwei Sehnen, AB, DB CFig. 116),

— 230 nkommen, ſo bilden ſie über dem Bogen AED am welche in B zuſamme ABD und am Mittelpunkt entſpricht dieſem Umfange den Winkel Bogen der Winkel ACD. Zieht man nun BC, ſo iſt: u m ＋n undWP ＋ 4 daher: 2 m 2 ＋ p) oder: CS2 2B ſo daß man findet: 571) Der Winkel gebildet wird, iſt das Doppelte des Winkels am Umfange der über demſelben Bogen ſteht. Dieſe Wahrheit iſt ſchon 524 für die Vielecke gefunden wor⸗ am Mittelpunkte, welcher über einem Bogen den, aus ihr folgt weiter: 572) Alle Winkel am Umfange, welche über demſelben oder über gleich großen Bogen ſtehen, ſind gleich. Wird C= 180 Fig. 117), ſo wird B ◻ 90, ACD der Durchmeſſer, ABD ein rechtwinkeliges Dreieck; und 573) Das Dreieck im Halbkreiſe iſt ein rechtwinkeliges Dreieck. Durchſchneiden ſich die beiden Sehnen(Fig. 118), ſo ent⸗ ſtehen, wenn man AC und BD zieht, die Dreiecke AEC und BED, welche wegen der Gleichheit ihrer Winkel ähnlich ſind; daher: AE: ED CE: EB oder: AE. EB S CE. ED 9 574) Die Produkte der Segmente zweier ſich durchſchneidenden Sehnen ſind gleich. Iſt die eine Sehne AB(Fig. 119), ein Durchmeſſer und die andere CD auf dieſer ſenkrecht, ſo wird die Sehne CD, ſo wie der Bogen CAD durch AB halbirt, und es iſt: CE. ED AE. EBE oder: CE2 Æ AE. EB

daher: 575) Die Linie CE, welche in irgend einem Punkte E des Durchmeſſers zu dieſem ſenkrecht iſt, iſt die mittlere Pro— portionallinie zu den Abſchnitten AE und EB des Durch— meſſers, oder es iſt: AE: CE Æ CE: EB Setzt man AE Æ x, CE ◻ p und AB 2r, ſo iſt wegen EB AB— AE: r ſomit: 576— Q‚QÄrν* die Gleichung des Kreiſes für rechtwinkelige Coordinaten, die Abſciſſe, ydie Ordinate, A der Anfangspunkt. : Nimmt man den Anfangspunkt im Mittelpunkte an, ſo iſt, wenn(Fig. 120) AC u, AB y: 3C2²= AB2² ＋. AC2 oder: u alſo: 5nο r— u?. oder Aus der Gleichung 576 erhält man noch: 2r (Fig. 119): AC Æν AE. AB ſo daß A0 die mittlere Proportionallinie zu AB und AE iſt. Unter allen Verbindungen von drei Sehnen im Kreiſe, iſt die, wo die Sehnen ein Dreieck bilden, die wichtigſte. Fällt man aus dem Mittelpunkte ſenkrechte Linien auf die Seiten des Dreiecks ABD(Fig. 121), ſo werden dieſe halbirt, und umgekehrt.(Vergl. 394.) Hieraus geht hervor, daß durch zwei Punkte unendlich viele, durch drei Punkte aber nur ein Kreis gelegt werden kann. Sind zwei Sehnen(Fig. 122), AB und Bo0, gleich, ſo bil⸗ den ſie das gleichſchenkelige Dreieck im Kreiſe. Iſt AB νs51, AD fs2, ſo iſt nach 527 und 535:

NGTLVYG— C Die erſte Gleichung zeigt, wie die Sehne des doppelten Bo— gens aus der des einfachen aufgefunden werden kann, die zweite Gleichung löst die umgekehrte Aufgabe, das untere Zeichen gibt AB B, das obere AE ED. Auf gleiche Weiſe können alle Gleichungen und Wahrheiten des achtzehnten Kapitels auf den Kreis bezogen werden. Verbindet man im Kreiſe vier Sehnen zu einem Vierecke (Fig. 123), ſo iſt nach 571 der untere Winkel ACD 2, der obere Winkel ACD 2 E, daher beide zuſammen 4 R= 2 53 2 E, mithin B ＋ E 180. Eben ſo findet man A ＋ D= 180 folglich: 578) Das Viereck im Kreiſe iſt ein Antiparallelogramm und über vier Punkte kann ein Kreis gezogen werden, wenn ſie zu einem Viereck verbunden, ein Antiparallelogramm bilden. Bei Gleichheit aller Sehnen werden die ordentlichen Vielecke im Kreiſe gebildet, für welche die Geſetze des achtzehnten Ka⸗ pitels gelten. §. 88. Verechnung des Vogens. Iſt(Fig. 124) die Sehne eines Bogens ABD ꝙ, AD 2 y, und die Eutfernung des höchſten Punktes von derſelben, BE u gegeben, ſo kann man daraus den Bogen berechnen. Nach 576 iſt: 5˙= 2ZrX x daher y7= MQrx--xà2) und 52 ＋ x2 35990 33 X 2 daher: ⏑˖L Nun iſt sin. 580) ꝙ= Arc.(6in. 5) oder ꝓ2. Are.(Con.—j—

Mit Hülfe dieſer Werthe erhält man nun aus 559: ꝙ Are — Sin. 2 die(.— ̃E 0 9 ) Ar( 2 2 ι 5 Are(sin. Man kann Es iſt: C0S. I. daher: 117 582) ꝙ Führt man 583) B Eben ſo 8 den Bogen auch durch den Coſinus darſtellen. EC r—* X 2*2 R E 72 X2 ＋ 68332 Kre(es—.— 5 N 2 2. Are.(us——— — lres(0s. 3) dieſe Werthe in 559 ein, ſo entſteht: r. ꝙ 5 AKee(o0s.*.) 21. Arc.(——9 33 Arce.(us ＋10 können die übrigen Funktionen des Kreiſes zur Dar— ſtellung des Bogens benützt werden. Oft kommt es vor, drückt wird, 6in. ver. 41 mithin: 4⸗ 584) ꝙ daß der Bogen durch sin. ver. ausge⸗ für dieſen Fall hat man: X 7 (vn. ver.

dem Bogen berechnet werden kann. erhält man den Bogen durch den Sinus. SS ◻σ rA. 6in. ꝙ ＋ B. sin. ꝙ ＋ C und 5857 3 90 8 0 21 „„„„(Lin. 0 1 iie 9 2.( e.(un. cer. 55 Beiſpiel. Es ſey KDP BE 2 10, 0 ſo iſt y2 2 8 100 2600. 130⸗ 3 „ 1 20 20 7 ＋ sin. 1 1 5— 155 ＋ 0,38461538 F= α˙2 Are(éin. 0„38461538) 10 2 Arc.(220 37“ 11%5) ＋2 Arc.(81431,5“) 35 Nun iſt aber 563: Arec.(81431%,5) r.6,2831853.. 2 0,3947910. 3606060 daher: ꝙ D=· 2. 0,3947910— 0,7895821 und BR== r 130 0,7895821 446 — 102/,%64567 Dieſe Rechnungen ſetzen voraus, daß man die Zahl 2 1 ＋ kenne, wie dieſe aber als Umfang eines Vieleckes berechnet werden 1 kann, zeigen die vorhergehenden Unterſuchungen. Die Berechnung der Seite und des Umfanges der Vielecke N von einer großen Anzahl Seiten iſt jedoch immer, wegen der vielen Wurzelgrößen, mit bedeutenden Schwierigkeiten verbunden. Die Gleichung 568 zeigt, wie mit Leichtigkeit der Sinus aus fh; Kehrt man die Reihe um, ſo Die umgekehrte Reihe ſey: ͤin. h5 ＋E D. Sin. ꝙ ＋

ſo iſt: 9 νσ A. gin. ꝙ ＋ 3 ATB. ein. ꝙ ＋(2A. B2 ＋3 A20) in. ꝙ7. 9‚ νσ A s sin. ＋. 5 A. B. sin. p Csin. 9 Führt man nun dieſe Werthe in 568 ein, ſo muß man eine identiſche Gleichung erhalten, aus welcher die Vorzahlen A, B, C,., beſtimmt werden können. Man erhält hierdurch: 5 oin. ꝙ 1G. an. 9. ＋B. sin. ꝙ85 ＋ C. sin. ꝙ5 ED. sin. ꝙ7 E..) (As s6in. ꝙ ＋ 3 A2B. sin. ꝙs 12 3 ＋ AB2 ＋ 3 A20C). sin...) 1 83—1 5 A. sin. ꝙ5 ＋ 5 KB en 9˙ 1„ R 2 ˖ · As 3 Aꝛ B A5⁵ )/ ein. ꝙs 0 3 2A. B2 ＋-3A2 C 5 A4A B A7 ECõõĩ˙ĩ 0 6 Da nun auf der einen Seite nichts Anderes ſtehen kann, als auf der andern, ſo muß die Vorzahl von sin. ꝙ“ der Einheit gleich ſeyn, alle übrigen Vorzahlen aber müſſen verſchwinden; folglich: 83

— 31 A² 1. 0 σ 4.3＋ IZ3.1.5 ö 2A. Ba.2 Aà. C 5 A.. B A* FFR .. 5ůͤ ⏑ 1 Die erſte Gleichung gibt KA νπ 1 1 1 1 1 „ zweite 5 33 24 1 9 1 ei,,,, 9 1 diettt D=i, U. ſ. w. Führt man nun dieſe Werthe in die angenommene Gleichung 4 ein, ſo erhält man: 1 1 1 1 586= ◻＋⏑ in. ꝙ“. 6in. ＋=. I. 6in. 586) ꝙ 1 n. ꝙ 2. bin. o 5 2.4 0 * Wird die Gleichung 568 3 3 569 gemeſſen, ſo entſteht: 11 587) lang. ꝙ 1 ＋ 51 53 57＋ U 5—7 Ein. ο 00 Verfährt man nun mit dieſer Gleichung eben ſo wie mit 568, wird ſie wie dieſe umgekehrt, ſo erhält man: Mis 1 588) ꝙ= I lang.— 3 kfang. ꝙ 5 fang. ꝙꝰ 1 05 lang. ꝰ Die Gleichungen 586 und 588 zeigen nun, wie man den Bogen aus dem Sinus oder der Tangente berechnen kann. Iſt z. B. ◻ Arc. 300, ſo iſt zin. P= allein Are 30 3600 2 n 4 1 0 Are. FFF daher:

Es iſt mithin: 5800 1 6(U◻= ＋—— 1323 6.(0,50 ＋ 0,0208333. ＋60,0023437 6 0,52359 Æ 3,14159 Die Reihen 586 und 588 ſind zwar bei paſſender Anwen— dung ſchon konvergent, können es aber noch mehr gemacht werden. §. 89. Von den Sekanten. Eine Sekante durchſchneidet den Kreis in zwei Punkten und hat nur dieſe mit dem Kreiſe gemein. Zieht man(Fig. 125) zwei Sekanten, deren Richtungen nicht dieſelben ſind, ſo werden ſie ſich in einem Punkte B durchſchnei— den. Verbindet man A und D, E und F, ſo iſt AEFD ein Antiparallelogramm, alſo im Dreiecke ABD, EF antiparallel zu AD und daher nach 372: 590) AB. EB BD. BF d. i. die Produkte der Sekanten in ihren äußern abge⸗ ſchnittenen Theilen ſind gleich. Drei und mehrere Sekanten bieten nichts Beſonderes dar. §. 90. Von den Tangenten. Wird die Sekante AB immer weiter vom Mittelpunkte entfernt, ſo rücken ſich die Punkte Aund E immer näher, bis ſie zuletzt in einen Punkt zuſammenfallen. Die Sekante wird in dieſem Falle zur Tangente, welche mit dem Kreiſe nur einen Punkt, den Berührungspunkt, gemein hat. Der

— 238— Strahl, welcher nach dem Berührungspunkte geht, iſt nach 570 1t 10 zur Tangente ſenkrecht. Die Tangente iſt nach dieſer Darſtellung nur eine Sekante, 15. deren beide Durchſchnittspunkte in einen A Cig. 126) zuſam⸗ menfallen, hierbei wird der äußere abgeſchnittene Theil immer 4 größer, die Sekante immer kleiner, bis beide gleich der Tangente AB werden. Die obige Wahrheit verliert hierbei nicht ihre Gültigkeit, nur wird ſie, wegen A3 EB, in folgende Form übergehen. 591) AB2 B3D. BE Die zweite Potenz der Tangente gleicht dem Produkte der Sekante in ihren äußern abgeſchnittenen Theil. Auch hier iſt AE antiparallel zu AD und alle für die Anti⸗ parallele im Dreiecke gefundenen Wahrheiten gelten auch hier und können auf die mit dem Kreiſe verbundene Linie angewendet werden. Iſt z. B. AD(Fig. 127) ein Durchmeſſer, AB eine Tan⸗ gente, BD die Sekante, AE die Sehne, ſo iſt nach 373: AE. BD= AB. AD oder wenn AE sI1, AB Æ◻ S1, AD 2 r geſetzt wird: §iDꝛrS8. Da nun: BD= VY GAD ＋ AB)= VGre ＋ 8.“) ſo iſt: 3 S8· mithin: 28 VAIIT S)⁰ und dieß iſt die Gleichung 541, welche alſo zeigt wie Sehne und Tangente deſſelben Bogens AE von einander abhängen. Auf gleiche Art können alle Wahrheiten des achtzehnten Kapitels hier ange— wendet und auf den Kreis bezogen werden. Zieht man(Fig. 128) zwei Tangenten von demſelben Punkte aus an den Kreis, ſo iſt nach dem Obigen: AB2 BD. BE 81

— 239— aber auch: BC2 BD. BE daher: AB ◻ BBC, ſo daß alſo: 592) Werden aus einem Punkte zwei T angenten an den Kreis gezogen, ſo ſind dieſe gleich. Drei und mehrere Tangenten bilden Vielecke um den Kreis. 0 — Sind ie Seiten derſelben gleich, ſo können die früheren Unter— e uchungen über die ordentlichen Vielecke auch auf dieſe angewandt werden, und es ergeben ſich noch viele Geſetze über den Zuſam— menhang der dem Kreiſe eingezeichneten und umſchriebenen Vielecke von gleicher oder ungleicher Seitenzahl. ————

Sechster Abſchnitt. von den Flächenräumen der ebenen geradlinigen Läguren und des Kreiles. Zwanzigſtes Kapitel. Vergleichung und Berechnung der Flächenräume der Vielecke. §. 91. Flächenräume ähnlicher Figuren mit einander verglichen. Nach§. 55, Nro. 392 iſt(Fig. 129): ABC n2. ADE d. i., hat man eine Seite AB in n gleiche Theile getheilt und durch Parallellinien das Dreieck in kleinere Dreiecke wie ADE zerlegt, welche dem großen ähnlich ſind, ſo iſt deren Anzahl S n2. Iſt AiB1Ci Cig. 130) ein dem ABC ähnliches Dreieck und enthält deſſen Seite AiBI, m ſolche Theile, von welchen n die Seite AB ausmachen, ſo wird das zweite Dreieck in me kleine Dreiecke zerlegt, welche ähnlich dem A1B101 und identiſch mit ADE ſind, ſo daß: AIBI Ci= mꝰ. ADE Verbindet man beide Gleichungen durch Meſſen ſo wird: ABC DADEB u XEICI miAbk mz

241 Iſt nun X der nte Theil von AB, alſo auch der mte von AlB. und vervielfacht man den Bruch zur Rechten im Zähler und Nenner mit x2, ſo wird ABC 33 Nun iſt n. X*= AB und m. X AlB,, daher: 593) ABC A AC2 BC2 A1B101 AlBIi? A1C12 B11 2 Die Flächenraume ähnlicher Dreiecke meſſen ſich ſo oft, als die zweiten Potenzen homologer Seiten. Dieſer Satz läßt ſich auf alle Vielecke ausdehnen. Sind ABCD und A. 8 131) ähnliche Vierecke, ſo ſind auch die Dreiecke AB3C und Ci, ſo wie ACD und AiC. Di, ähnlich, daher: 20 2 12 5— ＋ 2 und ABC i.A1BICi ACD 05 Hieraus erhält man durch Zuzählen: und ACD 2 AC2 ABCD AlBIiCIDI und ABCD AC2 AB2 56666 äWWW Auf gleiche Weiſe kann die obige Wahrheit auf die Fünf— und Vielecke angewandt werden, und man gelangt hierdurch zu dem Satze: 594) Die Flächenräume ähnlicher Vielecke verhalten ſich wie die zweiten Potenzen entſprechender Seiten oder Diagonalen. Das ordentliche neck wird vom Mittelpunkte aus in m iden⸗ tiſche Dreiecke zerlegt. Iſt nun P das neck und T eines der Dreiecke, ſo iſt: EEEI Auf gleiche Weiſe iſt für ein anderes neck: pPSnt Arneth, Geometrie.

— 242— Sind nun A und a(Fig. 13 die Seiten, Uund u die Um⸗ fänge und R under die Radien, ſo iſt: P 1I T A2 R2 pP 12 (n 1 nWV392 mithin: 595) Die Flächenraͤume ordentlicher Vielecke von gleicher Seiten⸗ zahl verhalten ſich wie die zweiten Potenzen der Seiten, oder der Nadien, oder der Umfänge. §. 92. Von der Verechnung der Hlächenräume ebener gerad⸗ liniger Figuren. Man iſt übereingekommen als Einheit des Maßes der Flächen das Quadrat anzunehmen, und alle Flächen durch Quadrate aus⸗ zumeſſen. 164 Es ſey die Seite des Quadrats, welches die Flächeneinheit iſt = 1, ſo werden nicht alle Flächen vollkommen durch dieſes Maß ausgemeſſen werden können, und man muß daſſelbe genauerer Be— ſtimmungen wegen eben ſo in gleiche Theile theilen, wie dieß bei dem Fuße als Längeneinheit geſchehen iſt. Werden nun die Seiten des Quadrats in 10 oder 12 gleiche Theile getheilt, ſo kann deſſen 7 Fläche durch Parallellinien in 10. 10 102 100, oder in 1 12. 12 122 144 kleinere Quadrate, Quadratzolle genannt, zerlegt werden. Auf gleiche Weiſe wird der Quadratzoll in 102 oder 122 Quadratlinien getheilt u. ſ. w., und die Größe einer Fläche wird angegeben durch U◻I,, 6U◻“, L◻“ u. 1 Es iſt natürlich, daß die dem Quadrate am nächſten ver⸗ wandte Figur, das Rechteck, ſich auch am leichteſten durch daſſelbe ausmeſſen läßt. Iſt ABCD Cig. 133) das Rechteck und ab die Seite des Quadrats in AB p und in AD q mal enthalten, ſo wird das Rechteck durch Parallellinien in p. q Quadrate abed zerlegt. Iſt nun ab die Längeneinheit, ſo drückt p die Linie AB und g die Linie A“D aus, und man hat: ABCD AB. AD UEinheiten.

243— Iſt daher die Seite des Quadrats, welches als Flächeneinheit angenommen worden, die Längeneinheit, ſo findet man: 596) Der Flächeninhalt eines Rechteckes wird gefunden, wenn man die Zahlen, welche zwei aufeinanderfolgende Seiten des Rechteckes vorſtellen, mit einander vervielfacht. Die Längeneinheit iſt hierbei die Seite des Quadrates, welches als Maß der Flächen dient. Vom Rechtecke kann man leicht zum Parallelogramm übergehen. Es ſey AEFD(Fig. 134) ein Parallelogramm, welches mit dem Rechtecke ABCD zwiſchen denſelben Parallellinien AD und BF liegt, und welches dieſelbe Baſis AD hat. Eine einfache Be— trachtung zeigt, daß die Dreiecke ABE und DCF kongruent ſind, gleiche Flächenräume einſchließen. Nimmt man von beiden Dreiecken 0 das kleine Dreieck CGE hinweg, ſo bleiben die Flächen ABCGund DCEF über, welche alſo auch noch gleich ſeyn müſſen. Fügt man aber den beiden letzten Flächen das Dreieck A6 an, ſo entſteht einmal das Rechteck ABCD und dann das Parallelogramm AEFD, die Flächenräume dieſer beiden Vierecke werden alſo gleich ſeyn. ABERE= Æ DOF G ABE— CGE C DCF—& CGE oder: ◻ABCG Æ ο DGEF ◻ABCG ＋ U AGD= ◻ DͥGEF ＋ U◻⁰ A6D daher: Rechteck ABCD Parallelogramm AEFD Hierbei iſt es gleichgültig, ob die beiden Vierecke über derſel— ben Grundlinie ſtehen, oder ob die Grundlinien gleich ſind; eben ſo, ob ſie zwiſchen Parallellinien liegen, oder ob ſie gleiche Höhen haben. Da ferner ein jedes Parallelogramm, welches die Bedin— gungen von AEFD erfüllt, dem Nechtecke AB0D gleich iſt, ſo findet man: ö 597) Parallelogramme, welche gleiche Grundlinien und gleiche Höhen haben, ſind gleich, d. i. ſie ſchließen gleiche Flächen— räume ein. 16*

244 Für alle Parallelogramme, welche alſo in der angeführten Beziehung zu dem Nechtecke ſtehen, hat man für den Flächenraum das Produkt AB. AD. Nun iſt aber AD die Grundlinie und AB die Höhe ſämmt⸗ licher Parallelogramme, daher: 598) Der Flächeninhalt des Parallelogramms iſt das Produkt aus der Grundlinie in die Höhe deſſelben. Ein jedes Dreieck(Fig. 135) kann angeſehen werden als die Hälfte eines Parallelogramms von gleicher Höhe und Grundlinie, mithin: 599) Der Flächeninhalt des Dreiecks iſt die Hälfte des Produkts aus der Grundlinie in die Höhe deſſelben. A3BC Æν b. h und Dreiecke von gleicher Höhe und gleichen Grund⸗ linien ſind gleich. Dieſe Wahrheit führt wieder zu folgender: 600) Die Flächenräume von Dreiecken, die gleiche Höhen aber ungleiche Grundlinien haben, verhalten ſich wie die Grund— linien. Sind die Grundlinien gleich, die Höhen aber un⸗ gleich, ſo verhalten ſie ſich wie die Höhen. Haben beide Dreiecke nichts Gleiches, ſo verhalten ſich ihre Flächen wie die Produkte aus den Grundlinien in die Höhen. Beachtet man, daß h 0. 6in. A, ſo wird aus 599: 601) ABC0= b eaeun. A oder: Die Fläche des Dreieckes wird gefunden, wenn man —.— U die Hälfte des Produktes zweier Seiten noch mit dem Si— nus des eingeſchloſſenen Winkels vervielfacht. Da jede Seite als Grundlinie angeſehen werden kann, ſo iſt: ABC= z ab. sin. Cν ac. sin. B be. sin. A um die Flaͤchenräͤume der andern Vielecke aufzufinden, ſey Fig. 136) AIAA... An ein neck, man zerlege daſſelbe durch die Diagonale Aà An in das(1—I)eck AàAs... An und in das Dreieck A Ar An⸗ Die Fläche des neckes bezeichne man mit Fu, ſo wird die des (u—eckes Fui und des Dreieckes Fs ſeyn, und Fn Fu-i ＋ F3 oder da: 8 5 „ͤ„

245— 602) Fa S Fu=i Das Produkt a, ai an 6in. Al sin. Al kann nun durch andere Größen erſetzt werden. Betrachtet man den nten Punkt als den erſten, den(u—I)ten als zweiten u. ſ. w., ſo iſt nach 510 für das Viereck: „ ＋ aj(A. ＋ A T＋ A) sin.(A,. ＋ As ＋ A2)== gin. Al 0 ν ag. sin. A.— az. Sin.(A. ＋ A3g)— ai. 6in. Al mithin: a1 Sin. A. S aßs sin. A.— a sin.(A, 4. A4) Aus derſelben Gleichung erhält man für das Seck: Enin K, zs ein.(A,) ＋ a 6in.(A, ＋ A, ＋ A3) — ai. sin.(A; ＋ A ＋ A3 ＋ A2) oder da: Sin.(Az, ＋ A, ＋ A ＋A2) in.(6R AI) σ Sin. Al ſo wird: ◻ a4. ein. A,— ag sin.(Aà, ＋ 4) aa 6in.(A, ＋ A, ＋ Az)— ai. sin. A1 daher: „— ag. sin.(Ar, ＋ A.) ＋ ag.6in.(A, ＋ A, ＋ Az) Geht man auf dieſe Art weiter, ſo erhält man: drr.. FF ＋ an-3. 82n. I—)u=à a.sin. Anſs Führt man dieſen Werth in die Gleichung 602 ein, ſo geht ſie über in: ein — 4 An—2. An;· Sin. Aul—1

246— PE 1 anb=s. ag. 6in. Anlu-2 a an. 6/n. An ſs Für das Viereck iſt n= 4, daher(Fig. 137): „, 4 3 2 Da nun Pz A2 AgA, ◻ a. a3· ein. As, ſo iſt: 605) F. 2= IIaz. as. ein. As— a· a.· Sin.(As ＋ Al) Für das Fünfeck iſt n= 5, daher(Fig. 138): F. F. TZad. a,. sin. A, ug. ag. 8.(A ＋ A5) La aß, ein.(A, A ＋ A5) Wird nun der vorhergehende Werth von F. eingeführt, ſo entſteht: 606) Fa. Ia. ag. 6in. A— A ＋ ü,„, Ea, a, ein, A.— as as A445 U . A Fa, aß. 5in. Az Nach demſelben einfachen Geſetze können die Flächenräume der ſpäteren Vielecke gebildet werden. Dieſe Gleichungen zeigen, wie man den Flächeninhalt des neckes aus(n— 1) Seiten und den davon eingeſchloſſenen Winkeln berechnen kann. Sind dieſe Elemente aber nicht gegeben, ſo muß man ſie zuerſt nach den früher gegebenen Vorſchriften berechnen. Außer der Gleichung 605 kann man für das Viereck auch noch folgende gebrauchen(Fig. 74): 607) ABCD 2(ab. sin. B ede. Sin. D) 1(ad. sin. A ＋ be. sin. C) Iſt das Viereck ein Trapez(Fig. 139), ſo iſt a. 8in. A . Sin. D, daher: 608) A3BCD a(b ＋ d). 6in. A h(b ＋ d) weil a. 5in. A h die Höhe des Trapezes iſt. =

Iſt das Viereck ein Antiparallelogramm, alſo sin. B sin. D und 3un. A sin. C, ſo iſt: 609) ABCD=(ab ＋ cd). 6in. B =i(ad be). 6in. A 8.— ＋ §. 93. Von der Verechnung der Klächenräume der ordentlichen Vieleche und des Kreiſes. Das ordentliche meck kann zerlegt werden in n Dreiecke t Fig. 140), deren Scheitel im Mittelpunkte liegen. Dieſe Dreiecke 8 ſind identiſch, ihre Grundlinie iſt 8 die Seite des neckes, ihre er dem Radius der Figur. 3600 beiden andern Seiten ſind gleich und 9 D Der Winkel im Scheitel des Dreieckes if daher der n Flaͤcheninhalt nach 601: 3 3608 6100= ir F5in. n Es iſt ferner nach 201: 3600 180 180⁰ n. J. sin.— 2 6in.—. cos. n n daher: 180⁰ 1800 t r2. 8in. 06.—— 80⁰ mithin nach 525: 180 610 t s852 cotang. 8 55 Da das Vieleck aus u ſolcher Dreiecke beſteht, ſo iſt der Flächeninhalt deſſelben: 0 3600 612) F. t(=— 6120 E nt r2 61in 5

und 7 n 2 180⸗ 14 colunyD.— 4 1 10 Die erſte Gleichung zeigt, wie man den Flächeninhalt mit 10 Hülfe des Radins, die zweite wie derſelbe durch die Seite des 1 Vielecks gefunden werden kann. Der Winkel kann aus den vier letzten Gleichungen entfernt 10 werden. Aus 525 und 526 erhält man durch 201: 2 0 S VGdI—82) 8ss.·— alſo n r 2 f V360„ 1 r2ꝛ gin. 2 IIiSV GAxr“— 859 2 n Wird dieſer Werth eingeführt, ſo wird: N n 2 2 E—ν⏑ Ä 3 dGdXx2 Æ＋ 82) Hier iſt die Fläche durch die Seite und den Radius der Figur dargeſtellt. N •»3000„ Nach 525 iſt sin.—„ führt man dieſen Werth 1— in 612 ein, ſo erhält man: n 615) Fu Æ 3 182 eine Gleichung, welche zeigt, wie aus dem Radius und der erſten Diagonale der Flächeninhalt berechnet werden kann. Für das ordentliche Dreieck iſt n S 3, S ν ν MVg3, 82 V 3, 3 daher V3 RRRöIE.. oder: SV G 82— 829 2 3 1 5 folglich: F. Für das ordentliche Viereck iſt n= 4, S r V 2, S2 14 2 r, r= ,4r2 2 82; daher: 14 VV 2 FRR ̃ ͤ˙(

oder: S V GA82— 82)0 s. V82 mithin: rne Beim ordentlichen Fünfecke hat man n= 5, 8 rV(di0— 2MVNT 5), s ◻ rV d0 ＋T 2V 5), 28 4 82 2 2v5 1———＋ 5„r2 ◻ V2 XJ(l0- 2V 5) 10—- 2N½5 20 folglich: „= gr2 V(10 ＋ 2½ͥ 5) und 10 ＋ 2V 5 — 2 V6 40 820 8 55 — 28. V 8² 9 daher: V(iO 2N5 5 28653 82 N 5 Für das ordentliche Sechseck iſt n= 6, S Sr, S TV 3 daher: „„ und Fe= FSs V G S2— 82) F3 ſomit: 619) F6C 3 r V3◻ I 82 V3 Beim ordentlichen Achtecke iſt n S 8, SSTVCAZ- V2) 82 ⏑‚ KnNο⁰n= daher: F5g und 8 8 4. 82 V6VD 12I½ 28½ͥ.eU2) 8S. V(4＋ 2MV) 82— 82) S. Vv(3 82 ＋ 2 82 V 2) 8 4 2

mithin: 620) Fs 2 r2 V2 2 S2. 3 ＋T 2V 2 Beim ordentlichen Zehnecke iſt n= 10, 8 r Ir EIiÆV5) 15 2 8 „„„ E 9 10 16 82(6 ＋ 2NY5) 4 12= 82(6 ＋ 2M 5), daher: 16 0 100 10 r. VIrV(10 2 3 = 12 V(10— 2MVU1 5) und 10 3 F Gα οι⏑ Fνν‚ mithin: eeen 10 82 6 ＋ 2 VJ 50 8 Ab⸗ AC,R Bei dem Kreiſe, als letztem Gliede in der Reihe der ordent⸗ 1 lichen Figuren, iſt n unendlich groß, dagegen s unendlich klein, jedoch ſo, daß immer n.58 U dem Umfange des Kreiſes iſt. Aus 614 erhält man für dieſe Figur, wenn man deren Flächeninhalt= F ſetzt und beachtet, daß bei den obigen Vor⸗ ausſetzungen 4 rꝛ— 82 ◻τ u 72 geſetzt werden kann. 50 n ‚ ˙%N⏑ͥrr] 4 2 oder: K 6220 FSIr. U Setzt man für Uüden in 558 gefundenen Werth, ſo wird: 623) FPF= ²ur ànτ—e⁰ůãͤt= r §. 94. Von der Verechnung des Flächenraumes des Kreis⸗ ansſchnittes, des Kreisabſchnittes und anderer Kreisſegmente. Die Fläche eines Kreisausſchnittes ABCD(Fig. 141) wird auf gleiche Weiſe wie der des Kreiſes gefunden. Iſt m die Anzahl der

Dreiecke, welche der Ausſchnitt enthält, ſo iſt, wie aber§. 93 R Nun iſt: m. t= ABDC und m. 8s A3D 8 daher: 624) ABDC 2 Tr. ABD Erſetzt man den Bogen ABD nach 581, ſo wird: 625) ABDC A r2. ꝙ SD= r2. Aro.(an.—.—— Srs Are.(oin. i 8(In. 5 Aehnliche Ausdrücke würden die folgenden Werthe des Bo— gens ABD in. 8s geben. Der Kreisabſchnitt ABDA beſteht aus dem Ausſchnitte ABDC, weniger dem Dreiecke ACD; oder: ABDA Æρ ABDC— A0D. Nun iſt nach 625 ABDC ν r2 ꝙ und ACD= I AD. EC ◻ AE. EC D= r2. ein. 1 ꝙ. cos. 1 ꝙ ⸗2 r?,. sin. ꝙ Führt man dieſe Werthe ein, ſo wird: 626) ABDA ◻ ṽ2(ꝙ— 61n. ꝙ) Dieſe Formel kann durch Einführung der früheren für ꝙ ge— fundenen Werthe umgeändert werden. Zu dieſem Zwecke muß man aber auch für sin. ꝙ entſprechende Werthe aufſuchen. Es iſt nun: N S. 4 ꝙ* C06. 8——

daher: 2 8 E — * * 2. 6in. mithin: 11 Beachtet man nun, daß nach 576: „ VUAuDrn ε ak alſo: FEFR ＋ x ρ g= ν „ 1P 1 mithin: Wol 1. r XxA V G2— y32), 1 oder auch, wenn man fürer aus 579 ſeinen Werth einführt: y52— x2 ***..... 2* 23 ll. ſo wird: II 2yvVC2— 72) I 628) 5en.—.—— ͥ1VLꝛ) — 3** oder auch: 629) 12§in. S D 2 V(12 720 2 2(r—NVν QrXx- x) 5 X Dieſe Werthe, verbunden mit denen aus 581 geben: 8 630) ABDA r2(ꝙ— sin. ꝙ) 5 (iin.— 1)— yV2— 72) 99 0 5 5 Qrx-x2 S=rz. Are.(vn.—9)-CGC-EοV ˖̃rx=xX) y2 ＋ x2N 2* 5 6.Are(6n.＋—.—5 8N3— X2) 2R y2 ＋ÆxX2 2* Die übrigen Ausdrücke des Bogens in§. 88 geben ähnliche Gleichungen.

— 253— Mit Hülfe der vorhergehenden Formeln iſt es nun leicht, das Segment AFGD(Fig. 142) zu berechnen. Es iſt nach 630, wenn ED A geſetzt wird: 8 A ABDA Ar?. Arc. GEin.—AV GL2— A2) 75 und nach derſelben Gleichung für HGE Sσ a: 8 3 4 5 BEFESR Arc.(Cin. ＋— a V(2— a2) daher: 5 A A AF6GD D 12(Are.(in.—— Are.(iin.—— 22 ＋ 12* — AV G2— A2)— a y d?— a2)) Um dieſe Formel zu vereinfachen, ſetze man, es ſey: 38 A A 8 Are.(oin.— S= ꝙ und Are.(ein.—— 5 1 (2— A2) ebenſo: 5 a 15 5 FEein 8 Und 608 W 55 V(2— a2) da nun: sen. ꝙ. co.— cos. ꝙ. sin. ν sin.(ꝙ—)0 (r a) NνP να A42) 2 13 mithin: AVG2— a2)— a V(12 38 12 = ν=σ Are.(an.— ſo erhält man: 212 AFGD r2. Arc.(Sin. 8 8 1* 5 — A N(2 84 A2ꝛ59 V(12 4² Auch dieſer Ausdruck läßt ſich wieder bedeutend verändern. Man ſetze HE= A＋, ſo iſt: 2 12(J ＋ EO)²

Hieraus erhält man: 1 A—as= AEO-- EC AHEECYEOCHECEο iine folglich: 7. EC SA—21 2 J Vermittelſt dieſes Werthes kann man die Wurzelgrößen durch andere Ausdrücke erſetzen. Es iſt: A2— a?— 22 % KA⁴ E⏑b Q QEYEYEY=Z· X0 A² 2 7 VdGꝰ ◻◻ ＋ EC——— mithin: — AVG2— A2) 3 As— a2 AV(CI2— a2) K* 2 2EEEEXETETETETETTTTTTT õ 2 7. a. a V C˙— 4290— 77——— 2 I Durch Abzählen erhält man nun wieder hieraus: AVG2— A2)— a VY 02— a2) As— a2 A— 22 A— a A2 ＋ as— A1 35 2 7 A ＋ a— a Ada τ ο ι 53 2 L. Aο A Aa 4 a— 4Æ 35 2 I e 2⁴ 555 2 I und AVd2— az)— a V G— A2) A— aa A A a A˙ ＋A 5 2 7 ‚

— 255— A5 ＋a?— a à4(A ＋ a) ＋ 22 A＋ a) 2 2 A(A— ½ ＋. 22) 2 2 Durch dieſe Veränderungen geht die obige Gleichung über in: 631) AFD R ＋ r2. Arc.(in.— 22 Soll die Fläche bloß durch diejenigen Größen, welche man an ihr meſſen kann, berechnet werden, ſo mußer noch weggeſchafft A werden. Es iſt nun: ä 2 ＋. AAFEa!-Z1— 2 A2. 42— 222 A2 J2 42 2 ＋4A222 8 4 2¹ (K— 42) ＋ 22(2 A2 4 2 a2) ＋ 24 4 2 L 8 4 7 22(A2 ＋ 2 à A＋ a? ＋. A2— 2 a A ＋ a2) ＋ 24 4 L5 GTa)s.(A—a)s ＋22(AFa)2 4- Z2(A- ＋C-＋2 4 2 8 2) 4 22 A Wird dieſer Werth eingeführt, ſo entſteht: ͤ —. 2 L ((ATa)2 ＋22)((A—a 42 2Z2. AJ a) 5—9 A81925 Läßt man A r werden, und ſetzt a= y, 2 S u, ſo geht die Gleichung 631 über in(Fig. 143): 4 633) AFGD A uV(r2— u2) ＋ r2. Are.(Zin.—＋

— 256— u — 2 2.—— Su. y J(u2 ＋ y2). Arc.(oin V Soll der Inhalt des Ringes ABD(Fig. 144), gebildet von zwei konzentriſchen Kreiſen, gefunden werden, ſo iſt die Fläche des großen Kreiſes u. r? und die des kleinen Zu r12; daher: ii„„r 8 ＋r SA. G T ri) rIi) σ= ̃ri). 21··* 3— rTr. Nun iſter— ri die Breite des Ringes 1,—— der j mittlere Radius, alſo 2 1.—½— der mittlere Kreisumfang, daher, wenn dieſer W geſetzt wird: 634) ABD= I. W Man findet hiernach den Inhalt des Ringes, wenn man den Umfang des Kreiſes, welcher in der Mitte zwiſchen beiden Kreiſen gezogen werden kann, mit der Breite des Ringes vervielfacht. Auf gleiche Weiſe findet man die Fläche des ringförmigen Kreisaus⸗ ſchnittes(Fig. 145). Es iſt der große Ausſchnitt r2. ꝙ der kleine S K r12. ꝙ, daher: 12* 1 2 1. 2—.— 1 ABD 3 r2 ꝙ— Z r1? ÆÆ ο 5 1 r... 1, S== οο 2„—ri)==— Kann man die mittlere Sehne AD und den mittlern Abſtand BE meſſen, ſo läßt ſich der mittlere Bogen nach den Formeln des H. 8s berechnen. Das Vorhergehende wird hinreichen, zu zeigen, wie andere Kreisſegmente berechnet werden können. Die Flaͤche ABDdba(Fig. 146) wird gefunden, wenn man von dem Abſchnitt ABDA den Abſchnitt abda hinwegnimmt. Das Möndchen ABDEA(Fig. 147) beſteht aus dem Ab⸗ ſchnitt ABDA, weniger dem Abſchnitt AEDA. Die Linſe ABDEA(Fig. 148) beſteht aus der Summe der Abſchnitte ABDA und AEDA. Andere Flächen werden auf ähnliche Weiſe zuſammengeſetzt oder zerlegt werden können.

Einundzwanzüigſtes Kapitel. Von der Verwandlung der Flächenräume ebener Figuren. F§. 95. Verwandlung der Dreiecke in andere Dreiecke. Die Unterſuchungen der§o. 91 und 92 bilden die Grundlage für die gegenwärtige, beſonders ſind es die Sätze 599 und 600, die hier am meiſten Anwendung finden. Sollen die Flächenräume zweier Dreiecke ABC und AlBICI (Fig. 149) einander gleich ſeyn, ſo hat man die Bedingung: n oder auch: Da ſich aus einer jeden von dieſen Gleichungen nur eine Größe beſtimmen läßt, ſo muß die Bedingung der Gleichheit bei— der Dreiecke noch mit anderen verbunden werden, durch welche über die übrigen Elemente ſo verfügt wird, daß ſie hierdurch als beſtimmt angeſehen werden können und nur ein Element noch der Rechnung unterliegt. Die Auflöſung einer beſonderen Aufgabe kann ſowohl durch Rechnung als auch durch Zeichnung geſchehen. Im letzten Falle muß die Vorſchrift zur Konſtruktion durch die Rechnung oder durch einen beſonderen Beweis als wahr erwieſen werden. Das Folgende ſoll von dieſem Gegenſtande, der von ausge— dehnter Anwendung iſt, nur ein kurzer Abriß ſeyn, eine Andeu— tung über die Behandlung deſſelben im Allgemeinen. Knüpft man die Bedingung der Gleichheit beider Dreiecke noch an die weiteren, daß auch die Grundlinien beider gleich ſeyn ſollen, bi b, ſo zeigt 635, daß auch hiI bh ſeyn muß. Zieht man daher durch B(Fig. 150) mit AC parallel die Linie BD, ſo haben alle Dreiecke, wie ADC gleiche Grundlinie und gleiche Höhe mit AB“, folglich auch gleichen Flächeninhalt mit demſelben. Hieraus ergibt ſich nun der ſchon in 599 und 600 enthaltene Satz: Arneth, Geometrie. 2

637) Dreiecke, welche gleiche Grundlinien haben und zwiſchen Parallellinien liegen, haben gleiche Flächenräume. In dieſer Form finden die erwähnten früheren Sätze bei allen folgenden Unterſuchungen die häufigſte Anwendung. 1) Verwandlung des Dreiecks in ein anderes, deſſen Scheitel in einer Seite oder einer Verlängerung derſelben liegt. Soll das Dreieck ABC(Fig. 151) in ein anderes verwandelt werden, deſſen Scheitel in D liegt, ſo daß beiden Dreiecken der Winkel A gemeinſchaftlich bleibt, ſo ziehe man BE A DeC, als⸗ dann wird ADE ABC ſeyn. Nach 637 iſt BDC ECD daher: Fbſ eb Ab BDC ABC. Sind die Seiten AB ν νν QAA b, AD S ei, AE hu, ſo iſt nach 636: . b. sin. A2 ei. bi. 8ün. A daher: 6380 bt= urtd 95 91 Liegt der Punkt D in der Verlängerung der Seite(Fig. 152), ſo iſt die Zeichnung wie die Nechnung dieſelbe; für die letztere iſt BD und ſomit auch CE negativ. Iſt in dem neuen Dreiecke die Seite AE berechnet, ſo kennt man von demſelben zwei Seiten und den eingeſchloſſenen Winkel, aus dieſen können alle übrigen Stücke des Dreiecks berechnet wer⸗ den(F. 59). Die Lage des Punktes D kann auch anſtatt durch AD, durch die rechtwinkeligen Coordinaten X und Y gegeben ſeyn. In dieſem Falle hat man nur nöthig in den obigen Gleichungen AD durch G ＋＋ 729 zu erſetzen. Es iſt hierfür: 3 3 In dieſem Falle, wie in dem folgenden, kann die Grund⸗ linie AE in der Richtung von AC willkürlich verſchoben werden, 639) b. IUI

ADE, alſo auch mit ABC. alle Dreiecke, welche hierdurch entſtehen, haben gleiche Fläche mit 2) Verwandlung des Dreiecks in ein anderes, deſſen Scheitel im Innern des erſten liegt. Iſt D CFig. 153) der Scheitelpunkt des neuen Dreiecks, ſo ziehe man BE tt AD und BF gt CD, ſo hat EDF gleiche Fläche mit ABC. Es iſt(637): EDF= EAD ＋ ADC ＋ CDF = ADB ＋ ADC ＋ CDB AzC. Soll der Anfangspunkt der Grundlinie nicht in E, ſondern in einem gegebenen Punkte in der Richtung A0 liegen, ſo darf man die Grundlinie nur in den gegebenen Punkt verſetzen. Wie in dem vorigen Falle, ſo iſt auch hier, wenn die Buchſtaben ihre frühere Bedeutung behalten: FFFRnnn daher: bein EFÄ e(6s C005. A eο 640) b1— n1 Für die Erweiterung der Grundlinie an beiden Seiten iſt: hh re daher: EB S AD. 8 und BF DC. 1 nun iſt: AE Æ EH— AH EB. cos. ◻ AD. cos. E. 8 0 h. eben ſo: ear 1 mithin: 641) AE AG. 1 CF 6 h.

— 260— 3) Verwandlung des Dreiecks in ein anderes, deſſen Scheitel in einem Punkte außerhalb deſſelben liegt. Es ſey D der Scheitelpunkt des neuen Dreiecks. Man ziehe(Fig. 154) DF ＋t AC und verwandle ABC in AFE, bildet man nun über derſelben Grundlinie AE das Dreieck ADE, ſo iſt KDE Æ AFE ABC. Auch hier kann die Grundlinie an einen beſtimmten Punkt in der Richtung von 40 verſetzt werden. Zur Beſtimmung der Grundlinie AE und der Abnahme EC derſelben, dienen die Gleichungen: 33 642)0 bi 15 ie 1 1 11 4) Verwandlung des Oreiecks in ein gleichſchenkeliges. Iſt die Entfernung beſtimmt, in welcher der Scheitel des Oreiecks von der Grundlinie liegen ſoll, ſo errichte man im Mittel⸗ punkt II der Grundlinie AC C(Fig. 155) eine Senkrechte und mache UD gleich der gegebenen Entfernung. Man ziehe nun zuerſt BE Af AC und verwandle ABC in das gleichſchenkelige Dreieck AKC. Nunmehr ziehe man FE 4r A und GE A CD, ſo iſt FD6 das verlangte gleichſchenkelige Dreieck. Aus 637 ergibt ſich, daß AEC ABC. Mit Hülfe deſſel⸗ ben Satzes findet man, wie in(2, daß FDG AEC, alſo auch ABC. Die Höhe IID iſt der gegebenen gleich, und mit Leichtigkeit erkennt man, daß FDG gleichſchenkelig iſt. Iſt nicht die Höhe, ſondern die Grundlinie FG des neuen Dreiecks gegeben, ſo trage man dieſe vom Mittelpunkte H von AC ſo auf, daß HF= HG FG, und ziehe AD H. FEE oder CD rf GE, ſo wird hierdurch der Punkt D, alſo auch FDG beſtimmt. Die Rechnung bietet für beide Fälle nichts Neues dar. 5) Verwandlung des Dreiecks in ein gleichſeitiges. Man verwandle das gegebene Dreieck zuerſt in ein gleich⸗ ſchenkeliges ABC(Fig. 156), über deſſen Grundlinie bilde man das gleichſeitige Dreieck AKlC. Nunmehr beſchreibe man über B6

— 261— einen Halbkreis und errichte in Hauf BG ſenkrecht die Linie HK. Zuletzt mache man E6 π GK und ziehe DE rtt All und FE üt ClH, ſo iſt DEF. das gleichſeitige Dreieck, welches gleiche Fläche mit ABC hat. Dieſe Zeichnung beruht auf folgender Rechnung: Es ſeyen b und h Grundlinie und Höhe des zum Grunde liegenden Dreiecks b, und h, des gleichſchenkeligen Dreiecks ABC, ferner ſey DF= be und EG= ha, ſo muß zuerſt ſeyn: rn Nach 387 iſt nun h.= 2 b VM 3 daher: b. bb V3 alſo: „3W Die Konſtruktion gibt fur dieſe Höhe EG= GEK oder nach §. 87, Fig. 120 und nach 387: EG= GK 33 HG h AC. V3 alſo dieſelbe Größe wie die Rechnung— 6) Verwandlung des Dreiecks in ein anderes, durch Verände— rung der Richtung einer Seite. Es ſey ABC(Fig. 157) das Dreieck, man ſoll die Lage der Seite BC ſo verändern, daß ſie einer gegebenen Richtung D0 pa— rallel wird. Es ſey EF die neue Seite. ene, bſo muß wegen der gleichen Flächenräume ſeyn: X. bE Es iſt aber auch wegen der Parallelität von EF und CD: nnbe ododer 75 b Führt man den Werth von JY, welcher hieraus hervorgeht, in die vorſtehende Gleichung ein, ſo erhält man: Die Richtung von CD gegen AC ſey durch den Winkel a gegeben, ſo iſt: AD. sin. DSb.sin. à« oder AD. sin.(A ＋ d) b. sin. a

Man erhält daher: 3 0 çen.(& ＋T 4) Die Gleichung x Æπ. AD kann leicht konſtruirt werden. Man beſchreibe über Ab einen Halbkreis, errichte in B die Senk⸗ rechte B6 und beſtimme E ſo, daß AE ν A(, die Linie EF CD iſt alsdann die geſuchte. Nach dem in(5) angeführten Satze erhält man durch die Konſtruktion: *2 ν AE A62² AD. AB C. AD alſo genau daſſelbe, wie durch die Rechnung. §. 96. Verwandlung der Dreieche in Viereche. AB0 das Dreieck und AIA2A;A, das Viereck, iſt nach 601 und Es ſey welches mit dieſem gleiche Fläche haben ſoll, ſo 605 die Bedingungs-Gleichung: C. b. 6n. Aai ag 6in. A2— àa1. as· sin.(A ＋ Az;) „„„ für die Verwandlung des Dreiecks. Die Flächenbeſtimmung des Vierecks hängt von fünf Größen ab, vier Stücke müſſen daher unmittelbar oder durch gewiſſe Bedingungen gegeben ſeyn und nur ein Stück kann durch Rechnung beſtimmt werden. Die Unterſuchung wird hierdurch ſehr mannigfaltig und das Folgende ſoll nur eine allgemeine Idee geben, wie Rechnung und Zeichnung bei dieſen Verwandlungen geführt werden müſſen. 1) Verwandlung des Dreiecks in ein allgemeines Viereck. Es ſey AIA20 Fig. 158) das Dreieck, es ſoll daſſelbe in ein Viereck verwandelt werden, welches mit dem Dreiecke die Punkte Al, Ar gemein hat, außerdem durch einen beſtimmten Punkt Az geht und deſſen Grundlinie in der Richtung von AC liegt. Von dem Vierecke ſind in dieſem Falle durch die gegebenen Bedingungen beſtimmt a, aà, An, Ag, alſo die vier nothwen—⸗ digen Stücke, berechnen kann man a, oder az, oder auch die Rich— tung von as durch einen der Winkel A; oder A4, wodurch als⸗ dann das Viereck beſtimmt wird. 0¹

Die Form des Ausdruckes für den Flaͤcheninhalt des Viereckes muß alſo ſo gewählt werden, daß nebſt den gegebenen Größen auch die Unbekannte, welche man finden will, darin enthalten iſt. Will man a, finden, ſo iſt, wenn A10= b, nach 601 und 605: an. b. Sun. AI Sal. ai. sin. AI— a. ag. 6in.(AI ＋ A2) al1 àa ein K oder „ a Gi sin. A— as in.(Al A2)) daher: 3 b ein nn A29 645) a. 8 nr(AII I) Die Form dieſes Ausdruckes kann geändert werden; man beachte, daß a. b. 8in. Ai 2. AIlA2 C und ai. a2. 8in. Al IA. ſo wird: 646) a. A.A2 R² 238 ai. Sin. Al— àg. 6in.(AI ＋T A2) Hat man hieraus a, berechnet, ſo findet man die übrigen Stücke des Vierecks nach den Vorſchriften des ſechszehnten Kapitels. Andere Stücke des Vierecks können unmittelbar nicht ſo leicht wie aà, gefunden werden, daher es beſſer iſt, erſt dieſe Größe und dann mit Hülfe derſelben die verlangten Stücke zu berechnen. Durch Konſtruktion erhält man das Viereck ſehr leicht. Man e A2A, f A3C, ſo iſt A1A2 A3A das geſuchte Viereck; es iſt: AIAAA. ν AIA2A ＋ AAz;A. AAIA2 A, ＋ ACA, AIA2C Iſt ſtatt A; der Punkt A und die Richtung von az oder der Winkel Al gegeben, ſo iſt: ai b. Sin. Ai Sag. a. 6in. A.— az. al. 5in.(A. A1) a, n oder: ai cb— a.). 6in. Al Sa,(a,. sin. A.—- a1. sin.(A. ＋ A1))

daͤher: 4 a](xb— af). zin. A] 6 79 A3 Erruee 0 33„ 2......... al. sin. A.— a1 · Sin.(A ＋ A1) Auch hier kann man au. b. ſin. K.= 2 A1A n sin. AI1 2. AIAr Al ſetzen. Hierdurch wird: 2. AIAC— AIA2A) e a1. 57n.(X ＋T AI) A1 244 Die Vorſchrift zur Zeichnung iſt: Man ziehe A3 C Fr A2A,, 18 ſo wird hierdurch der Punkt A; und durch dieſen das ganze Viereck beſtimmt. Beweis wie oben. Daſſelbe Verfahren beobachtet man, wenn As innerhalb AIAà20C fällt. Iſt der gegebene Punkt Ar des Vierecks von dem des Dreiecks verſchieden, und verwandelt man das Dreieck in ein anderes, deſſen Scheitel in A; liegt, ſo führt das angegebene Verfahren gleichfalls zum Ziele. 2) Verwandlung des Dreiecks in beſondere Vierecke. Soll das Dreieck in ein Trapez verwandelt werden, deſſen eine Seite AB(Fig. 159) mit der des Dreiecks zuſammenfällt, f und deſſen Grundlinie in der Nichtung von A0 liegt, ſo muß der dritte gegebene Punkt in einer Linie BF liegen, die parallel zu AC iſt. Iſt F der gegebene Punkt, ſo führt die unter(1) angegebene Konſtruktion gleichfalls zum Ziele; in dieſem beſonderen Falle wird 60 von PD halbirt. Man kann deßwegen die Verwandlung auch 0 ſo vornehmen, daß man 30 in E halbirt und durch dieſen Punkt die Linie LD zieht. Bei der Verwandlung des Dreiecks in ein Parallelogramm iſt die Richtung von DP gegeben, ſie iſt parallel zu AB; man zieht daher durch den Mittelpunkt E von B0C die Linie ED pa⸗ as Parallelogramm ABFD ρ A3C. lung des Dreieckes in ein Trapez iſt nachfol— rallel zu AB, ſo iſ Bei der Verwan gender Fall der wichtigſte. Man ſoll das Dreieck ABC(Fig. 160) in ein Trapez ADEC

265— verwandeln, ſo daß die Grundlinie AC beiden Figuren gemein— ſchaftlich iſt, AD in die Richtung von AB fällt und EC gleich— falls eine gegebene Richtung hat. Hier iſt es alſo nöthig, den Punkt D zu beſtimmen, von wel— chem aus die Gerade DE àf A zu ziehen iſt. Man bilde das Dreieck AKC und ziehe BF ut KC. Es ſey DE xdie unbekannte Linie und DII Aε EC, AC b, FC= d. Da an die Stelle des Dreiecks DBM ein anderes, ihm gleiches, MEC zu ſetzen iſt, ſo müſſen DKE und BKCC einander gleich ſeyn, daher: DK. KE BK. KC oder 5—— 18 nun iſt aber: KE DE 85 BR FC d hnr krr daher: „ oder x= b. 4 Die Konſtruktion dieſer Gleichung iſt leicht, man beſchreibt über AC einen Halbkreis, errichtet in F die Senkrechte FG und macht CII= CG, zieht man jetzt HD 4. EC, ſo iſt der Punkt D gefunden. Hiernach iſt: C62 σ CCl2 DE τ x ρ CF. AC b. d Es ſey AB eé und die Richtung von EC gegeben durch FeR AFB a, ſo iſt: AF. sin. sin.(& ＋ d) oder: — d) sin.. sin. A ＋ d) daher: Son. ꝙ mithin: 6400 Vb(b—

266— Für die Verwandlung des Dreiecks in ein Quadrat iſt, wenn „ die Seite deſſelben vorſtellt, die Gleichung: 6560)% b n Man ſetze daher(Fig. 161) DB ſo weit fort, bis BE b, beſchreibt man jetzt über Ed einen Halbkreis und errichtet die Senkrechte BF, ſo iſt dieſe X der Seite des Quadrates; denn nach 575 iſt BFe σε gB3D. EB. Auf ähnliche Weiſe, wie 575, läßt ſich 574 bei der Ver⸗ wandlung der Rechtecke in andere Rechtecke oder der Parallelo⸗ gramme in andere Parallelogramme anwenden. §. 97. Verwandlung des Dreiecks in Fünf und Dieleche. Es ſey A1 A2 C(Fig. 162) das Dreieck, dieſes ſoll in ein Fünfeck verwandelt werden, welches die Seite a, mit dem Dreiecke ge⸗ meinſchaftlich hat, außerdem durch die Punkte Ar und Az; geht, und deſſen Grundlinie in die Richtung der Grundlinie des Dreiecks fällt. Von dem Fünfecke iſt hier als gegeben anzuſehen ar, a2, àß und Al, A2, As, damit daſſelbe beſtimmt ſey, iſt noch eine ſiebente Größe nöthig; am leichteſten findet man az. Mit Hülfe von 606 erhält man: A b Sag al. sin. AI— a,. az. sin. A12 ＋ à5 · a3 sin. AIs Tali. à42. 6in. A2— an. as. 6in. Auls ein. A. und hieraus: 651) a ¹ b sin. Al— ai ag sin. A2 Caras sin. Allz— àg àag sin. Az3 al 57n. KI— a2. sin. Aiſz T àas. gin. Ail3 Dieſer Ausdruck kann einfacher wenn man beachtet, daß das erſte Glied des Zählers.AIAà C, die folgenden aber— 2. AIA2 Azg AA 55 17510 8915 man auch: 2A2 6523 a——ͤ—ʃ 1 8 Na, 2 T as. Sen. Ails a1. Sin. A

Die bisher geführten allgemeinen Unterſuchungen geſtatten eine Anwendung auf die folgenden Vielecke. Soll das Dreieck in ein neck verwandelt werden unter Bedingungen die den obigen analog ſind, ſo iſt die zur Beſtimmung des neckes nothwendige nte Seite: 2(AKüin„ al 6mn. X— à2. 5in. XIII T..)ia 2. Sin. AII-2 653) an Die Zeichnung, deren Gründe wieder auf dem Satze 637 be⸗ ruhen, iſt folgende: Man ziehe A D Jt A3 C, hierdurch wird der Punkt D be— ſtimmt. Mit A D ziehe man von Neuem parallel A3A5, ſo iſt AIARAB3AlAs das verlangte Fünfeck. Aendert man die zu Anfang des§. gemachten Annahmen da— hin ab, daß nicht A4, wohl aber der Punkt As und ſomit auch a‚ gegeben iſt und außerdem noch die Richtung von à, oder der Winkel Aß, ſo kennt man vom Fünfecke aß, ar, az2, und Az, Al/ A2, hier wird am leichteſten a berechnet und die Gleichung iſt: =alag. ein. A;— al. al. 8in. A51 T al. az. sin. Aß a. en. A:— 4, ü½ kmn. Alla a1 àa s3in. A2 daher: 654) a. 110 a bain. Al— aß al sin. AI Taß ag sin. All2— ai ag sin. Ag FFFda ſin K51z oder auch: 2.(AIAYC— A, A A A3) aß. 6vn. K5— al. sin. K5/1 Taz2. 6in. A5 5 655) a4 Allgemein iſt hiernach für die Verwandlung des Dreieckes in ein neck unter den gegebenen Bedingungen: „ an. 57n. An— 41 6in. AnſI E..()Tiag. sin. Anſz 656) An-1Æ Die Zeichnung gibt das Fünfeck auf folgende Weiſe. Man ziehe A2D 44 AzC, ſo wird hierdurch der Punkt D beſtimmt,

268— ferner ziehe man A4D Tt A;A5, dieß gibt den Punkt A,, wo⸗ durch das ganze Fünfeck beſtimmt iſt. Die Rechnung gibt immer das fehlende Element des Vieleckes, mit deſſen Hülfe alsdann alle übrigen nach den früheren Vor— d ſchriften gefunden werden können. §. 98. Verwandlung der Viereche. 1) Soll das Viereck AIAgAgAl in ein Dreieck verwandelt werden, ſo ziehe man(Fig. 163) A3C ＋f AzAl, ſo wird A1A20 das Dreieck ſeyn, welches gleiche Fläche mit dem Vierecke hat. Iſt wieder b die Grundlinie des Dreiecks, ſo iſt: ai. b. sin. A1 2 KIAKK. daher: 2. AIAARA 6 6 1 Hat man hieraus b gefunden, ſo kennt man von dem Dreiecke zwei Seiten a, b und den eingeſchloſſenen Winkel A1 und aus dieſen Stücken können jetzt die andern berechnet werden. Durch die Verwandlung des Vierecks in ein Dreieck iſt auch deſſen Verwandlung in jede beliebige Figur gegeben, da in den vor⸗ hergehenden Paragraphen gezeigt worden iſt, wie das Dreieck in andern Figuren verwandelt werden kann. 2) Soll ein allgemeines Viereck in ein Trapez verwandelt wer— den, ſo hat man nur nöthig das Dreieck EBC(Fig. 164) in das Trapez EMNC zu verwandeln, dieß geſchieht nach der Vorſchrift, welche in§. 96, 2 gegeben worden iſt. 3) Iſt umgekehrt das Trapez AMND in ein Viereck AB0D zu verwandeln, ſo daß die neue Seite B0 einer beſtimmten Rich⸗ tung NP parallel iſt, ſo kann das im§. 95, 6 angegebene Ver⸗ fahren angewandt werden, wenn man die Seiten AM und DN bis zu ihrem Durchſchnittspunkte K fortſetzt. Der erſte von dieſen beiden Fällen gibt für die Rechnung nach§. 96, 2: MNZ EC. BL

— 269— Iſt nun BC τ b, ſo iſt: EC= b. 5 8 daher: „sin. B. ein. C sin. A. sin. D Zu praktiſchen Zwecken iſt die Kenntniß von AM und DN vortheilhafter, man findet aber dieſe Seiten leicht nach§. 78 aus den Seiten AD und MN und den Winkeln des Trapezes. Sin. C in. A 67n. D 4) Nunmehr iſt es auch leicht, ein Trapez ABCD Cig. 165) in ein anderes AMND zu verwandeln, deſſen eine Seite DN in einer gegebenen Richtung DF liegt. Man verwandelt zuerſt ABCD in das Dreieck AED und dieſes wieder nach§. 96, 2 in das Trapez AMND. In dieſem Falle berechnet man wieder am leichteſten zuerſt M eund dann mit Hülfe dieſes Werthes AM und DN. Es iſt, wenn AB S a, BC== b und AD d, AD¹N d: rrteren6) ferner iſt: EG. sin.&= AE. öin.(A 180 ＋ α AE. 6en.(A＋ a) und AE d=(b T d) a daher: EG= AE. sin.( ＋* 9 a4a. cb ＋ d) Lin. ＋E 00 Sen. d Sen. Wird dieſer Werth eingeführt, ſo wird: sin.(A ＋L d) 659) MN V(4⸗( Hieraus findet man nun MN aus gegebenen Größen des Vierecks KABCD und dem Winkel, welchen DF mit AD bildet. §. 99. Verwandlung der Fünf- und Dieleche. Auch hier iſt es nur nöthig, zu zeigen wie die Fünf- und Vielecke in Dreiecke verwandelt werden können, da hierdurch deren Umwandlung in jede ebene, von geraden Linien umſchloſſene, Figur gegeben iſt.

Al B AH AsA,; dann wieder Az geſuchte Dreieck. Es ſey AIARARAA,ß(Fig. 166) das Fünfeck, man ziehe C AaE, ſo iſt A1 A2C das Wie bei dem Vierecke iſt auch hier: 2. AI AARAA5 Allgemein iſt für die Verwandlung des neckes in ein Dreieck: 2. AIA2... An al. sin. A1 660) b 661) b Zweiundzwanzigſtes Kapitel. Von der Theilung der Flächenräume ebener Figuren. §. 100. Von der Theilung der Dreiecke. von einem der Eckpunkte aus in zwei Theile getheilt werden, ſo daß ſich die Flächen der Theile wie m:en verhalten, ſo darf man nur die dem Eckpunkte gegenüberliegende Seite in dieſem Verhältniſſe theilen; nach 600 verhalten ſich als— dann die Flächenräume der beiden Oreiecke, welche gleiche Höhen haben, wie ihre Grundlinien, alſo wie men. 2) Iſt das Dreieck ABC(Fig. 167) von B aus in drei gleiche Theile zu theilen, ſo theile man die Grundlinie A0 in drei gleiche Theile, ſind dieſe ADñ⁊, DE, EC, ſo iſt: ABD DBE EBC ◻ I ABC. Was für drei Theile gilt, findet auch für jede Anzahl von Theilen ſtatt. Sollen die Theile nicht gleich ſeyn, ſondern in den Verhaͤlt⸗ ... ſtehen, ſo theilt man auch AC nach dieſen der in 1) Soll ein Dreieck niſſen m: n: p Verhältniſſen. Die Beweiſe für dieſe Theilungen liegen wie dem Satze 600. 3) Soll das Dreieck ABC FFig. 168) durch Linien die von dem Punkte D, der in einer Seite liegt, ausgehen, in mehrere/ z. B. fünf gleiche Theile getheilt werden, ſo denke man ſich das Dreieck ABC in ein anderes ADE, deſſen Scheitel in D liegt, verwandelt. Die neue Grundlinie theile man jetzt in fünf gleiche IN. IN II0 P00

Theile, ſo werden nach dem Vorhergehenden ADF r FDGd We;= ADE AgBC ſeyn. Das Dreieck HDK enthält eine Fläche MK, welche nicht mehr dem Dreiecke ABC angehört, daſſelbe gilt für alle Dreiecke, deren Grundlinien ganz oder theilweiſe über C hinausfallen. In dieſem Falle iſt die Gerade DK keine Theilungslinie des Dreiecks mehr, ſie muß durch eine andere DM ſo erſetzt werden, daß DMN=(NK. Die Richtung von DM findet man aber leicht dadurch, daß man KM f CD zieht, hierdurch wird nach 637: DMC== DCk, und ſomit: DHCM S DHC ＋E DMC DHC ＋ DCK DHK ABC. Dieſes Verfahren ſoll in der Folge Uebertragung des Punktes K auf BC genannt und unter Beziehung auf das eben Geſagte nicht weiter gerechtfertiget werden. Soll die Linie DM von dem Dreiecke ABC ein Stück ab⸗ ſchneiden, ſo daß die Flächen der Theile ADMC und BDM ſich verhalten wie m:en, ſo verhalten ſich auch ABC und BDNM wie mn: n. Es iſt nun: ABCDA AB. BC. ein. B und DBMTBD. BM. sin. B daher, wenn AB=, BC S a, BD= d und BM Æ xX geſetzt wird: ABC: DBM S ac. sin. B: d. X. 6in. Bmgnn da sn. B herausfällt, ſo erhält man hieraus: H⸗ ä d m＋ an Wird x größer als a gefunden, ſo trifft DM nicht mehr die Seite B0; in dieſem Falle ſey D6 die Theilungslinie und A6 r y, ſo iſt, wenn AC=◻ b: ABC: ADGSA be. sin. A: 3(= d). y. 6in. Am＋n:m daher: bhe m 4) Iſt das Dreieck ABC(Fig. 169) durch Linien, welche von einem Punkte D im Innern deſſelben ausgehen, in fünf gleiche Theile zu theilen, ſo denke man ſich zuerſt ABC in ein anderes

272 Dreieck EDF verwandelt, deſſen Scheitel in Duiſt. Die neue Grundlinie EF theile man jetzt in fünf gleiche Theile, ſo ſind alle Dreiecke wie EDG, GDH u. ſ. w. einander gleich, alſo= * EDF ◻ 5 ABC. Von den vier Linien, die hier nach den dlinie gezogen werden können, ſind nur Theilungspunkten der Grund Dll und DK Theilungslinien des Dreiecks, die übrigen DPM, DB und DN erhält man, wenn die Punkte E und G auf AB, ſo wie Lüund F auf BCübertragen werden. Iſt die Richtung der einen Theilungslinie D6(Fig. 170) ge⸗ geben, ſo verfahre man wie vorhin, nur verrücke man die Theile 2 4 die Theilungspunkte ſind, 3 nach 6, 2 2, 3, ſo, daß wenn 1, e daher 4 nach K, 2 nach H, 1 nach Lüund F nach I zu liegen kommt; durch 6 und IU und Uebertragung von K auf BC, L und 1 auf AC ſind alsdann alle Theilungslinien beſtimmt. 5) Ein Punkt D außerhalb des Dreiecks ABC(Fig. 171) lie⸗ gend, iſt gegeben, man ſoll durch denſelben eine Gerade ziehen, die von dem Dreiecke ein Stück abſchneidet, welches ein beſtimmter Theil, z. B. à des Ganzen iſt. Man ziehe DE parallel zu BC, auf DE beſtimme man einen Punkt 6, ſo daß 6E ν BC, macht man noch FE πν AC, ſo iſt Dreieck GEF=ε] ABC. Man verwandle ferner GEE in das gleich große Dreieck DElH, wodurch der Punkt H alſo auch die Linie HE beſtimmt wird. Von C aus beſtimme man die Punkte K und L„ ſo daß CK CL z IIE, beſchreibe über KR, ſo daß ER= 1 EII, einen Halbkreis, und errichte in Lüdie Senkrechte LM. Be⸗ ſtimmt man zuletzt einen Punkt N, ſo daß KN= EKM, ſo iſt DN die Linie, welche von ABC ein Stück NPC=Æ AB5C, wie verlangt, abſchneidet. Dieſe Konſtruktion geht aus nachſtehender Rechnung hervor: Es ſey CN=Æ x, HE g, ſo muß wegen der Gleichheit der Flächenräume von NCP und HED ſeyn. DE 8 Wegen der Aehnlichkeit von NED und NCP iſt aber auch; PC: X DE: NE oder PC. NE Æ◻ X. DE 1* 1 605)

— 273— Führt man den Werth von PC, den man hieraus erhaͤlt, in die vorſtehende Gleichung ein, ſo wird: NE Dieſe Relation gibt die Rechnung. Nach der Vorſchrift der Zeichnung iſt: rkc:= KKMNM KMͤz ＋ g. KM 4 1 gꝛ. Nach§. 87, Seite 231, iſt aber g. KR; daher: xꝛ ◻νg. KRTg. MfTg g KRT KM ＋4280 = g. KR T＋ KN T RE) g. NE was ganz mit dem Obigen übereinſtimmt. Beachtet man, daß NE ε Xx ＋ CE und ſetzt man der Kürze wegen CE d, ſo iſt: xꝛ νg·&＋ d) gx ＋ g d alſo: 5 Ia E 8² Mze KL. KR hieraus erhält man: r(gd ＋ 4 g2) g VRgGd ＋ 0) Iſt die Lage des Punktes D durch die rechtwinkeligen Coor— dinaten Xxi und y. gegeben und iſt AC b, BC Saz ſo iſt: ab g=2=— 61n. C 5 und d xi— b ＋ yi. cofang. C daher: b 5 6639 1 G- 5 KV 5 sin, 1 1 4 G1— b ＋ yi. coang. C) ＋ X 5 sin. 0 1 Iſt x berechnet, ſo erhält man PC ſehr leicht aus der Gleichung: ab 9 Geometrie. Arneth

WLV:— Dem aufmerkſamen Leſer wird es nicht ſchwer werden, von dieſem Falle zu dem überzugehen, wo D innerhalb des Dreiecks liegt, eben ſo, ſich die Fälle zu unterſcheiden, in welchen das obere oder das untere Zeichen der vorſtehenden Gleichungen An⸗ wendung findet. 6) Soll das Dreieck ABC CFig. 172) in drei gleiche Theile getheilt werden, durch Linien, welche zur Grundlinie K0 parallel ſind, ſo beſchreibe man über BC einen Halbkreis und theile dieſe Gerade in drei gleiche Theile. In den Theilungspunkten D und E errichte man die Senkrechten DF und EK; macht man nun BG= BF und BL= BK und zieht HG und ML H AC, ſo iſt HBG 3 ABC, MBL= ABC, alſo HB6 MIHGL = AIMLC2= 3 ABC. Die Dreiecke ABC und HB6 ſind ähnlich, daher nach 593: ABC: HBG B30C2: B62 Nun iſt aber: Bd2= BFz BD. B53C BC. 60* B0C2 daher: ABC: HBGd B3C2: 3 BC2 3: 1. Für ABC und MBBL findet man eben ſo das Verhältniß 3: 2, woraus dann die angegebene Gleichheit der drei Theile folgt. Auf gleiche Weiſe verfährt man, wenn das Dreieck in mehrere gleiche Theile oder nach beſtimmten Verhältniſſen getheilt werden ſoll. Soll das Dreieck durch die Linie HG im Verhältniſſe von t werden, ſo ſey 8C= a, B6 ν xX ſo iſt: m: n gethei ABC: HBG m n: n aber nach 593: nG a* daher: oder: xX2(m ＋ n) gaꝛn folglich: n 666) 2— mn

Sind die Theilungslinien nicht parallel zur Grundlinie, ſon— dern zu irgend einer beſtimmten Richtung AD(Fig. 173) und ſoll das Dreieck z. B. in fünf gleiche Theile getheilt werden, ſo theile man B0 in fünf gleiche Theile, beſchreibe über BD einen Halbkreis, eben ſo über DC, und verfahre nun für jedes der bei— den Dreiecke ABD und ADC, wie es oben angegeben wurde Iſt z. B. EF die Parallele, welche von AB zwei Fünf— theile abſchneiden ſoll, ſo iſt: EBF: ABD BF2: BD2 Nach der Konſtruktion iſt aber BF BH; daher: EBF: ABD BHz: BD: BG. BD: BD2 ＋ B3G6: BD da nun: ABD: ABC BD: BC ſo iſt: ne6g36 353030 1 daher: EBF 2 ABC. Soll eine Linie EF, die zu AD parallel iſt, das Dreieck ABC im Verhältniſſe von mu: n theilen, ſo iſt, wenn Dind BE *2 EBF ABD d aeaiie daher: 5 EB n F ＋Æ n ſomit: — n ad 7) Das Dreieck ABC(Fig. 174) ſoll von einem Punkte D in ſeinem Innern aus, durch Linien die den Seiten AB und B0C parallel ſind, in drei gleiche Theile getheilt werden. Man ziehe BK, ſo daß AC in zwei gleiche Theile getheilt wird, AK oder CK theile man ferner in 3 gleiche Theile und 18*

beſchreibe darüber einen Halbkreis. Errichtet man nun in 6, ſo daß GK AK, die Senkrechte EU und macht EK ElII, ſo gibt die Linie ED Ht AB den Punkt D, von welchem aus die den Seiten parallelen Theilungslinien gezogen werden müſſen. Der Beweis beruht auf den vorhergehenden Konſtruktionen. §. 101. Theilung des Vierecks. 1) Das Viereck ABCD(Fig. 175) ſoll vom Punkte B aus in irgend eine Anzahl, z. B. fünf, gleiche Theile getheilt werden. Man verwandle ABCD in das Dreieck KABE, theile AE in fünf gleiche Theile, ſo iſt ABF FBG 2. I ABE 1 „ AkC. Diejenigen Theilungspunkte, welche wie K über AD hinausliegen, müſſen auf CD übertragen werden. f 36 Das analoge Verfahren beobachtet man, wenn die Theilung nicht in gleiche Theile, ſondern nach beſtimmten Verhältniſſen ge— ſchehen ſoll. 2) Iſt das Viereck ABCD(Fig. 176) vom Punkte E aus in fünf gleiche Theile zu theilen, ſo verwandle man das Viereck zuerſt in das Dreieck FEG und theile deſſen Grundlinie FG in fünf gleiche Theile. Die Dreiecke HEK, KEL, LEM ſind unter 15 ſich gleich und S FEG ν ABC, ferner iſt MECD MEGd= I FEG ◻ ABCo, eben ſo iſt ABEH HEF N= FfHGÆ ABCPD. Fallen von den Theilungspunkten der Grundlinie FG einige über die Grenze der Grundlinie des Vierecks AD hinaus, ſo müſſen ſie auf die entſprechenden Seiten des Vierecks übertra⸗ gen werden. 3) Soll das Viereck ABCD CFig. 177) in fünf gleiche Theile getheilt werden, durch Linien, die von einem Punkte E im Innern deſſelben ausgehen, und iſt hierbei eine Theilungslinie EF vorge— ſchrieben, ſo verwandelt man das Viereck zuerſt in das Dreieck KFL. und dieſes wieder in das Dreieck GEll; nunmehr theilt man die Grundlinie GIl des letztern in fünf gleiche Theile und ＋ überträgt Mnach R, P nach&, hierdurch werden die vier übri⸗ gen Theilungslinien beſtimmt.

Beim Uebertragen der Punkte, die zwiſchen& und G'liegen auf AB, oder der, welche zwiſchen D und H liegen, auf CD, kann es ſich ereignen, daß der übertragene Punkt über B hinaus auf die Verlängerung von AB oder auf die von D0 fällt, in dieſem Falle muß derſelbe von Neuem, auf gleiche Weiſe, auf BC übertragen werden. Die Gründe hierfür, ſo wie für die letzte Thei— lung, ſind leicht aufzufinden. 4) Soll das Trapez ABCD(Fig. 178) durch Linien parallel zur Grundlinie in drei gleiche Theile getheilt werden, ſo ziehe man AE Ht DC, ſodann beſchreibe man über BC einen Halb— kreis, mache FC= CE und ziehe FGl ſenkrecht zu BC. Die Linie BG theile man jetzt in drei gleiche Theile, in K und I, und errichte in dieſen Punkten die Senkrechten UHI und KL. Zu— letzt beſtimme man die Punkte 1 und 2 auf BC, ſo daß C1 EI und C2=(L, durch die Linie IM und 2P f DC werden die Punkte M und P beſtimmt, aus welchen man mit AD parallel die Theilungslinien MNund P zieht. Soll die Theilung des Trapezes ſo geſchehen, daß: AMND:: MB(Nn: m, ſo iſt auch ABCD:: AMND mgnnn. Nun denke man ſich die Seiten BA und CD des Trapezes bis zu ihrem Durchſchnittspunkte KR verlängert, und ſetze B§ b, r, ſo iſt nach 593 BRC b2 BRC— ARD en daher: ABCD b2— d2 AMND Z und wenn beide Gleichungen vereinigt werden: ABCD„ m ＋n äͤä hieraus erhält man: e e m en m u

folglich: 668) X 2 V(b? d) ch— d 1 9 5 3 Iſt z. B. m ⸗= 2 und n 1 oder AMND 2 ABCb, ſo iſt: 3 C?b ＋ d) ch— d)) Wenn aber m= 1 und n⸗ 2 alſo AbaDñD= z AB0D, ſo iſt: AA d) ch— d)) Die Konſtruktion gibt für die Unbekannten: MNz= 102 I ρ C5BB CH b.(CG ＋ H6) =b(06 ＋ 4 B60 b(C6 ＋ z 60 60) =＋ b C6 ＋＋ 3 b) nun iſt: d2 S b. CG alſo 0 b daher: 63 2 75 2 MN. b03 b ＋ 3 bꝛ ＋ 3 d = b2— 3 Cbz— dz)= b 3 Cb ＋ d) h0— d) Eben ſo findet man für P den oben angegebenen Werth. 5) Soll das allgemeine Viereck ABCD(Fig. 179) durch Linien, die einer Seite, z. B A, parallel ſind, getheilt werden, ſo ver⸗ wandle man daſſelbe zuerſt, nach§. 98, 23 Fig. 164, in das Trapez AEbD und theile dieſes nach der Vorſchrift der vorher— gehenden Nummer in die verlangten Theile; fallen von den Thei⸗ lungslinien welche über CG hinaus, wie z. B. MN, ſo ver⸗ C in wandle man, nach F. 98, 4; Fig. 165, das Trapez 6 das Trapez 6PC, wodurch man die Theilungslinie PG erhält. Daſſelbe gilt für alle Theilungslinien des Trapezes GEFC. 6) Es ſey das Viereck ABCD(Fig. 180) gegeben; es wird verlangt, daſſelbe durch eine Linie, deren Richtung gegeben iſt, in Verhältniſſe von mu:un zu theilen.

Die Theilungslinie ſey EF, ihre Richtung ſey durch den Winkel ꝙ gegeben, Abi ſey=ν x, AB S a und BE ◻ν y. Für prak⸗ tiſche Zwecke iſt die Kenntniß von X und y am vortheilhafteſten, um ſie zu finden, beachte man, daß nach§. 81: 669) 0 8in. ꝙ a. çin.(ꝙ A) ＋ y. sin.(ꝙ ＋ A ＋ B) ferner iſt: ABCD: FABK 2 MmATun: m daher: III FABE ABCD Es iſt aber auch nach 605: FABE Æ HHZX. asin. A- 1Xx y. 6in.(A ＋ 8) ＋ Ta. y. sin. B daher: 2 m 18 8 8 70—— 7 dn B 670) 8 ABCDSXx. a. sin. A Xx. y. sin.(A＋B) Ta. y. sin. B Hier hat man alſo zwei Gleichungen mit zwei unbekannten Größen x und Y, welche auf die gewöhnliche Weiſe aufgelöst, zur Kenntniß ihrer Werthe führen. Die beiden Gleichungen geſtatten auch noch Anwendung auf andere Fälle, in welchen die Linie EF an andere Bedingungen geknüpft iſt. Wie die Aufgabe aber auch beſchaffen ſeyn mag, ſo muß man ſtets mit Umſicht die Rechnung anwenden und auf die mög⸗ lichen Fälle achten; ſo kann z. B. in dem vorgegebenen Falle die einie EF vom Vierecke kauch bloß ein Dreieck(Fig. 181) ab⸗ ſchneiden u. ſ. w. 2 Die hier mitgetheilte kurze Anleitung zur Verwandlung und Theilung der ebenen geradlinigen Figuren wird hinreichend ſeyn, eine Idee von der Methode der, Unterſuchung zu geben. Ausführlichere Schriften über dieſen Gegenſtand ſind:

— 2— Grüſon, Geodäſie, oder Anleitung zur Feldertheilung. Ber⸗ lin 1811. 1 Bd. 8. Hertel, Sammlung geometriſcher Aufgaben. Leipzig, 1838. 1 Bd. 8. M. Hirſch, Sammlung geometriſcher Aufgaben. Berlin, 1805. 2 Bde. 8. u. a. m. Für die Konſtruktionen insbeſondere: J. Steiner, die geometriſchen Konſtruktionen. Berlin, 1833. 150 8 Richter, geometriſche Aufgaben. Halberſtadt, 1829.

Sammlung von Aufgaben und Veiſpielen.

Zum erſten Kapitel. I.) Vom Ziehen und Kuftragen gerader Binien. Das Ziehen einer geraden Linie geſchieht mit Hülfe eines bekannten Werkzeuges, des Lineals. Wie genau daſſelbe aber auch gearbeitet ſeyn mag, ſo wird es doch nie vollkommen eine Gerade darſtellen, das Ziehen derſelben alſo auch nur annähernd geſchehen können. Soll auf einer gegebenen Geraden von einem beſtimmten Punkte aus, nach einer beſtimmten Seite hin, eine Gerade von gegebener Länge aufgetragen werden, ſo geſchieht dieß mit Hülfe des Zirkels, deſſen Enden man ſo weit von einander entfernt, bis ſie die gegebene Länge faſſen, welche man jetzt auf die vorgeſchrie⸗ bene Weiſe auf die Gerade aufträgt. II.) Vom Ziehen der Senkrechten und der Vildung des rechten Winkels. Soll man auf einer Geraden eine Senkrechte errichten, ſo fällt dieß mit der Aufgabe zuſammen, auf einer Geraden einen rechten Winkel zu bilden. Auch hierfür hat man ein bekanntes Werkzeug, den ſogenannten Winkel, an welchem zwei Gerade ſich befinden, die zu einander ſenkrecht ſind, die alſo einen rechten Winkel bilden. Man kann ſich einen rechten Winkel ſehr leicht ſelbſt her⸗ richten. An einen Streifen ſteifes Papier ſchneide man eine gerade Linie und falte alsdann daſſelbe ſo zuſammen, daß die Theile der Geraden genau übereinander zu liegen kommen, der Falz des Pa⸗ pieres wird alsdann die Senkrechte darſtellen.

284 An der Stelle, wo die Gerade des Papieres gebrochen wird, werden nach 6 zwei rechte Winkel gebildet, dieſe werden durch das Zuſammenlegen in zwei Theile getheilt, welche, da ſie genau über⸗ einander liegen, gleich ſind, alſo iſt jeder Theil ein rechter Winkel. Für die Bildung des rechten Winkels werden ſpäter noch an⸗ 0 dere Vorſchriften gegeben weeden. III.) Vom Ziehen der Parallel-Linien. Soll zu einer Ge⸗ raden eine Parallele gezogen werden, ſo kann dieß mit Hülfe des Lineales und des Winkels leicht geſchehen. Es ſey AB(Fig. 182) die Gerade und C der Punkt, durch welchen eine andere Gerade zu ihr parallel gezogen werden ſoll. Man bringe das Lineal UN mit dem daran geſetzten Winkel W in eine ſolche Lage, daß die Seite ed des Winkels mit der ge— gebenen Richtung der Geraden AB zuſammenfällt, alsdann ſchiebe it Lineales, den Winkel ſo weit fort, e man, bei unverrückter Lage des“ bis ſeine Seite ed den Punkt C erreicht; zieht man jetzt e1di, ſo wird dieſe Gerade parallel zu AB ſeyn. Mit der Seite ab des Lineales bildet die Seite ed von W, alſo auch die Gerade AB einen beſtimmten Winkel, welcher durch das Fortrücken von W, da ah ſich nicht ändert, immer derſelbe bleibt; die Geraden eidt und ed oder AB bilden alſo mit der— ſelben Linie ab den gleichen Winkel, haben daher auch unter ſich dieſelbe Richtung oder ſind parallel.(12). Unter gewiſſen Umſtänden kann auch nachfolgende Zeichnung mit Nutzen angewandt werden. Es ſey AB(Fig. 183) die Gerade und zu ihr ſoll durch C eine Parallele gezogen werden. Man ziehe durch CElnach Willkür eine Gerade CD und nach der vorhergehenden Vorſchrift zu dieſer EF parallel, nunmehr nehme man mit dem Zirkel die Weite CD und trage ſie von E nach F, zieht man jetzt durch C und F die Linie CF, ſo iſt dieſe parallel zu AB.(13). IV.) Venutzung des Kreiſes bei Konſtruktionen. Auf der in der Einleitung erwähnten Eigenſchaft des Kreiſes, beruht deſſen Zeichnung vermittelſt des Zirkels, ſie iſt ſo einfach wie die der

Bei ſehr vielen Konſtruktionen wird das Ziehen eines Kreiſes nothwendig, ſehr oft wird verlangt, eine Reihe von Punk⸗ ten anzugeben, die alle gleiche Entferuung von einem beſtimmten Punkte haben. Soll von A aus ein Punkt beſtimmt werden, der um eine gegebene Größe AM von demſelben 5 iſt, ſo wird jeder Punkt des Kreiſes MN(Fig. 184) dieſe Eigenſchaft haben. ſt eben ſo ein Punkt zu beſtimmen, der um eine andere Größe BP von B entfernt iſt, ſo beſchreibt man mit 115 Größe einen er geſuchte Punkt wird auf dieſem liegen. Ver⸗ ngen, verlangt man einen Win zu kennen, erſte Größe von A und um die andere von B entfernt iſt, ſo muß dieſer Punkt ſowohl in MN als in Pd, daher in gemeinſchaftlichen, dem Durchſchnittspunkte beider Kreiſe C Außer C gibt es noch einen Durchſchnittspunkt der beiden Kreiſe, welcher alſo dieſelbe Eigenſchaft, wie dieſer hat, man un⸗ terſcheidet ſie durch ihre Lage, der erſte liegt über, der andere unter AB, ſo daß es alſo für eine beſtimmte Lage nur einen Punkt gibt, welcher von A und von B um gegebene Größen entfernt iſt. Die Ent lng vom Mittelpunkte bis zum Kreiſe nennt man den V.) Von dem Transporteure und dem Auftragen der Winkel. Spätere Sätze werden zeigen, daß, wenn der über AB(Fig. 185) beſchriebene Halbkreis in zwei gleiche Theile getheilt wird und man den ilungspunkt mit dem Mittelpunkte C verbindet, der Winkel von 1800 am Punkte C, über AB gebildet, ebenfalls halbirt wird. Theilt man den Halbkreis in mehrere gleiche Theile, ſo wird auch der Winkel bei C, auf dieſelbe Weiſe, in eben ſo viele gleiche Theile getheilt. Auf dieſe Art iſt es gelungen, den rechten Winkel in gleiche Theile zu theilen. Dieſe Theilung geſchieht entweder aus freier Hand mit dem Zirkel, den man ſo lange weiter oder enger ſtellt, bis man den Theil getroffen hat, oder, bei weitem genauer, mit Hülfe einer Maſchine, der Theilmaſchine. . Durch dieſe letzte Art der Theilung hat man es zu einem erſtaunenswerthen Grade von Genauigkeit gebracht. Soll über

— 286— einer Geraden an einem gegebenen Punkte ein beſtimmter Winkel, z. B. von 300 gebildet werden, ſo bringt man AB in die Rich⸗ tung der Geraden und den Punkt C an den gegebenen Punkt, wird nun der 2 heilſtrich bei 30 auf dem Papiere bemerkt, ſo geht durch dieſen Punkt und durch C die Linie, welche einen Winkel von 30“c mit der gegebenen Linie bildet. Dieſe Methode, die Winkel aufzutragen, iſt jedoch nicht die einzige, in dem Folgenden wird eine andere angegeben werden, die, unabhängig von dem Kreiſe, der Linien abhängt. nur allein von dem Auftragen gera— Zum zweiten Kapitel. VI.) Eine Gerade in mehrere gleiche Theile zu theilen. Will man die Gerade AB Cig. 185) in fünf gleiche Theile theilen, ſo ziehe man nach einer willkürlichen Richtung die Linie AC und trage auf ſie von& nach C fünf beliebig große gleiche Theile, mit B und zieht mit 5 B die Linie 4 IV, erden die Punkte& und 1, 1und II, der entfernt, alſo AB in fünf gleiche verbindet man nun 5 3 III u. ſ. w. parallel, ſo w u. ſ. w., gleichweit von einan Theile getheilt ſeyn. Die Richtigkeit dieſer Theilung geht aus den Sätzen das§. 7 hervor. Wegen der gleichen Richtung der Parallellinie iſt nach 17, An das Doppelte von A,, weil auch A2 das Doppelte von Ar; daher A1 III. Eben ſo iſt Am das Dreifache von Au, weil As das Dreifache von Al, mithin Al= iII= uIIL u. ſ. w. Es iſt aber auch 2II das Doppelte von 11 und 3Ill das Drei⸗ fache von 1 I u. ſ. w. Iſt daher B5 ◻ν AB, ſo iſt 113ů 211 2 u. ſ. w. von AB. VII.) Von den Maßen und der Anfertigung des verjüngten Maßſtabes. Dieſe Theilung benützt man zur Anfertigung der Maßſtäbe. Die Einheit des Maßes iſt in den meiſten Ländern der Fuß, der jedoch von ſehr verſchiedener Länge angenommen wird. In Frankreich hat man als Einheit das Meter, dieſes iſt der

287 zehnmillionſte Theil des Erdquadranten. Vergleicht man die Fuß⸗ maße der verſchiedenen Länder mit dem Meter, ſo ergibt ſich: 1 Badiſcher Fuß 0,300000 Meter 1 Großh. Heſſiſchern„= 0,250000„ 1 Württembergiſcher„=◻ 0,286490„ 1 Baieriſcher„„„ 6,291889„ 1 Preußiſcher„E 90313853„ 1 Wiener„ 0,316102„ 1 Schwediſcher—— 0f, 296901 1 Däniſcher i 1 Pariſer 1— 0,324839 5 1 Engliſcher 1 Ruſſiſcher„ 90030 Nach dem Obigen kann man nun den Fuß in kleinere Theile, in Zolle, Linien u. ſ. w. eintheilen, und ſich dadurch genaue Maße zum Ausmeſſen der Linien ſchaffen. Sehr feine Theilungen, die einen hohen Grad von Genauigkeit haben ſollen, werden gleich⸗ falls mit einer Theilmaſchine gemacht. Für die Nachbildung ebener Figuren auf dem Papiere be— dient man ſich eines verjüngten Maßſtabes. Man nimmt nämlich einen beſtimmten Theil des Fußes, z. B. ab, als verkleinertes Fußmaß an Cig. 187), und theilt dieſen auf die angegebene Weiſe in 10 Theile oder Zolle ein. Die weitere Eintheilung des Zolles in Linien würde hier der Kleinheit der Theile wegen nicht möglich ſeyn; zieht man aber Linien, wie z. B. ed, vom untern Ende des 6ten Theilſtriches zum obern des öten und ſo für die übrigen, ſo tritt der Fall ein, den(Fig. 186) angibt, es wird vom erſten Querſtriche 2 Zoll, alſo eine Linie, vom 2ten 25 Zoll oder zwei Linien abgeſchnitten u. ſ. Zum dritten Kapitel. VIII. Auftragung der Winkel mit Hülfe der goniometriſchen Funktionen. Der Transporteur iſt zur Zeichnung beſtimmter Winkel nicht durchaus nöthig, ſondern es kann das Auftragen der Winkel

auch mit Hülfe der goniometriſchen Funktionen geſchehen. Soll B(ii Winkel von 360 gezeichnet werden, ſo findet man in 13 den Tafeln der goniometriſchen Funktionen. 1 sin. 360 0,59, cos. 360—0,81, tang. 360 0,73, colang. 360 1,38. Durch eine jede dieſer Funktionen kann nun der Winkel ge⸗ 16 zeichnet werden. 3 Wählt man zuerſt die Tangente, ſo iſt: 0— 3— 73 tang. 360 97—— 100 Nach 31 iſt aber: tang. Heneree Baſis MN(Fig. 188) ſey die Gerade und& der Punkt, wo der Winkel 36 angelegt werden ſoll; man trage von A nach B eine Linie von 100“ Länge auf, errichte in B eine Senkrechte und mache 80 73“, ſo wird: Senkrechte BC 73 35 0——————— 0,73 N9. 360 5 tang. CAB Baſis XI 100 0,73 lang. 36 9 alſo CAB 360 ſeyn. Hierbei iſt auf die Lage des Winkels keine Rückſicht genommen, ſie wird als gegeben angeſehen. Soll die Konſtruktion durch den Sinus geſchehen, ſo iſt nach 26: Senkrechte Hypotenuſe Man errichte in einem beliebigen Punkte B CFig. 189) der Geraden eine Senkrechte, mache dieſelbe S 59“; aus dem End⸗ punkte derſelben durchſchneide man mit dem Zirkel, in deſſen Oeff⸗ nung man vorher 100“ genommen hat, die Gerade AB in E, ziehe ED und mit dieſer parallel durch A die Gerade AC, ſo iſt der Winkel CAB ν 3609. 5in. Senkrechte DB 59 ——— ÆÆ—— 59 2 5 360 Hypotenuſe ED 0,59 Ssin 5en. CAB SSin. DEB 100 daher: CAB S 2360.

Die Konſtruktion durch den Coſinus iſt: Man mache(Fig. 190) AB=(81,, errichte in B eine Senkrechte, von A aus, ſo daß AC 100, durchſchneide man dieſelbe in Cund ziehe AC, ſo iſt CAB 360. Nach 28 iſt coS. CAB= 0,81 S cos. 36“ Mit Hülfe der Cotangente iſt die Zeichnung: Man mache AB (Fig. 191) 138, crrichte in B die Senkrechte 80= 100, zieht man jetzt AC, ſo iſt CAB σ 360. Nach 33 iſt: Baſis AB 138 33 colang9. CAB== Eenkrechte B6 100 1/38 colang. 360 daher CAB 366 Auf gleiche Weiſe können auch Sekante und Coſekante benützt egebenen Fällen iſt es nicht nöthig, daß feln nimmt, man kann ſtatt der Zähler che auch gleich Vielfache derſelben nehmen. werden. In man die Brüche — ¹ inkel aufzutragen, gewährt dann beſonders große Vortheile, wenn man auf dem Felde ohne Hülfe von Inſtru— menten mit dem Maßſtabe allein Winkel aufzutragen hat, oder da, wo wegen örtlichen Verhältniſſen Winkel-Inſtrumente nicht an— wendbar ſind. IX.) Veiſpiele und Aufgaben über die Belationen zwiſchen s, y, X und A. 5 b 1. Aufgabe. Man iſt in der Richtung AB von A nach C fortgegangen(Fig. 16), ſo daß 15 Entfernung AC= 100“ iſt, hierbei hat man 163 von AX in ſenkrechter Richtung um CD 1 87/ entfernt; wie groß iſt die Neigung von AB zu AX, oder wie C, fil groß iſt der Winkel A7 Nach 26 iſt 5 V 87 5. K 1000 0,87. Sucht man dieſe Zahl in den Tafeln auf, ſo findet man ſie Arneth, Geometrie. 19 0 V

— 290— nicht vollkommen genau daſelbſt; die ihr nächſte iſt 0,870069, und dieſe gehört dem Winkel von 600 28“ an, ſo daß alſo nahezu A 600 28“/ iſt. Es ſey y 206“, 8 354“, wie groß iſt A? 3407/ 8 57960,, éêß 2 »„ 1316/ 7835% 2 Bei dieſen Rechnungen kann man mit Vortheil ſich der Lo⸗ garithmen bedienen. Zu dieſem Zwecke hat man Tafeln einge⸗ richtet, welche, ſtatt der goniometriſchen Funktionen, deren Loga⸗ rithmen enthalten, ſo daß man aus dem Logarithmus der Funktion ſogleich den Winkel finden kann. Es ſey y= 4846“, 8ν 7356“ ſo iſt: 846 2 oin. 7— 8 A E Nun iſt nach den Vorſchriften der Nechnungen mit Logarithmen: log9.(oin. A) log. 4846— loh. 7356 und 409. 4846 3,685383 J09. 7356 3,866642 ＋ J09.(CSin. A) 79,818741— 10 log.(in. 41b12“ 30)0 Dieſer Logarithmus findet ſich gleichfalls nicht genau in den Tafeln, nimmt man aber den der ihm am nächſten kommt, ſo er⸗ hält man den angegebenen Winkel. Es iſt ſomit: log. Cin. A) log.(ein. 41“ 12“300 ſin. K sin. 41 12“ 30“ i1e 12 30“ Man berechne die vorhergehenden Aufgaben mit Hülfe der Logarithmen. 2. Aufgabe. In einer Richtung AB, welche mit A den Winkel A= 360 48/ bildet, iſt man von A nach Cum 486˙ vorwärts gegangen, um wie viele Fuße hat man ſich hierbei in ſenkrechter Richtung von AX entfernt?

Die Gleichung 26 gibt: 7 486 Wird auf beiden Seiten mit 486 vervielfacht, ſo iſt: y= H486. sin. 360 48“ ◻ 486. 0,5990236 291,1254 daher die ſenkrechte Entfernung: y S2 291/1% 2,54 sin. 360 48“ Auch hier vereinfacht der Gebrauch der Logarithmen die Rech— nung. Es iſt: 4og. Y= log. 486 ＋ 10g9. sin. 360 48 und log. 488 S 2,686636 109. sin. 360 48, 9,777444— 10 4og. y ＋ 2,464080 S l(og. 291,125 alſo auch hierdurch y 291“ 1“ 2,½5. Es ſey 8 S 2316“, A ◻ 44 28“, wie groß iſt y2 138,5, K680 27˙, 5*„ u2 = 10817, 81 437 5 7„ 12 3. Aufgabe. Die Richtung einer Geraden AB gegen AX iſt durch den Winkel A σ 44“ 347 gegeben; wie weit wird man ſich von A gegen B hin fortbewegen müſſen, um ſich in ſenk⸗ rechter Richtung von AX um 356“ zu entfernen. Nach 26 iſt wieder: 356 oin. 440 34, 2 daher auch, wenn mit s vervielfacht wird: 5S.Sin. 440 34“ 356 durch das Meſſen mit sin. 44 34“/, entſteht hieraus: 85 356 psin. 440 34“ 0,7017389 — F6507,3113 Die Entfernung K0 wird alſo betragen müſſen 507, 3“ 1,/'13. 19

2g9 Die Gleichung durch Logarithmen aufgelöst, gibt: 709. s log. 356— loh. sin. 440 34“ Log. 356 2,551450 Log. 67n. 440 34/ 99,846175— 10 log. 8— 2,705275 log. 507,311 alſo wie vorhin,s= 507“ 3“ 1,1. Es ſey y ν g854“, A 540 18“, wie groß iſt s? „ 618%„„3 5„„ „ 3418/¾5 X 240 46“,„„»„2 4. Aufgabe. Man iſt von A nach B fortgeſchritten um A0C 5097 und hat ſich hierbei in der Richtung AX um AD 480/ von A entfernt. Wie iſt die Nichtung von AB gegen AX beſchaffen, oder wie groß iſt der Winkel A2 Kach 28 iſt: cos. A= 55—— 505— 0,9430255 In den Tafeln findet man in der Kolumne des Coſinus die nächſte Zahl 0,9430293 und dieſer gehört der Winkel 199 26“ an, ſo daß alſo nahezu A= 19“ 26“Oiſt. Es ſey Xx ν 344/, s 753“, wie groß iſt A2 824/ 2 „ 3, H1037„ — 11— 58 „„„ 638, 5 856“,„ Leichter iſt die Rechnung mit Logarithmen. Für die obige Aufgabe iſt: 709. cos. A log. 480— 109. 509 o9. 480= 2,681241 Jog. 509 N206718 log. cos. A 79,974523— 10 log. cos. 19 26“ folglich, wie vorhin, A= 190 26“ Man ſuche für die oben gegebenen Werthe von 8 und x den Winkel A mit Hülfe der Logarithmen. 5. Aufgabe. Es iſt die Richtung AB beſtimmt durch den Winkel A= 640 12“/; von A iſt man nach B um AC σ 456“

— 293— vorwärts gegangen, wie weit hat man ſich hierbei in der Richtung AN von A entfernt. Nach 28 iſt: 12.— 5 456 daher, wenn man mit 456 vervielfacht: X 2(456. cs. 640 12, 456. 0,4352311 ＋ 198,465 die geſuchte Entfernung beträgt ſomit AD S 198“ 4“ 6,5. Die Nechnung mit Logarithmen iſt: 109. X log. 456 ＋ log. cos. 64 12“ log. 456 Æ＋ 2,658965 log. cos. 640 12“ ◻ 99,638720— 10 log. x ＋ V2,297685 log. 198,465 ö Man hat alſo Xx= 198,465, wie durch die vorhergehende Rechnung. Man berechne aus den in der zweiten Aufgabe gegebe— nen Werthen von s und A die zugehörigen Werthe von X. 6. Aufgabe. Eine Gerade AB bildet mit einer anderen AX den Winkel A= 250 42/. Man iſt in der Richtung AX vorwärts gegangen um AD= 733“; wie groß iſt die ent⸗ ſprechende Entfernung in der Richtung AB? Es iſt wieder nach 28: C0. 250 42“ 8 daher durch Vervielfachen: 8 Cos. 250 42“ 733 und durch Meſſen: 733— 733 cos. 250 42“ 0,9010770 — 6813,471 Die der Ab entſprechende Entfernung AC iſt daher=813“4/7,½1. Die Logarithmen-Nechnung gibt: log. s log. 733— log. cos. 25% 42“

294— Log. 733 ◻＋ 2,865104 log. cos. 250 42“ 79,954762— 10 EE J0g9. 8 ＋ 2,910342 log. 813,471 folglich: 8 813,471 Es ſey: Xx ν 407/ K ρ 290 44/, man ſuche 8. 6 5763“, A 52 38“,„„ *V 23,/75, 36 7. Aufgabe. Man iſt in der Richtung AX um AD S2 354“ fortgegangen und hat ſich hierbei in ſenkrechter Richtung um DC IN 2 738/ von AX entfernt; wie iſt die Lage von AB gegen AX beſchaffen? Die Aufgabe läßt zwei verſchiedene Auflöſungen zu. Zuerſt 10 iſt nach 31: Vο tang. A* 354 2,0847457 =＋ fkang. 64 22“ und dann nach 33: X 354 „18 colang. 64 227 A cotung. A 0,4796747 Mit Hülfe der Logarithmen: 1og. tang. A log. 738— Log. 354 log. 738 2,868056 log. 354 S 2,549003 709. tang. A ◻ 10,319053— 10 Log. lang. 64 22 und log. cotang. A S log. 354— Log. 738 log. 354 ν 2,549003 109. 738 S 2,868056 log. cotang. A 9,680949— 10 Log. colang. 64 22 14 Die Lage von AB gegen AX iſt alſo ſo beſchaffen, daß beide Linien mit einander den Winkel A 64“ 220 bilden.

— 7 f— wie groß 644= 3, ν ν» 52 is, 8993,*½ ο erade AB und AX bilden einen Winkel, weit muß man in AX fort⸗ Nichtung um DC= 5847 tang 3541“ daher durch Vervielfachen: Xx. fang. 35 41“ 584 und durch Meſſen: 2 584 584 tang. 35 41“ 0,7181319 W813,2211 oder auch nach 33: X 84 cotang. 35% 41“ daher: Xx 584. cotang. 350 41“ ◻ 584 1,3925019 813,2211 Eben ſo durch Logarithmen: 100. Xx log. 584— log. fang. 35 41“ 109. 584 2 2,766413 4og. tang. 350 41“ 99,856204— 10 log. X Æ= 2,910209 log. 813,2211 und 109. Xx ν log. 581 ＋ log. cotang. 35% 41“ log. 584— 2.,766413 log. cotang. 35% 41, 10,143796— 10 log. x 2),910209 log. 813,2211 Man findet alſo für die geſuchte Entfernung AD= 813“ 2“ 2,71

Es ſey y 885““ A ◻ρ d27 45 wie groß iſt X2 „ z, A eeee 210 v= 19436, A g351 ‚οf‚ ‚ ‚‚” I * 7* 1100 9. Aufgabe. Der Winkel, gebildet von AB und AX, iſt A 2 61 48/. Man iſt in der Richtung AX um A= vorwärts gegangen, wie groß iſt die ſenkrechte Entfernuung DE von AX2 Nach 31 iſt: 793 tang. 610 48“ daher: y= 793. fang. 61“ 48“ Eben ſo iſt nach 33: 793 cotan9. 6148“ r mithin: y. cotang. 61048“ 793 und 793 Y cotan9. 61 48, Man berechne dieſe Ausdrücke, wie auch folgende Beiſpiele: Xx 2 1096/, A 2 690 54“, wie groß iſt 52 905,= 3510 21/„ͤ́ N iern,„,,„, 0 Die Gleichungen 36 und 38 können gleichfalls in ähnlichen Aufgaben benützt werden, meiſtentheils zieht man es aber vor, die Funktionen sec. und coscc. nach 59 und 55 durch cos. und sin. zu erſetzen. Zum vierten Kapitel. X.) Uebungen in der Veſtimmung der Kunktionen für gegebene Winkel. 1. Nach der Gleichung 103 iſt sin.(2ů R— a) Sin. a,

daher, wenn der gegebene Winkel A größer als 90, oder A =2 R— a, ſo iſt a= 2 R— A und sin. A S sin. 2 R A). Wie groß iſt sin. 1630˙2 5*n. 1630 esin.(1800— 1630% eçin. 170 02923717 114 384 22 sin. 1140 38“ sin.(180˙— 114“ 380 sin.(1790 60/— 1140 38)0 S sin. 650 22. 0,9089938 sin. 940 33/ 48“ vε sin. 940 33/ 48“ sin.(1800— 940 33/ 48/ sin.(1790 59/ 60“— 940 33/ 48) dsin. 850 26“/ 12“/ 0,9968254 ＋ 46 0,9968300 Sin. 1540 44“ 50“/ 2 sin. 1540 44, 50/ sin.(1800— 1540 44“/ 50“/% sin.(1790 59/ 60“— 154% 44“ 50%0 = fgin. 250 15/ 10“/ 0,4265687 ＋ 263 0,4265950 2. Nach der Gleichung 105 iſt: sin.(2 R ＋ a) sein. a, iſt nun der gegebene Winkel A 1800, ſo ſetze man AS2R J a, mithin a= A— 2 R, es wird hierdurch sin. A= E sin.(A— 2 R). R sin. 2160 Fsin.(2160— 1800% f—fſin. 360ν sin. 2250 127 2 oin. 2250 12/— csin.(250 12/— 1800 oein. 45 12“.◻ sin. 2480 12“ 54“ σ sin. 2480 12/54“/- gin.(2480 12“54“— 180% Fin. 680 12 34—2 Sin. 2640 36“ 18“ 2 sin. 2640 36/18“/ ½—sin.(264 36“ 18“— 180 f — bin. 680 361 18“ 22

— 28— 3. Die Gleichung 107 gibt an, daß sin.(4 R— 4 sin. a, ſetzt man daher für einen Winkel A, der größer als 270 de wirtd a= 4R A und ſomit. sin. A = L Fin.(4 R— A). sin. 284⁰ ein. 2840= gsin.(3600— 284%0—½ csin. 76 §in. 2980 12 §in. 2980 12“— 2980 12) = FCGin.(3590 60“— 29812)0 = Fin. 61“ w48“ §in. 3090 48“/ 44“ 2 sin. 3090 48/ 44“— 6in.(3600— 3090 48/ 44/) — sin.(359059760“— 3090 48“44/ = F61n. 50 11“ 16“ §in. 3240 50“ 21“ ein. 3240 50,/ 21,/— cin.(3600— 324 50“210 = ET Fin.(359059“60“— 3240 50“21/ = L Fg6in. 350 9/ 39“ 2 4. Umfaßt der Winkel eine große Anzahl Grade, ſo entwirft man ſich folgende kleine Tabelle: 1RS= 900, 5 R 4500, 9R 8100, 13R 1170⁰ 2 R 1800, 6 R 5400, 10 R 900, 14 R 1260 3 R 2700, 7 R 6300, 11 R 9900, 15 RS 1350% 4 R 3600, 8S R 7200, 12 R 10800, 16 R 1440 10 und zieht die allgemeinen Vorſchriften 114 zu RNathe. Sin. 5860 S 2 Aus der entworfenen Tafel erſieht man, daß der gegebene Winkel über 6 R, aber unter 7 R iſt, der Ueberſchuß über 6 R beträgt 5860— 5400 460; daher: sin. 5860 sin.(6 R ＋ 4600—½ sin. 46 denn nach 114 iſt: 8sin.((In ＋ 2) R ＋ a)=— sin. a, was für n⸗= 1 und a S 460 in das Vorſtehende übergeht. Iſt aber sin. 6580 zu ſuchen, ſo iſt dieſer Winkel zwar

auch über 6 R, zugleich aber auch über 7 R. Es fehlt ihm noch an 8 R, 7200— 6580 ä620; mithin: sin. 658 gsin.(8 R— 620)— csin. 620 Nach 114 iſt nämlich sin.(4 n R— a)=—= sin. a, woraus der erhaltene Werth hervorgeht, wenn nS 2 und a ο 620 geſetzt wird. Jain. 11689 20“ 12“ 2 Dieſer Winkel iſt über 12 R und unter 13 R. Er iſt größer als 12 R um 11680 20/12“— 10800 880 20/12“/; daher: sin. 11680 20“/ 12“ sin.(12 R ＋ 880 20/ 12“/) = ＋ 6in. 880 20“ 12“ 6in. 8830 24“ 36“ 2 Dieſer Winkel liegt nach der Tabelle zwiſchen 9 und 10 R, es fehlt ihm an 10 R, 9000— 883Q24“/ 36“ 8990 59“ 60“ — 8830 24“ 36“/ 169 35“/ 24.ö; daher; sin. 8830 24/ 36“ sin.(10 R— 160 35/24½% ＋. Sin. 160 35“ 24“ uſ. w. 5) Zur Beſtimmung der Coſinuſe für Winkel, die zwiſchen 900 und 1800 liegen, hat man die Gleichung 118: cos.(2 R a) = Ecbs. a. Iſt nun A der gegebene Winkel— 2 R— a, ſo iſt a 2 R— A und cos. A=— cCos.(2 R— A). 120 22 coS. 1200 ½ cos.(1800— 1200% c606.60 ½ 0,5000000 eos. 1160 20“ 2=2 cos. 1160 20“— cos.(180— 116“ 2090 = cbos.(1790 60“— 1160 20 = L eos. 630 40/— 0,4435927 cos. 1340 18“ 40“ cos. 1340 18/40“— cos.(1800— 134“ 18“ 40% = EcCbos.(1790 59/60“— 134 18“40)/0 = cCos. 450 41“ 20“ Nun iſt: cos. 450 41“ 20“ 0,6986234 — 416 0,6985818

1340 18/ 40“— 0,6985818 cos. 1690 24“/ 36“ 2 os. 1690 24“ 36“—(08.(180— 1690 24/ 36½/ ＋ ＋E cC0s.(1790 59“60“— 169024/36//% = ½ cC08. 100 35“ 24“ Da nun: cos. 100 35“ 24“ 0,9829888 18˙— — 214 1 2 0,9829674 ſo iſt: 603. 1690 24/ 36“/— 0,9829674 1 6. Iſt der Winkel zwiſchen 180o und 270, ſo benützt man die Gleichung 121: cos.(2 R ＋ a)=— cbs. a. Der ge⸗ gebene Winkel A ſey=2 R ＋ a, ſo iſt a A- 2kR und cos. A=— cos.(A— 2 UB). 606. 2650 ◻ 2 cos. 2650=— cos.(2650— 180%%— cos. 85˙ ν cos. 2040 180er2 C06. 2040 18/ ½ C00s.(2040 18/— 180— C06. 2a— cos. 2320 24/ 16“/ ◻ cos. 2320 24/ 16“/— c0s.(2320 24“ 16“— 1800) L cos. 520 247 16“/ 2 7. Für Winkel zwiſchen 2700 und 3600 dient die Gleichung 123, cos.(4 R— a) cos. a. Iſt daher wieder A⸗ 4 R— a alſo a 4 R— A, ſo hat man cos. A Æ cos.(4 R— A). coS. 2950 006. 2950 Cοs.(3600— 2950) cCos. 65³ à ft! C06. 3040 25“ cos. 3040 25“ cos.(3600— 3040 25)0 = cos.(3590 60/— 304 250 (359 353 il 289%¹2——

— 301— Co6. 3160 28/ 12“ ◻ dc̃os.(3600— 316 28“ 12/%/ Æ＋ Cos.(3590b59“60“— 316“ 28“12/ Æ Cbbs. 430 31“ 48“ 8. Für Winkel bedient man ſich der Gleichungen 130: 6085. 738 Æ Da dieſer Winkel größer als 8S R und kleiner als 9 R, und 7380— 7200 180, der Ueberſchuß über 8 R iſt, ſo iſt: cos. 7380 Ccoοο.(8 R ＋＋ 1800 ＋ coοs. 180 i2 Der Winkel iſt R 14 R und T 15 R den erſten Werth überſteigt er um 13320 12“— 12600= O720 12“, daher: C0s. 13320 12, Cos.(14R 720 12)0—cCos. 720 12 A 9. Wie beſtimmt man nachſtehende Funktionen? Welche —1 Gleichungen müſſen zu Hülfe genommen werden? h 26 18,2 Eokan, 340% 9415“ tang. 104“ 12“ 13“ cotang. 940 20“ 18“ 9 lang. 168“ 44“ 24“ σ2 colang. 172“ 37“ 41“ υν tang. 2100 13“ 34“ ον eotang. 1980411“T2 tang. 264“ 5/ 48“ m2 cotang. 2570 30“ 14“ ν tang. 304 0“ 12“ ν cotang. 291% 46“ 17,% ◻ — tang. 3360 48“/ 54“ e2 cotang. 354“ 12“ 4“ ν lang. 744“ſ 18“ 30“ 2 cotang. 769O39“ 33“ ν e20, ¶à4, 2 cotang. 412 51“24“ ν tang. 516 J18“ 54“ cotang. 834“T16“ 29“ ν tang. 1067“ 47“ 25“/ colang. 12770 0“ 8“ σνπ Veſtimmung der Winkel aus gegebenen Kunktionen. .Es ſey 0,4306784 der Sinus eines Winkels, wie groß 3 iſt derſe 1100 Nach den Tafeln iſt 0,4305111 ◻ seazn. 25 30“. Der Un⸗ terſchied zwiſchen dieſer und der geg zu 38,2 Sek. Da nun der größ angehört, ſo iſt: 0,4306784 gebenen Zahl iſt 1673, er gehört eren Zahl der größere Winkel Fin 259 30838“

Nach F. 16, Seite 40, gehört aber dieſer Sinus einer gan⸗ zen Reihe von Winkeln an, nämlich: 0,4306784 sin. 250 30“ 38“ Sin. 1540 29“/ 22“ 6in. 385B30“ 38“ 6in. 5140 297/ 22““ iu. ſ. w. Weiß man, daß der Winkel, welchen man ſucht, eine gewiſſe Größe nicht überſteigen darf, ſo iſt dadurch auch die Anzahl der Winkel, welche dem Sinuſſe angehören können, beſchraͤnkt. Darf z. B. der geſuchte Winkel 1800 oder 3600 nicht erreichen, ſo können nur die beiden erſten Winkel genommen werden u. ſ. w. Wie läßt ſich durch die Konſtruktion nachweiſen, daß einem beſtimmten Sinuſſe eine ganze Reihe von Winkeln angehören kann? Welche Winkel gehören dem Sinuſſe 0,6439028 an? Welche Winkel werden dem Sinuſſe 0,7834628 angehören, wenn keiner 1800 überſteigen darf? 2. Iſt— 0,7048346 der Sinus, ſo muß derſelbe größer als 1800 ſeyn. Für die poſitive Zahl findet man aus den Tafeln 0,7046342 sin. 44 48“/; dem Unterſchiede beider Zahlen 2004 entſprechen 58 Sek. daher: 0,7048346 sin. 440 48“ 58“ Der erſte Winkel, deſſen Sinus negativ iſt, iſt 2 R ＋＋ a, wobei ſich von ſelbſt verſteht, daß a ein Winkel der Tafeln immer kleiner als 900 gedacht wird; daher: — 0,7048346 sin. 2240 48“ 58“ Nimmt man auch die,§. 16, Seite 46, angegebenen Winkel hinzu, ſo erhält man: — 0,7048346 sin. 2240 48“ 58“ = Fein. 315% = Fgsin. 5840 48“ 58“ u. ſ. w. Man ſuche die Winkel, welche zum Sinuſſe— 0,2489064 gehören. Man gebe die Winkel an, welche dem Sinuſſe— 0,3490784 angehören, wenn einmal, keiner der Winkel 180“ erreichen darf und dann, keiner 3600 erreichen kann. H

— 303— Man weiſe durch die Konſtruktion nach, daß für einen nega— tiven Sinus mehrere Winkel ſtatt finden können. 3. Es ſey 0,5480046 der Coſinus eines Winkels, wie groß iſt derſelbe? In den Tafeln findet man die nächſt kleinere Zahl 0,5478066 dieſe entſpricht dem Winkel 560 47“/ oder 560 P⸗46“ 60“. Da nun der kleineren Zahl der größere Winkel angehört, und dem Unterſchiede beider Zahlen 1980, 48 Sek. entſprechen, ſo muß der Winkel um ſo viel kleiner ſeyn, oder es iſt: 0,5480046 Cos. 560 46“ 12“ Nach§. 17, Seite 41, gehört aber einem beſtimmten Coſinuſſe eine ganze Reihe von Winkeln an. Die erſten Winkel ſind: 0,5480046 cοs. 560 46“/ 12“ (C08. 3039 135 48“ eneu. w. Welche Winkel gehören dem Coſinuſſe 0,8483790 an? Welches ſind die Winkel des Coſinus 0,6478039, wenn ſie 180 oder 360“ nicht erreichen dürfen? Wie konſtruirt man aus dem gegebenen Coſinus die gefun⸗ denen Winkel? e Coſinus, ſo findet man 1 85 ooſitive Zahl die nächſt lemee der Tafeln, 0,4997481, k 6/ 606“ angehört, dem Un⸗ 5— beider Zahlen 1282 entſprechen 30 Sek., welche, da die kleinere Zahl dem größeren Winkel angehört, abgezählt werden müſſen, daher der Winkel iſt 60“ 0“ 30“ Dieß würde der geſuchte Winkel ſeyn, wenn die Zahl poſitiv wäre, da ſie aber negativ iſt, ſo muß er größer als 90“ ſeyn. Nach 119 iſt nun: cos.(1800— 640 0/ 30/%—— cos. 60 0% 30 daher: — 0,4998763 Cos.(1790 59“ 60“— 600 0“ 30“)0) ＋ Cos. 116“ 59“ 30“ Nach§. 17, Seite 41, entſprechen aber demſelben Coſinuſſe noch viele andere Winkel, die erſten ſind:

— 0,4998763 ν Cos. 119059“ 30“ ＋ Cos. 240“ 0“ 30“ ＋(Cos. 4790 59“ 30“ u. ſ. w. Welche Winkel können dem Coſinuſſe— 0,6994073 ange⸗ hören, wenn keiner derſelben 180 oder 3600 überſteigen darf? Wie laſſen ſich dieſe Winkel in der Zeichnung nachweiſen? 5. Die Zahl 0,4700963 iſt der Sinus eines Winkels, wie iſt derſelbe beſchaffen, wenn damit die Bedingung verbunden wird, daß auch deſſen Coſinus eine poſitive Zahl ſey? Wie groß wird der Winkel aber ſeyn, wenn man damit die Bedingung verknüpft, daß der Coſinus negativ ſey? — 0,7874623 ſey der Sinus eines Winkels, wie groß iſt derſelbe, wenn der Coſinus poſitiv ſeyn ſoll? Wie groß wird er aber ſeyn, wenn der Coſinus zugleich mit dem Sinus negativ iſt? Wie groß ſind in allen dieſen Fällen die Winkel, wenn noch daß keiner derſelben ein⸗ 5 die weitere Bedingung hinzugefügt wird, mal 1800 und dann 3600 überſteigen darf? Es ſey 0,2034078 ein Coſinus, man ſuche deſſen Winkel, für welche zugleich der Sinus poſitiv iſt. Man löſe dieſelbe Aufgabe mit der veränderten Bedingung, daß der Sinus negativ iſt. Für— 0,9908346 als Coſinus ſollen die Winkel angegeben werden, für welche zugleich der Sinus poſitiv iſt. Für dieſelbe Zahl, als Coſinus, gebe man die Winkel an, für welche auch der Sinus negativ iſt. 6. Es ſeyen: 0,7834065 und— 0,3654786 1,0783643— 0,5400734 2,5369875 8— 1,9736459 ie Winkel an, welche ihnen D —j Tangenten, man gebe nach F. 18 zugehören können. Eben ſo ſeyen: 0,2436987 und— 0,4730489

— 305— 0,9040678 und— 1,6935493 1,7439965— 3,0478058 Cotangenten, welche Winkel gehören nach§. 19 denſelben an? Wie kann man durch die Konſtruktion die verſchiedenen Winkel nachweiſen? 7. Die Tangente 0,8067048 iſt gegeben, welche Winkel ge— hören ihr an, wenn bekannt iſt, daß für dieſelben Sinus und Co— ſinus gleichzeitig poſitiv ſeyn müſſen? Welche Winkel werden aber der Tangente angehören, wenn deren Sinuſſe und Coſinuſſe gleichzeitig negativ ſind? Es ſey— 1,4038746 eine Tangente, man ſuche die Winkel, für welche zugleich der Sinus poſitiv und der Coſinus negativ und auch umgekehrt, für welche der Sinus negativ und der Coſinus poſitiv iſt? Dieſelben Aufgaben löſe man für 2,6834789 und— 0,9007364 als Cotangenten. Zum neunten Kapitel. XII.) Kufgaben über das rechtwinkelige Dreieck, in welchen nur Seiten und Winkel als Veſtimmungsſtücke vorkommen. 1. Aufgabe. ig. 54) a und b ſeyen gegeben, man ſucht c und A. Es iſt nach 357: b c a2 ＋ bꝛ und fang. A= b colang. K ν 4 Beiſpiel. Es ſey a= 730/, b 654“, ſo iſt: c2 ◻ 7302 ＋ 6542 532900 ＋ 427716 Æ＋ 960616 daher: ◻ V 960616 980%11. und tang. A 2= 1,1162079 ftang. 48 8“ 35,3 20 Arneth, Geometrie.

oder: log. lang. 9 ⁰730— Log. 654 19. 730 27,863323 5 109. 654 2,8155 709. lang. K Æ 10,047745— 10 S log. lang. 480ü 8“ 35“ Die geſuchten Größen ſind daher: Cc ◻ 9980/,11 A Æ 48“0 8“/ 35“ 2. Aufgabe. a und e ſind gegeben, man ſucht hb und A. bꝛ= 2— a2(e ＋ a)(e— à) 23 78 und 5 a 5 In. dder gosec.& 5 a Beiſpiel. Es ſey ⸗= 5894“, a ν 4765% ſo iſt; be=(5894 ＋ 4765)(5894— 4765) 10659. 1129 — 12034011 daher: — 12034011 23469,007 oder: log. b= 2 log. 12034011 log. 12034011 y7,080410 1 109. 12034011 2,540205= Log. 3469,007 und 476⁵ u. ein. K 3894 0,8984493 ain. 530 56, 41. 13 oder: tl log. sin. A= log. 4765— log9. 5894 1o9. 4765 3,678063 log. 5894 3,770410 109. sin. A 9,907653— 10 log. sen. 530 56“ 41“ Man findet folglich: b= 3469“ und A 530 56“/ 41“/. 3. Aufgabe. Die gegebenen Größen ſeyen a und A, man ſucht b und e. Es iſt: b c cotang. A und 4 ⸗ eosee. A L

daher: 4 undee ee Sin. A Beiſpiel. Es ſey a= 1076“ und A ◻ 410 24/ 12%, ſo iſt: b 1076. colang. 41“Q24“ 12“% log. b log. 1076(og. colang. 41 24“ 12“ 1o9. 1076 3,031812 log. colang. 410 24“ 12“ 10,054668— 10 log. b 3,086480 log. 1220,34 und 1076 Sin. 410 247 127 log. log. 1076— log. sin. 41 24“ 12“ 109. 1076 3,031812 log. sin. 41 24/ 12“ 9,820435— 10 C 1og. ν w3,211377 log. 1626,96 5 21 Man findet ſomit b== 1220,34 und σ 1626,96 4. Aufgabe. b und» ſind gegeben, man ſucht a und A. Es iſt: à2= ee bꝛꝰ=(e ＋ b)( und 668 K oder sec. KA= 0 b Beiſpiel. Es ſey b= 3694,5, 5786,7, ſo iſt: a2(5786,7 ＋ 3694,5)(5786,7— 3694,5) 9481,2. 2092,2 a 2= VNY9481,2. 2092,2 log. a Gog. 9481,2 ＋ Log. 2092,2) log. 9481,2 3,976863 709. 2092,2 3,320603 log. a? 7,297466 log. a V3,648733 log. 4453,83

und 3694,5 5786,/7 709. cos. A log. 3694,5— 1log. 5786,7 709. 3694,5 3,567556 709. 5786/7= 3,762431 cos. R 709. co. KA Æσ 9,805125 log. cos. 50 19“ 26“ Es iſt ſomit a 4453/83 und A= 50 19“ 26“ Aufgabe. Man kennt p und A und ſucht àa und C. Es iſt: 5. a C tang. RK 35 und sec. KA 5 daher: 4 a b. kang. A und e= b. sec. K 10 Beiſpiel. Es ſey b= 10874“, A 630 20“/30“ ſo iſt: a 10874. lang. 63“ 20“ 30“ 1og. a 10874 ＋(0g. tang. 63e 20“ 30“ 100. 10874 4,036389 109. lang. 630 20, 30“ 10,299264— 10 109. a 4,335653— 109. 21659,9 und 13 10874 5 cCos. 630 20/ 307 1og. log. 10874— 10g9. cos. 630 20“ 30“ 109. 10874 ν 4,036389 Log. cos. 630 20/30“/ 9,651926— 10 log. c ν A4,354463 409. 22618,4 Es iſt ſomit: a 21659,9 und 22618%4 6. Aufgabe. o und A ſind gegeben, man ſucht a und b. Es iſt: b 5 2 sin. A= und cos. A 0 0

daher: 5 oder und 7 8 Be ein. A iſpiel. Es ſey und C0.ä A S2 543 und A=2 540 26“7%, ſo iſt: 543. sin. 530 26“ 7“ ⁰H543. 0,8134590 441,708 54eos 540 26“47ö 2 35343. 315,821 109. 543 log. sin. 54 26“ 7 9 910336— 10 log. a log. a log. 543 log. sin. 54 26“7 0,5816222 711 — 2,734800 ＋ 2,645136 ◻ 109. 441,70 log. b= log. 543 ＋ log. cos. 54˙ 26“7“ log. 543 log. cos. 540 26“ 7“ log. b Die geſuchten Größen ſind — 4.* b Aufgaben zur EH e Gegeben. 5430 1044“ 793⁰ 461“ 230 6130 214 605“ 12130 688“ 4330% 1924“ U 25,734800 S＋ 9,764641— 10 = 2,499441 log. 315,82. mithin: a 441,70 und b 315,82. Uebung: Geſucht. 684“ 2618˙% S= ˙² öRAÆÆ◻ 1030% 5487 78⁴4⁰ b= K 1063“ 440 12 189 540 0“/ 24“ b 2? c22 619 21418ʃ½ 10097 635“ 2416“

XIII.) Beiſpiele 1 1. Beiſpiel. log. 501,5 709. 623,‚5 — 2,5, 1) Berechnung der Winkeld Es ſey a 1125 Gegeben. Geſucht. b 2 57 A 2 250 14/ 32% 1 ＋ 146— 40 12“ 44“„ — 338 0 H 518,%5 ＋ 590 20“/ 15“ e 354 KA 740 30/ 240 F345“ ＋ 600 15/ 30“ A— ö⏑8 0 ＋ 734 i8. 8 rechtwinkelige D betreffend, k In allen Fällen, das rechtwinkelige Dreieck betreffend, kann für jede Funktion nur der Winkel ſtatt finden, welcher 90⁰ iſt, alſo kann nur der Winkel der Tafeln genommen werden.. Uu Zum zwölften Kapitel. über die 15 aus den Seiten deſſelben. 2 1716/, 1594, ſo iſt: a ＋ b 4 c= 1125 ＋ 1716 ＋ 1594 4435 daher: 8 Q2217,5 8S— a 2217,5— 1125 1092,5 Shh 217,3 1716 35 8S— e S2 2217,5— 1594 623,5 10 Rechnung nach 398: 4—̃(8— b)(8— C) 33„501.5.623,5 11 b. 0 I716.1594 1 log. sin. IA(og. 501,5 4L09. 623,5—L0g. 1716— 109. 1594) 2,700271 2,794836 5495107 10o9. 1716 S 3,234517 1o9. 1594 3 202488 — FG6,437005 log. sin. 1 KA2 ¶19,058102— 20 log. sin. 1A ν V9,529051—1010g. sin. 194541“

Fur t d 8 999 V 1092,5. 623, a. C 1125. 154 109. sin. 4 B Æ A(lo9. 1092,5 ＋ log. 623,5— Jo09. 1125— 409.1594) lo9. 1092 5 3,038421 109. 623,5 S 2,794836 — 5,833257 109. 1125 3051152 log. 1594 G3,202488 log. sin. 1 B2 19,579617— 20 log. sin. 1 B ◻ v9,789808— 10 log. sin. 380 2.53“ mithin: — B 370 2, 53“ und B 760 5“/ 46“ Für den Winkel C iſt: 101 8— a) 3 3 1092,5.501½5 5 1125•.1716 log. sin. 1CÆ(J79. 1092,5 ＋ l09.50 1,5— 409. 1125— log. 1716) 109. 1092,5 83,038421 1o9. 501,5 2,700271 H5738692 109. 1125 3,051152 1og. 1716 3.234517 f6,285669 4o9. sin. 1 C ν 19,453023— 20 log. sin. 1 C 9,726512- 10.log. sin. 320 11260 folglich: 10 ◻2320 11/ 26“ und C= 64» 22“ 52% Die drei Winkel des Dreiecks ſind alſo: A ◻ g39 31“/ 22“/, B 76“ 5/46“, C◻ 640 22“ 52“ und die Summe aller dieſer Winkel iſt, wie es ſeyn muß 1800.

Rechnung nach 10 Formel 400: S= ＋ν8221755 109255 ens. 1 KA V 1716 1594 709. cos. TAÆν(og. 2217,5 LEL09. 1092,5— l09.1716—1og. 1594) 79. 2217,5 3,345864 109. 1092,5 3,038421 18 6,384285 700. 1716 ν Q3,234517 4o9. 1594 35,202488 G6,437005 8 10 1 U 19,947280— 20 9,973640— 10 og. cos. 19045/41“ log. cos. log. cos. daher: und A= 390 31“ 22“, wie oben. Rechnung nach der 3 402: =9 J1092,5. 623,5 8 lan. IE VS 8„E 501,5 Jog. lang. 1 B(log. 1092,6 ＋ log. 623 — Log. 2217,5— Log. 501,5) 709. 1092,5 3,038421 709. 623,5 2,794836 — 5,833257 109. 2217,5 3,345864 log. 501,5 2,700271 d6, 046135 log. tang. 1 B2 19,787122— 20 log. tang. 1ů3 Pv9,893561— 10ſog. lang. 3802“53“ ſomit: B 380 2“ 53“ und B ρ 760 5%/ 46“, wie oben. Rechnung nach der Formel 404: 1 0 ein. C= ir i. V 2217,5. 1092,5. 501,5. 623,5 1125. 1716 log. sin. C= log. 2— log. 1125 — log. 1716

— 313— ＋ Cog. 2217,5 ＋ 100. 1092,5 ＋ 109. 501,5 ＋ 10g. 623,5) 3,345864 109. 1092,5 ◻ Q3,038421 109. 501,5 2,700271 log. 623,5 Q2,794836 709. S.(S-) 11,879392 1o9. VG(S.(S-=C) 5,939696 log. 2 S＋ 0,301030 log. 2./(8.,(S-)) G6,240726 log. 1125 cA43.,051152 d09. 1716 3,234517 ＋ G6,285669 log. sin. C ＋ 9,955057— 10og. sin. 6422/52“ alſo: rennne die den L Dem Sinuſſe, welchen man aus 308 findet, können viele Winkel angehören, ſie ſind aber alle der Bedingung unterworfen, 1800 nicht überſteigen zu dürfen. Nun kann ſeyn: 0 8 5 l K 190 45“ 41“ oder K= 390 31“ 22¼ 6nn 1g320 2 ꝗ2398 U.ſ. w. Hier iſt alſo nur der erſte Winkel möglich, indem alle ande⸗ ren größer als 180“ ſind. Eben ſo können die Brüche in 398, wie mit den poſitiven, ſo mit den negativen Zeichen genommen werden. Im letzten Falle erhält man: A 1990 45/ 41“ und A= 3990 31“ 22“ aber dieſer, ſo wie alle folgenden Winkel, ſind nicht zuläſſig, da ſie alle 1800 überſteigen. Wird in 400 der Coſinus poſitiv genommen, ſo ſind nur die angegebenen Winkel möglich, weil ſchon die nächſten größer als 1800 ſind; nimmt man den Coſinus aber negativ, ſo müßte z. B. 4 A c900, alſo A 1800 ſeyn, was nicht ſtatt finden kann.

— 314— Die Tangenten in 402, poſitiv en geben für die Winkel Werthe, die entweder unter 90“ oder über 1809 ſind, i NM nur die erſten ſind beim Dreiecke zuläſſig. Die negativen Werthe der Tangenten gehören Winkeln an, die über 90“ ſind. Die ge⸗ ſuchten Winkel des Dreiecks würden hierdurch über 1809, ſo 156 alſo auch hier nur die in der RNechnung angegebenen Größen mög lich ſind. 1 Anders verhält es ſich mit den Gleichungen 404. Beſeitiget man zuerſt das negative Zeichen durch die Betrachtung, daß dieſes Winkel erforderte, die 180“ ſind ſo bleibt bloß noch ſitive Werth übrig, zu dieſem gibt es 8 1 er zwei Winkel, 1800 ſind, z. B. für A einmal 390 31“ 22,“ und dant 140⁰ 28˙“38“. Hier entſcheiden nur die Werthe der übrigen inkel, alle drei müſſen ſo beſchaffen ſeyn, daß ſie genau 1800 ausmachen. ſo wird man Iſt daher ein einzelner Winke el zu die Gleichungen 404 nicht zur Berechnung den zwei Wiakeln, die hier möglich ſind, mit Sicherheit zu ent⸗ ſcheiden nicht im Stande iſt. Wenn man aber gleich aus 404 allein den Winkel nicht be⸗ weil man unter ſtimmen kann, ſo beſteht über denſelben doch keine Ungewißheit. Die übrigen Gleichangen geben einmal beſtimmt nur einen Werth, und wollte mau dieſe auch nicht gebrauchen, ſo würde die Quelle aller benützten Gleichung, nämlich 343, hier beſtimmt entſcheiden. Beim Dreiecke kann kein Sinus negativ werden, der Coſinus wird, wenn der Winkel unter 90“ iſt, poſitiv, wenn er über 90“ iſt, negativ ſeyn. Man hat daher nur zuzuſehen, welches Zeichen der Coſinus erhalten wird, iſt er poſitiv, ſo muß der erſte, iſt er negativ, der zweite Winkel Für den W A iſt nach 343 2 ＋ e2— a2 17163 ＋ 15942— 1125 5 2 beé 2 be entſchieden eine poſitive Größe, ſo daß alſo von den zwei oben für A, nach 404, angegebenen Werthen nur der erſte ſtatt finden kann. berden. 8

— 315— 2. Beiſpiel. Es ſey a= 430, b= 744/, S 360%, ſo iſt: 281534, 8S=67, S= 337, S—br 23, 8 8S— c 2407 daher: 2.VS. S-a).(S-b).(S- ο=2. V767. 337. 23. 407 ◻ 4log. 767 ν 2,884795 log. 337 ν Q2,527630 4og. 23 1,361728 4og. 407 ν 2,609594 log. S... S 0)—— log. VGS..(S-)) ν 4,691873 1o9. 2 ◻ 0,301030 4,992903 4 P 7 2 P* P — B3 1 4 log. p 4,992903 log. sin. A ◻ 9,565“ 527 10νlog. sin. 2132“58 daher A 21“ 32/ 58“ oder A= 158 27“ 2“. Da nun nach 343: b 4(— aꝛ 7442 ＋ 3602— 4302, gewiß eine poſitive Größe iſt, ſo iſt Sinus und Coſinus des Winkels A poſitiv, was nur bei dem erſten Werthe ſtattfindet, daher beſ 21 32 58¼. Für B iſt: Log. 430 2,633468 log. 360 ν Q2,556303 e dee log. sin. B V9,803132— 10 log. 399 27“ 32“ Es iſt daher entweder= 390 27“ 32“ oder 140⁰

— 316— 32/ 28“/. Uum bhier zu entſcheiden, beachte man, daß a? ＋ e2 — bz 4302 4. 3602— 7442 3602— 1174. 314 gewiß negativ iſt. Der Winkel B muß daher ſo beſchaffen ſeyn, daß ſein Sinus T＋ und ſein Coſinus— iſt, was nur bei dem zweiten Werthe ſtatt findet, daher B 1400 32/ 28“ iſt. Für C iſt: 19. b 9,992903 log. 430 2,633468 409. 744 2,971573 * 1o9. a. b 5505041 log. sin. C ν 79,487862— 10 og. sin. 170 54/34“ Die Betrachtung des Zählers a? ＋ bꝛ2— c2 zeigt, daß der Coſinus poſitiv ſeyn muß, daß alſo nur der angegebene Werth 11 D⸗ des Winkels ſtatt finden kann und die drei Winkel des Dreiecks ſind: A 2 210 32“/58“/ B 140“ 32“ 28“¼, C170 54“34“ und außer dieſen ſind keine anderen Werthe möglich. 2 Berechnung des Dreiecks aus zwei Seiten und dem ein⸗ geſchloſſenen Winkel. Beiſpiel. Es ſey b= 4620“,( H3975, A 620 24/ 18“, ſo iſt 1 A ◻ 31 12“ 9“, und nach 405 die dritte Seite: aꝛ(b— c)2? ＋ 4 be. sin. 1 A2 1 Ue =(620— 3975)2 ＋ 4. 4630. 3975.. Cin. 310 12“902 1 (4620— 3975)2 6452 τ 416025 und log. sin. 3112“9“ 9,714383 2 log. 6·n. 310 12“9““ 9,428766— 10 709. 4620 5,664642 log. 3975 23,599337 109. 4 0,602060 Jog. 4 be. ein. 1 A2 7,294805 log. 19715400 ü daher: a? 416025 ＋ 19715400 20131425 109. 20131425 7,303874 J09. 20131425 83,651937 log. 4486,8 Es iſt daher a= 4486½%8

— 317— Die Rechnung nach 406 iſt: eeee 06. T A? ＋(G620 ＋T 3975)2— 4.—— 3975.(cos. 310 12.9/½2 (4620 ＋ 3975)2 85952 73874025 1og. cos. 310 12“9,“ V9,932139 2. log. cos. 31 12“9 9f,864278 4. 4630. 3975 7,866039 109. 4. b. C. cos. 4 A?2 7,730317 log.— 742600 a? S 73874025—— 20131425 ◻＋ 4486/8, wie oben. Berechnung von B und C nach 407. Es iſt: 8 b. sin. A 4620. 67n. 620 24“ 18“ Sb. cCcos. A 3975— 4620. Cc05. 620 24“ 18“ log.§in. 620 24/ 18“ 9,947554— 10 709. 4620 3,664642 85 log. b. sin. A 3,612196 log. 4094,45 10og9. cos. 620 24“ 18“ 9,665786— 10 4 109. 4620 ◻＋ Q3,664642 log. b. cos. A ν 3,330428 log. 2140,07 daher: 0% 409445 9. E 3975— 2110,07 1834,953 log. 4094,45 3,612196 Log. 1834,93 3,263619 10,348577— 10 fkang. 650 51“ 38“ und ſomit B 650 51“ 38“/. Eben ſo iſt: 1an9. O Ein. A 3975. sin. 62 24, 18“f“ b. Cο.. K 4620—3975. C06. 629 24“ 18“ 709. sin. 85 24/ 18“/ V9,947554— 10 log. 39 3,599337 3,546891 log. 3522,82 1og9. cos. 620 24“ 18“ 9,665786— 10 log. 3875 ＋ 23,599337 3,265123 log. 1841.30

2,82 3522,82 tang. C 4620.— 1841,30 3778,70 5 709. 2522,82 3,546590 ⸗ 709. 2778,70 3,443842 109. lang. C 10,103048— 10 fang. 5144“ 4⁰ glſo C= 5159 44/ 4“¼. Die berechneten Winkel machen mit dem gegebenen 180“ſ aus. Außer den angegebenen Winkeln können keine anderen genommen werden, indem alle folgenden größer als 180 ſind. Rechnung nach 408. Es iſt b eg=645 und b＋ e 8595 B œc8— A2 1800 620 24“ 18“ 1170 35/ 42“ 1 3 ＋ O) 58“ 47 51“/; daher: 645 tang.(B— C 595 kang. 5847“ 51“ Log. tang. 709. 645—709. 8595-lLog. lang. 5 58047“51“ 709. lang. 580 47“ 51“ 10,217755— 10 25 log. 645 2,809560 3,027315— 10 Log. 8595 3,934246 5— 10g9. tang. 1(8—-00 9,093069— 10log. lang. 703.47“ daher: 5(6 Oοοο 3 47 und B— C 140 7/34% Verbindet man nun die Gleichungen B ＋ C 117 35“ 42“% B— C 140 7 34“ durch Zu- und Abzählen, ſo erhält man: 2 B 2 1310 43/ 16“ alſo B ν 65 51“ 38“ und 20 1053e 28“ 8%„ Ge= 51 ſomit dieſelben Werthe wie früher. 3) Berechnung des Dreiecks aus zwei Seiten und den nicht eingeſchloſſenen Winkeln. Beiſpiel. Es ſey a=1964“, 2736“, A=41030/(12“%.

(1964— 27 log. ein. 41 30“ 12“ log. cos. 410 30“ 12“ Nach 409 iſt: ebs. A V Cα ‚ νο⏑‚ ο‚ Dι οοοοο ‚ een. A) 2736. cos.4130/12“/ ÆvV1964 ＋ 2736. 82u. 41030⸗ 120 36. Sin. 410 30/ 12“/) ＋ 79,821293— 10 3,437116 1o9. 2736 3,2584090 log. 1813,05 9,874434— 10 log. 2736 Æ＋ 3,437116 3,311550 log. 2049,04 daher b 2049,04 TV(1964 ＋ 1813,05)(1964— 1813,05) ＋ 2049,04 K VM 3777,05. 150,95 log. 3777,05 3,577152 4o9. 150,95 2,178839 Log. 3777,05. 150,95 iinh 709. MV 3777,05. 150,95 2,877995 S log. 755,08 mithin: b 2 2049,04 ＋ 755,08 alſo: b S 2804,12 oder b⸗= 1293,96 Für den Winkel iſt: 8 E 2736 2N.= Sein. Æ ÆÆ=. Sin. 410 30“/ 12“ Sin. C 4 bin A 1964 in 4og9. sin. C Æ log. 2736 ＋Log. sin. 410 30“12“— 10g9. 1964 log. sin. 410 30“/ 12“ 9,821293— 10 109. 2736 3,437116 13,258409— 10 log. 1964 23,293141 log. sin. C F＋9,965168— 10 log. sin. 67023/22“ zwei Es iſt folglich entweder OS670 23/22“ oder CO= 112036“38“; Dreiecke können ſtattfinden, für das eine iſt:

320 a 1964“/; b 2804,12;(2 2736 A I10 30/ 12“/; 1• K B 2 710 6“ 26“/ C 2 670 23“ 22“;. fl be und für das andere: a 2 1964“/; b 1293,96; C Q2736; AK 110 30“/ 12“; 156 B 2 250 53/ 10“; C= 1120 36“ 38“%. 0 2. Beiſpiel. Es ſey a 2 1586/, 23975“, A=62024/18/, ſo iſt: b 3975. C006. 620 24“ 187% 6.37 18)(4586—-3975 61n.62524/18“/ V586 ＋3975 7n. 6224“ 9,947553— 10 109. ain. 620 24“ 18“ log. 3975 ＋ 23,599337 Gtiß 3,546890 log. 3522,82 709. cos. 62ů 24,/ 18“— 0,665786— 10 1 1og. 3975 2 3,599337 3,265123 lo9. 1841,29 41 1841,29 E M(4586 ＋T 3522,82)(4586— 3522,82) 1841,92 K M 8108,82. 1063,18 109. 8108,82 3,908958 64— 109. 1063,18 3,026607 13 —— 709. 8108,82. 1063,1i8 6,935565 109. M 8108,82. 1063,18= 3,467782 log. 2936,18 folglich: b 2 1841,29 4 2936,18 oder: b= 4777,48 Da hier der zweite Theil von b größer als der erſte iſt, ſo 1 kann nur das obere Zeichen genommen werden, durch das untere 8 würde man für b einen negativen Werth erhalten, der da unzu— läſſig iſt, wo das Dreieck nur in ein und derſelben Lage be⸗ trachtet wird. Für den Winkel C iſt: “WW ie 4 4586 5 log. sin. CS log. 3975 K log. sin. 620 24/18“/— 109. 4586

1og. 3975 337 log. ein. 620 24“ 18“ V9.947553— 10 13,546890— 10 log. 4586 ＋ 3,661434 9,885456— 10 ͥ og. Sin. 50011·23 Es iſt ſomit entweder CO⸗= 50 11“ 23“ oder C= 1290 48/ 37“ und hierdurch 8 679 24“ 19“ oder B=- 12 12“ 18 55“, da nun im Dreiecke ein negativer Winkel keinen Sinn hat, ſo iſt nur der erſte Werth von C zuläſſig, und aus den gegebenen Größen kann nur ein Dreieck gebildet werden, deſſen Elemente ſind: à 4586“; b= AAS; A 620 24/18“/; B 67“ 24“19/; S3909 1123 3. Beiſpiel. Es ſey a= 594“,= 2378“, Ar 107 48 9 ſo iſt: in. 107“ 48“9, sin. 720 11, 51½% und 13 cos. 1070 489,—— cos. 72 11“ 51“; daher: 52A b S. cos. ATVM(a ＋. sin. A)(a— sin. A) =L 378. Cos. 72011/51“ Æρ WNV6594 378. Sin. 7201151“)0 (sein. 72 11,51/0 109. zin. 720 1151“ 9,978690— 10 1og. 378 2,577492 2.556182 log. 359,90 log. cos. 72“ 11“ 51“ 9,485347— 10 109. 378 2,577492 2062839 log. 115,57 daher b=2 ＋ 115,57 FRV(594 ＋ 359,90)(594— 359,90) 115,57 TV 953,90. 234,10 409. 953,90 25,979503 log. 234,10 ＋ 2, 369401 log. 953,90. 234,10 35,348904 log. 953,90. 234,10 2,674452 log. 472,55 „„„ 472,55 4—472,55— 115,57 356,98 K0 Ein anderer Werth kann hier nicht ſtatt finden. Arneth, Geometrie, 21

Für C iſt: 0 376 14 zin. C=—. Sin. A=„„r3. 4 594 log. 378— 2,577492 U0 109. ain. 720 11“51“ 9,978690 4 12,556182— 10 109. 594 2,773786 125 Log. 52. C— V9,782395— 1 0 ν log. oin. 370017435˙ 33 Es iſt daher: N C 2 370 17/ 35“/ und B 34“ 54“ 16“ 15 10 und ein anderer Werth für C kann nicht genommen werden, denn 3 da A ſchon ein ſtumpfer Winkel iſt, ſo kann kein zweiter ſtattfinden. „ 3) Berechnung des Orciecks aus einer Seite und den an⸗ f liegenden Winkeln. 8 6 Beiſpiel. Es ſey b= 5684,, A 540 20“ 24“ und 5 C G650 127/ 18“, ſo iſt A＋ C1190 32“ 42“ und nach 411: 181 a b Sin.(A ＋＋ C) 57. 1190 327 8 sin. C 56681 Sin. 65 5in. I10⁰ 42“% sin. 600 27“ 18“; daher: Nun iſt 8un. 540 20“ 24“ Sin. 600 27/18“ 109. ein. 540 20“ 24, 9,909818— 10 5 709. 5684 24654 a 55684 3,664 472— 10 1og. sin. 60o 27“ 18“ 9 05 39504— 10 3,724968 109. 5508,K und 7 330 12 A⸗ 0„ 5/. 600 27/ 187 4og9. sin. 65“ 12“ 18“ 9,957997— 10 log. 5684 Q3,754654 13,712651— 10

328 log. sin. 60 27“ 18“ 7,939504— 10 5. Aufgaben = 1346 b a 1446“; b A— 653“7/j C FPFEEF rXVL. I920 6 8 3 3924“; A „ XIV.) 3,773147 S log. 5931,2 ſomit a= 5308,4 und e= 5931,2 zur Uebung: ſeyen gegeben. 190“ — 4737/ C=＋＋ 11187 „„3 1239˙.; A414e 2“18 tliien i „ 86./ 48/ 16, 20154 0 20“ 639 2916% 356948 18% 619 24.36h3;(4956“ cF36936“20“% BB940 12/44“ bindungen der Seiten als Veſtimmungsſtücke vorkommen. 1. Aufgab e. Man ſucht. A, B, C. N 9 8 8 8 a, A, 18 58 a, b. Aufgaben über das rechtwinkelige Dreiech, wenn Ver⸗ Aus der Summe der Hypotenuſe und eines Katheten und aus dem andern Katheten alle Theile des rechtwin— keligen Dreiecks zu finden. Auflöſung durch Rechnung. Es ſey e＋π a 8 die gegebene Summe und b⸗= der andere Kathet. Es iſt(Fig. 54): b daher: sec. A, Sec. A, b beide Gleichungen vereint geben: Tarab. sec. A b. lung. Ab(Sec. A ＋ tang. A) Nun iſt e＋ a tang. A a 2 b. fang. A 8, b und nach 249, Seite 57: sec. A lang. A lang.(45YA) colang.(45— 44)

daher: S= ꝗ lang.(45 4 hieraus erhält man nun: tang.(45 ＋ 4 A 0 colang.(45— 4 A) Durch den Winkel A, welchen man aus dieſer Gleichung er⸗ hält, iſt auch B gegeben, ſo daß nur noch die Seiten e und a einzeln zu beſtimmen ſind. Da die Summe von o und a gegeben iſt, ſo braucht man nur den Unterſchied derſelben zu ſuchen, um mit Leichtigkeit die Seiten einzeln zu erhalten. Es ſey daher e— a ⸗= U. Man beachte, daß nach 357:— (e ＋ u)(c— a) be, ſo iſt: 5 S. 0 d. alſo: U= S Da nun: 8 und ſo erhält man durch Zuzählen: 2 26 ͥ8 4—— und 2 8 Eben ſo findet man durch Abzählen: 4 8 ＋ 8 ο 5 28 2 8 Dieſen letzten Ausdruck kann man auch benntzen, um eine andere Gleichung für den Winkel zu finden. 3 a 3 8 Es iſt: lang. R 5b˙ daher durch Einführung der Werthe 14 für a und b: 10 8＋ο8— ο tang. RK 2 80 Beiſpiel. Es ſey 8S=◻ 980ʃ, A ν 495/, ſo iſt: 8S 980 = 1,9797979 tang.(45 ＋ 4 A) 195

325— =ftkang. 630 12“/ 5/%6 45 ＋ A 639 12“ 5%6 1 A 18 12/5%6 369˙ 2 I. die folgenden Winkel, welche der Tangente angehören können, geben Werthe für A die 900 ſind. Man ſuche auch A nach der zweiten Formel. Von den Seiten berechnet man à am leichteſten. Es iſt: (980½ 495)(980—495) 1475. 485 715375 35 ⏑ ꝗ?7⁷n⁰ο ̃nnn. 2 364,9872. c ◻ c980— 364,9872 615,0127 Der Gebrauch der Logarithmen erleichtert die Rechnung: lang.(45 ＋ 2 A) dog9. lang.(45 ＋ A) ν dog. 980— Log. 495 log. 980— 125j991226 Log. 495 ＋ 2., 694605 log. lang.(45 ＋ 4 A) τ 10,296621— 10 ◻clog. lang. 630 12“.5½6 630 128/6 daher wie oben: A E 360 24, 11½%2 1475. 485 42=-——— 1960 log. a log. 1475 log. 485— 109. 1960 109. 1475 3,168792 1og. 485 2,685742 5,854534 ** log. 1960 3,292256 109. a 2,562278— 109. 364,987 a 2. 364,987 6 Auflöſung durch Zeichnung. Cig. 192.) 8 Man bilde aus AC b= d, aus AD 8S das recht⸗ winkelige Dreieck AcD. An Ab in A lege man den Winkel 7 p ꝗ und ziehe AB, ſo iſt ABC das verlangte Dreieck.

326— Beweis. Das Dreieck ABC iſt rechtwinkelig. Da pq, ſo iſt AB= B, daher: AB ＋ BC=Æ DB ＋ BC DC = S. Ferner iſt b= AC ναꝗ; das Dreieck hat alſo die ver⸗ 2 langten Eigenſchaften. Die Konſtruktion gibt Veranlaſſung zu einer ſehr einfachen Herleitung der erſten Gleichung des Winkels. Es iſt: CD 8 cotæang. q Nun iſt aber p⸗= d, B 2d 9— A; daher: ＋((45— A) und 8 cotang.(45— 4 A)= lang.(45 ＋ A Aehnliche Betrachtungen laſſen ſich für die meiſten den Aufgaben anſtellen. 2. Aufgabe. Die Summe der Hypotenuſe und eines Ka⸗ theten und der andere Kathet iſt gegeben, man ſuche alle Theile des rechtwinkeligen Dreiecks. Es ſeyen o ＋ b S, a= A die gegebenen Größen Auflöſung durch Nechnung?(eosec. a ＋ colang. 3 4 iſt erſt wie 249 herzuleiten.) Auflöſung durch Zeichnung? 3. Aufgabe. Der Unterſchied der Hypotenuſe und eines Katheten und der andere Kathet ſind gegeben, man ſuche alle Theile des rechtwinkeligen Dreiecks. Es ſeyen e— b= U, a= GG die gegebenen Größen. 4. Aufgabe. Der Unterſchied der Hypotenuſe und eines Katheten und der andere Kathet ſind gegeben, man ſuche alle Theile des rechtwinkeligen Dreiecks. Es ſeyen e— b= U, und a⸗= AG die gegebenen Größen. Hierbei iſt zuerſt cosec. a— colang. a lang. X a wie 250 5. Aufgabe. Aus der Summe der beiden Katheten und aus der Hypotenuſe alle Theile des rechtwinkeligen Dreiecks zu finden. Auflöſung durch Nechnung. Es ſeyen a ＋ b=8, c SA die gegebenen Größen.

Hier ſind alſo die Winkel und die Seiten a und b einzeln anzugeben. Für den Winkel A iſt: A b = kein. A und— cos. A C C daher: a C. sin. A und b. cos. A Beide Gleichungen vereint geben: a Tb= C. sin. A ＋ C. cos. A((ein. A ＋ cos. A) Setzt man für a T b und e» die gegebenen Werthe und beachtet, daß nach 227: sin. K ＋ cos. A cCcos.(A— 450)09. V 2 ſo wird: S S2 Gd. cos.(A— 4500. V 2 mithin: 8 56 cos.(A 4500 V Der Winkel kann auch noch auf eine andere Weiſe gefunden werden. Man erhebe die Gleichung: S d Cein. A ＋ cos. A) zur zweiten Potenz, ſo wird: 82 dn(sin. A2 ＋ cos. A2 ＋ 2. sin. A. cos. A) Nimmt man nun 68 und 201 zu Hülfe, ſo geht dieſer Aus⸗ druck über in: 8S2 ν-(1 ＋ sin. 2 A) woraus man erhält: 68＋οο 8 ο K Um die beiden Seiten a und b aus den gegebenen Größen einzeln zu finden, ſucht man am beſten zuerſt deren Unterſchied, mit deſſen Hülfe man, da die Summe derſelben gegeben iſt, durch eine leichte Rechnung eine jede findet. Iſt a b S und ſetzt man a— b⸗ U, ſo findet man durch Zu- und Abzaͤhlen: a=(8S ＋ U) und b= 1(8— 0 Setzt man nun dieſe Werthe in die Gleichung 357, ſo wird:

oder: 40 82 4 2 8U0 ＋ Ue ＋ 82— 2 80 ＋ U2 ſomit: U 2202 82 oder U= TVYA26— Setzt man dieſen Werth in die obigen Ausdrücke für a und b, ſo findet man die Seiten aus den gegebenen Größen. Nimmt man zuerſt das obere Zeichen, ſo wird: a= 28＋ X»Q2d2- 82)), b=àg(68S-VQQ2—82)9) 10 das untere gibt: 100 azj(S-VNQHαd-=- 82)), bAySTVQ24 82) Die verſchiedenen Zeichen geben daher keine doppelten Werthe ſür die Seiten, nur tritt im zweiten Falle, gegen den erſten, b an die Stelle von àa und a an die Stelle von b. Beiſpiel. Es ſey 8S= 436/, 4 324“,, ſo iſt: 1436%% 104976— 190096) S＋ V19856 4 140,8 daher: a 2 436 140,8)0=. 576,8 288,/4 b 1(436— 140,8) J. 295,2 147½6 oder auch: a= 147/6 und b= 2984. Ferner iſt: zin. 2 A—32 112 32⁴² 3242 709. oin. 2 A ν log. 760 ＋ 109. 112— 2. 0g9. 324 19. 760 2,8808 14 Jog. 112 ν Q2.,049218 4,930032 709. 324 2510545 2 log. 324 5021090 Jog. sin. 2 A 9,908942— 10 ν Log. sin. 540 10“ 45“ 1 log. sin. 125 49“ 15“ 10 Es iſt daher: 2 A 54 10/45“ alſo Ar 27 5/22“ und B 262 54“38“

2 A 125 49“15“ alſo Ar 620 54“/38“ und B270 5/ 22“% Die G Wüm ig gibt daher für den Winkel A ebenfalls dop— pelte Werthe, die aber ſo beſchaffen ſind, daß einer dem Winkel B angehört. Gebraucht man die andere Gleichung des Winkels, ſo iſt: log. cos.(&— 45) log. 436— 109. 324— 1 log. 2 log. 436 2,639486 109. 324— Q2.510545 109. 2 0,301030 1 19. 2 0,150515 978426— 10 Log. cos. 170 547 38“ daher: A— 450 17 54“/ 38“ alſo A 620 54“/ 38“ Beachtet man, daß derſelbe Coſinus ſowohl dem poſitiven als dem negativen Winkel angehören kann, ſo hat man auch: 3 120 54381“ daher K= 279 51 22“ alſo dieſelben Werthe, wie vorhin. Auflöſung durch Zeichnung. Man bilde Cig. 193) aus BD 8S, q ◻ 450 und aus AB Æσ das Dreieck ABD. Von A auf BD fälle man die Senkrechte AC, ſo iſt ABC das geſuchte rechtwinkelige Dreieck. Beweis. Weil A4C ſenkrecht, ſo iſt, da J= 450 auch p 2 450, daher p⸗== ꝗ und AC= CD, mithin A0 ＋ 30 =(CD ＋ BC= BD S. Ferner iſt AB ◻ d, und ſomit hat das Dreieck AB30 die verlangten Eigenſchaften. Die Konſtruktion gibt zugleich auch das Dreieck A1 BCI. Im erſten ABC iſt a= 288/4“, b 147/6“, A 62 54“38“/, B 270 5/22%, im andern A1BCi iſt a= 147,6, b ν 288,4, A 2 270 5%/ 22/ B 620 54“ 38“. Die Nechnung wie die Zeichnung geben alſo zwei Dreiecke, die aber ganz dieſelben und nur in ihrer Lage verſchieden ſind. Die Aufgabe kann unmöglich werden, wenn 8? 2 82 ————

— 330— wird, in dieſem Falle iſt AB ſo klein, daß AD gar nicht mehr getroffen werden kann. Aufgabe. Aus dem Unterſchiede Theile des 4 95 65 gen Dreiecks zu finden. e= die gegebenen Größen. der beiden Katheten und aus 5 Hypotenuſe alle T Es ſeyen a— b= U, und oll alle Theile des 8 7. Aufgabe. Es iſt die Summe de eines Katheten und ein Winkel gegeben; man rechtwinkeligen Dreiecks finden. Auflöſung durch Rechnung. Die gegebenen Größen ſeyen e＋ a== ð8 und A 8 Nach XIV, Aufgabe 1, iſt: lang.(45 ＋ 40 daher: 8 bE fang.(45 ＋ 4 00 Ferner iſt nach derſelben Aufgabe o „ der vorſtehende Werth eingeführt wird: 82 33 tang.(45 KEC 04 3 85 S2. lang.(45 4(45 ＋ 109— 28 3 2S 14 lang.(45 L T0⁰ 8S(1 kang.(45 ＋ 4 920 2 lang.(45 ＋ 7 d02 Nach 70 iſt aber 1 35 tang.? sec.2; daher: 8S. Sec.(45 33 fFang.(45 Nach 64 und 55 iſt ferner e folglich: Llang. San. C== 8 8 2 ain.(45 ＋ T 2. ᷣvCõο.(45— ahs Durch e und S iſt auch a gegeben. Beiſpiel. Es ſey 8S ◻ 286“, a ν 54 26“ 18½ ſo iſt a ◻ V270 13“9,“/; 45 ＋ 2 4 2 729 13“9“ daher: 286 286 b= iö„ F. I4 57 ad ee, 109. b= log. 286— log. lang. 72 13“ 9“

— 331— 7o9. 286 V2,456366 log. lang. 72013“9“ 10,493907— 10 log. b= 1,962459 10g. 91,7189 alſo: 918 1oh. S log. 286— Jog. 2— 2. 9. sin. 720 13“9“ log. 286 ν Q2,456366 log. sin. 720 139“ 9,978743— 10 2l0g. ſin. 720139“ 9957486— 10 409. 2 ＋ ̃ 301030 — log. 2. Cein. 7213“9½/2 S C0,258516 log. e 2,197850 log. 157,706 Man findet daher: ◻＋¶157,706 alſo a= 128,294. Auflöſung durch Zeichnung. Aus CD 8 CFig 192) und dem Winkel J= 45— 4 a, bilde man das rechtwinkelige Dreieck ACD, an AD in A lege man den Winkel p= ꝗ und ziehe AB, ſo iſt ABC das geſu uchte Dreieck. Afel Beeis. Da 4= 5 ſo iſt AB= BD und AB ＋ BC =BD ＋ BC CD ◻S. Ferner iſt A= 90— B 90 Da nun auch das Dreieck rechtwinkelig iſt, ſo hat es die verlang— ten Eigenſchaften. Aufgabe. Man kennt die Summe der Hypotenuſe und eines Katheten und einen Winkel, und ſoll hieraus alle Theile des rechtwinkeligen Dreiecks ſuchen. Es ſeyen e b== 8S und A= o die gegebenen Größen. 9. Aufgabe. Der Unterſchied der Hypotenuſe und eines Katheten und ein Winkel ſind gegeben, man ſuche alle Theile 18,Pbi des Dreiecks. Die gegebenen Größen ſeyen e— a=◻ε ν, A= a. 10. Aufgabe. Der Unterſchied der Hypotenuſe und eines Katheten und ein Winkel ſind gegeben, wie groß ſind alle Theile des rechtwinkeligen Dreieckes.

und ein V Es ſey e— b== U und A a gegeben. 11. Aufgabe. Die Summe der beiden Katheten iſt gegeben Winkel, man ſoll alle Stücke des Dreiecks finden. Auflöſung durch Rechnung. Es ſey a ＋ bS, Aus der öten Aufgabe iſt: * ⁰g603. ο 45) V2 Benutzt man dieſen Werth ſo wird: — 82 8² 82 82. c05.(A-45)2 C70hf9.(K— 45)2 Cos.(A— 45)2 = cos. A— 457 82. sin.(A45)2 6068.(X— 45)2 ehphοο‚ ‚ = S82 ang.(&— 45)2 was ſich mit Hülfe der Geſetze 68 und 57 ergibt: Da nun hieraus folgt: X 22 c2— 82 8S. tang.(a— 45) ſo erhält man aus derſelben Aufgabe: 8 (1 ＋ kang.(— 45)) 8 FRRag.( 45)) Beiſpiel. Es ſey 8S=◻ 744“/,& 480 12“/ 26“,, ſo iſt, — 450 30 12/ 26“ und 744 6 1171......— E08, 3012 26“ V2 log. e log. 741— log. cos. 3 12“ 26“— 4 lLog. 2 log. 744 2,871573 2 log. 2 0,150515 709. cos. 30 1226 9,999319— 10 log. cos. 30 1226“. V 2 0,149834 409. 0 2,721739 log. 527,914 Ferner iſt: 35 a=‘(1 J tang. 30 12“ 260 372.(1 4 0,0560351) — 373 1,0560351 392,8450. U 2 u

8 . 30 12“26/% 372.(1— 0,0560351) = 372 0,9439648 351,1549 ie drei Seiten des Dreiecks ſind mithin: a 392,8450, b= 351,1549,( 527,914 Auflöſung durch Konſtruktion. Man bilde Fig. 193) aus BD und aus den Winkeln 8= 90— g, D 450 das Dreieck AB Aus A ziehe man AC auf Bb ſenkrecht, ſo iſt ABC das Dreieck. Da 4=ν 450 und C= 900, iſt auch p= 450, folglich p ⸗= ꝗ und AC= C, daher AC ＋τ BCÆ CD ＋B30C = BD S. Ferner iſt A= 90 B 90(90— g) ν. 12. Aufgabe. Man kennt den Unterſchied der beiden Ka— theten und einen Winkel des rechtwinkeligen Dreiecks und ſoll daraus alle Theile deſſelbe n finden. Es ſey a— b== U und A= a gegeben. 13. Aufgabe. Die Summe aller Seiten des rechtwinkeligen M Dreiecks iſt gegeben und die Winkel deſſelben, wie groß ſind die aaee Seiten? durch Rechnung. Es ſey a b ＋e A Es iſt: S SC a= c. sin. A, bS. cos. A, daher durch Zuzählen: abbgC C＋ c. sin. A＋ C. cos. AS(I A sin. A Tcos.A) folglich: 8 8 eer ferner iſt: bflang. ttect. a; daher: 8 I1 ＋ Lang. d ＋ Sec. a eben ſo: 8 —3. ² uN;DQ——..——————8—— 1 ＋ colang. a cosec. a

—————————————— — — 334— Dieſe Gleichungen geſtatten noch manche Veränderung, die eine Erleichterung für die Anwendung der Logarithmen bezwecken. Zuerſt iſt nach 227, 6n. ＋T cos. ꝙ cos.(αO= 450).„/̃ 2, und nach 249, sec.« ＋ kang. lang.(45 ＋ 0) und wie in der zweiten Aufgabe erwähnt wurde, cosec.& ＋ colang. colang. à a; daher: 8 44 2— fNU—— 1 ＋ colung. 1 C 8 8 1J1 ＋ Lang.(45 ＋ 1 00 8 i Eine andere Veränderung gewährt noch größeren Vortheil— Sind A, B, C, drei Winkel, die zuſammen 1800 ausmachen, ſo iſt, ein. C= gin.(A ＋＋ B); daher: zin. A ＋ sin. BI sin. C oin. A ＋ sin. B A sin.(A ＋ B) 2. sin. Y(A＋T B). c08s. 4(A- B) ＋ 2. 6in. 1(KA ＋B). cos.1& ＋B). Mach 219 und 201): S22. sin. 1(A ＋ B)(cos. K(4— B) ＋ chs. Y(A ＋ B)) S=2. sin. 1(A＋ B). 2. cos. 3 A. cos. 1B). Mach 217). Nun iſt: sin. 1(KA ＋B) sin. à(180— C) S sin.(90—1 C) σ cos. 30 daher: sin. A Isin. B ＋ sin. CSA. cos. 1 A. cos. Y B. cos. 10 Für die Anwendung auf das rechtwinkelige Dreieck iſt C=90 sin. CI; 2C◻45“, cos. 1CEV2; sin. B sin.(90— R Scos. A cos. 1 B cos. 1(90— A) cos.(45— 4N ＋ sin.(45. 1 A) daher: 1 J ſ6in. d ＋ coõ. G= 2. c06. 1 d. cos.(45— 40. Y2 Mit Hülfe dieſes Werthes erhält man nun: 8 L. cos. Ta. cos.(45— TC0. V2 die Seite a iſt: a σ. sin. a 3 2. cos. a cos.(45— 4 a) V4 E U

oder da nach 201: 82n. ν 2. Sin. 1. co to R 3 28. sin. cos. ＋ 2.cos.. Cos.(45— E0⁰—V2 n S. 6in. 1 e6b(45 T0. V2 ſin.(45 2 00 Durch a undeà iſt auch b beſtimmt. Beiſpiel. Es ſey 8S 1024“/, 2 540 16“ 24% ſo iſt 50— f EU 8 a ν 279 8(12“¼, 45— 3 ◻ 170 51/ 48“/; daher: 1024 cos. 270 8 127 C086. 176 517 48. Vᷓ log. e log. 1024— 109. 2— 3 log. 2—log. cos. 270 8/12“% — log. cos. 270 2 — 38 log. cos. 170 1σ S S E 10 5 coõ. 8⁰¹ 2 109.2—log. cos. 270 8/ 12“ 517/48“% log. 1024 3,010300 0,301030 0,451545 9,949352— 10 9,978542— 10 mithin 427/,42 ſo iſt: 1＋sin. 54016/24“/PCcos. daher: 1024 — 0,379439 W2,630861 199. 427,425 Rechnet man nach der erſten Gleichung, 54016/24/◻ ＋,8118118460,5839151 2 2,3957269 23957269 und 109. ν log. 1024— log. 2,3957269 log. 1024 lo9. 2,3957269 2,630862 3,010300 0,379438 709. 422,425 mithin e= 427½¾425, wie vorhin.

Für a iſt: 1024. sin. 278“/ 12“ F9. 175 51 187ͥ NVv½ 2 7og.aog. 1024 ＋Iog. sin. 2708,12,/—log. 605.17051/48“/— 3ʃ09.2 10. 1024 ＋ 3,010300 Log. sin. 270 8/12“/ 9,659074— 10 13 —— ＋ 2,669374 Log. cos. 170 51748“ 9,978542 1 log. 2(0,150515 — 0,129057 2,540317 lLog. 346ù992 folglich a= 346,99. Wird nach der zweiten Formel gerechnet, ſo iſt: 102⁴ 102⁴ 102⁴ a Icolan9. 275 51277 1＋T10510515 20516015 log. a ν log. 1024— 409. 2,9510915 109. 1024 3,010300 109. 2,9510915 0,469983 2,540317 log. 346,992 ſomit a 346,992, wie oben. Die dritte Seite b iſt durch a und e gegeben, berechnet man ſie aber, ſo iſt: 5 ä uu 1 ＋J kang.(45 ＋ 2 g) 4,1028477 709. 1024 3,010300 109. 4,1028477 0,613086 05 2,397214 l09. 249,½582 Man erhält ſomit für die drei Seiten: N428 a 346/992, b 249,582,( 427/425 ö die Summe aller iſt 1023,999 1024“ 1 Auflöſung durch Zeichnung. Man bilde aus DE=S, 0 (Fig. 194), aus p== 45— d und n 450 das Dreieck J.U. Abk. An Ab in A lege man den Winkel J= p und ziehe

iſt C⸗= 900 und n ⸗ 450, daher auch m 450, alſo m n und AC= CE. Eben ſo iſt wegen der Gleichheit von p und q, AB B, folglich AB ＋ BC AC, = BD ＋ BC ＋ CE DE S. Ferner iſt A 90 — B 90— 2p 90— 2(45 100 90— 90 ＋ανα. XV.) Aufgaben dungen der Seiten und s allgemeine Dreieck, wenn Verbin⸗ als Veſtimmungsſtücke varkommen. 1. Aufgabe. Aus der Grundlinie, der Summe der beiden andern Seiten und einem Winkel an der Grundlinie alle Theile des Dreiecks zu finden(Fig. 49) Es ſey a Cα 8, b== d und A gegeben. Auflöſung durch Rechnung. Sobald man durch die Rechnung Theile des Dreiecks— hat, die mit den ge— gebenen zuſammen eine Berechnung der fehlenden Elemente nach dem zwölften Kapitel geſtatten, iſt die Aufgabe als gelöst zu be⸗ trachten. Bei der gegenwärtigen Aufgabe ſtehen nun folgende a) Den Unterſchied der Seiten a und e, einen der beiden übrigen Winkel zu berechnen. Berechnung des Unterſchiedes a—= ·. Aus den Gleichungen a e= 8S und à— erhält man ) und(8— U), dieſe Werthe führt man in die Gleichung 341: 2= b— 2 be. Co8. A es — ein, ſo geht ſie über in: 1.(S＋D)= οο 2d. 1.(8S- U). cos. à＋.(S- U) oder in: 82＋28 U＋ U24d2- 4 d.(S- U). coS. ＋82-28U-U Hieraus wird: S. U= Gr— Q. S. Cos. ＋ dG. U. cos. und S U- Q. U. c0s.= Q2 Q. 8. cos. 22 Arneth, Geometrie.

durch Trennung der Faktoren: U. 8- d. cos. a)= d(G 8. cos. a) mithin: 1U a(a- 8. cos. q) ————— ⁰ ◻Yfg—— S8-— Q. cos. a Berechnung des Winkels B. Es iſt: b. éein. C= C. ein. B und b. 6in. A a. sin. B daher: b. sin. A b. Sin. C * in. K und b. ein. A b. oin. 3(sin. A ＋＋ sin. C) en Sin. B Nach 219 iſt: ein. A ＋ sin. C2 2 ein. 1(A＋＋ C). cos. 2(A- 0) und nach 201: gin. B sin.(A ＋ C) 2. ein. 1 A＋ C). cos. 41KA＋0) daher: 4 3.sin.(A＋ C). Cc08. 3(A b. co.( A=O 2. Sin. 1(K ＋ CO). cos. 70 XYOYY cCcos. 1 A＋70 Ferner iſt A C 180— B, à(A＋ ο e9οe= B; ACS=A-(is80—(A ＋B))== 180 ＋ 2A ＋ B, 1 A— O) ◻= 90 ＋ A＋ 21B(090(A＋A) und ſomit, wenn auch die obigen Werthe eingeführt werden: Q. cos.—(90 R B)) Q. cos. ＋B)) 8— c05.(90— B) 006.(90— 4 B) d sin.(6 15) 0 Gsin. d. cos. 1 BA. cos.&. Sin. B) 3 sin. 1 B 3 sin. Z B (ein. à cotang. 1 B ＋ ecs. c) und hieraus: S Q. cos. a Q. sin. InR S=A. cos. a— cotang.1 B oder lang. 2 B§—U cos.

erechnung des Winkels C. C — a sin. A 0 a ＋ gsin. A L sin. C sin. C a ＋ 0 sin. A sin. C sin. A ＋ sin. C sin. B—Sin.(A＋ C) Hieraus wird mit Hülfe von 201 und 219: 8 2. 6in. 4(A＋ C). cos. 20 A- 0) C008. 2.s8'n. Æι-cos- I(X＋C)cos. E E Aus dieſer Gleichung bildet man nach bekannten Veränderun⸗ gen die folgende S— A cbs. 1(A— O)— eos. 8 cCcos.(— C) T cos. EE (A ＋ 0) ERE lang. 1 A. lang. 1 C 101— cotang. 2 8— 0 Ccolang. 436“/, C 2 54 26(18“ 8 — 2 * 9 Es ſey S 744, 436(436— 744. cos. 54 26“ 18½ 744— 436. C0 540 267 187% log. cos. 540 26“ 18,“ 9p,764609— 10 109. 744 S= 2,871573 2,636182 J0g. 432,692 109. cos. 540 26“ 18“ 79,764609— 10 109. 436 Q2j,639486 2,404095 log. 253,568 22

daher: 744— 253,568 490,432 1og9. 436 2,639486 lo9. 3,308 0,519566 633 436(436— 432,692) 436. 3,308 3,159052 Log. 490,432 2 2,690579 0,458473 log. 2,874 Es iſt folglich: a ＋( 2 744 und a— 2,874 alſo: 2a 1746,874„ a 373,437 und 1 l 8 S E 2c 1741,126„ Für den Winkel B iſt: 36. Sin. 540 26“/ 18“ tang. 1 E——————EUEUÆ 92 744— 436 C06. 540 26“ 18“ Iog. sin. 540 26“ 18“ 99,910352— 10 109. 436 2,639486 2,549838 o9. 354,682 daher: 354,682 tang. 1 B 190,138 709. 354,682 2,549838 709. 490,432 2,69057 9,859259— 10 log. kang. 35 52“ 287% mithin: 4 B 350 52“ 28“ und B=»i 5 Für den Winkel C iſt: 5 5633 744— 436„ tang. 744 ＋ 436 colang. 279 13“ 9“ —— C 29. 270 137/ 9“ n

L0g. colang. 27 13.9 ◻l0,2 Log. 308 ＋ 2,48855 12,777289— 10 709. 1189 3),071882 9,705407— 10 ◻αuog. tang. 2654“23“ Re C 260 54“ 23“ und 4̈68.46“ Es iſt nicht ſchwer einzuſehen, daß andere Werthe als die angegebenen nicht möglich ſind Auflöſung durch Zeichnung. Man bilde Cig. 195) aus AC=, AD S 8 und A== das Srrtelt ADC. An Do in Clege man den Winkel q=p und ziehe BC, ſo iſt AB0C das verlangte Dreieck. 1 8. Es iſt A ◻ α, AC d und da p= 4, ſo FgB0, folglich AB ＋ BC AB BD AIAD S8. Dreieck A30 hat alſo die beſtimmten Eigenſchaften. f Die angegebene Konſtruktion erlaubt eine ſehr einfache Her— leitung der Gleichung für tang. 2 B aus der Figur 195. Man ziehe CE ſenkrecht auf AD, ſo iſt, weil B= p ＋ Adꝗ AꝛT, B und 1 — as 2— CE CE 729. 83„1I BBA p Æ lang. ꝗ tang. 3 DE A5 Ar nun iſt aber: EC=AC. 8in. A= d. sin. à« und DE AD- AC. cos.A 8S8—-— Q. cos. g. daher: Q. sin. 3 wie oben. 2. Aufgabe. Aus der Grundlinie, dem Unterſchiede der beiden andern Seiten und einem Winkel an der Grundlinie alle 4 Theile des Dreiecks zu finden. Es ſeyen a—= U, b d und A a die gege⸗ benen Größen. Wie wird ſich die Rechnung, wie die Zeichnung geſtalten, wenn in den beiden vorhergehenden Aufgaben anſtat& C gegeben iſt?

3. Aufgabe. Die Grundlinie, die Summe der beiden an⸗ dern Seiten und der Scheitelwinkel iſt gegeben, wie ſind die übri— gen Theile des Dreiecks beſchaffen? Es ſeyen a ＋ εε 8, b= d und B die gegebe⸗ nen Größen. 4. Aufgabe. Die Grundlinie, der Unterſchied der beiden anderen Seiten und der Scheitelwinkel iſt gegeben, man ſuche alle Theile des Dreiecks(Fig. 49). Es ſeyen a—= U, b d und B G die gegebe⸗ nen Größen. Au flöſung durch Rechnung. etze a eε S8S und verbindet damit a— S U, ſo w(8S ＋ U) und C τ H(8— U), führt man nun die eſe Werthe in die Gleichung: 2 a2 ＋(— 2 ac. cos. B ein, ſo geht ſie über in: ²οαιειι8 ＋• D＋4(8- U)2— g.(S＋(S8-U), cos. 6 und dieſe Gleichung enthält nur die eine Unbekannte 8S. Man erhält hieraus: 402² S82 ＋ 28U＋ U2 ＋ 82— 28U0 ＋ U2— 282. 0%s. 6 ＋ 202. co6. 6 oder: 26˙= S82— 82 cos. 6 4. U? ＋. U2. cos, 6 =82(1— cos. 6) ＋ U?(1 ＋½ cos. 6) Nun iſt nach 209 und 211: 1— cos. 6 ◻ 2. zin. 162 und 1 ＋ cos. 6 ν 2. cos. 562 daher: Aa S82ain. 4 62 ＋ U2. cos, 1 62 ſo daß: d2— UL2. cos. 1 62 8 62 8 oder: cos. 10(d U. cos. 1 00 3 oin. 6 Noch leichter findet man dieſe Gleichung aus 406:

— 343— ² 8S2—(8 ＋)(8— U). cos. 4 2— 82. cos. 162 ＋ Us. cos. 4 62 82.sin. 62 ＋ U2. cos. 4 62 woraus dann wieder die vorſtehende Gleichung folgt. Durch eine ähnliche Rechnung, wie in der erſten Aufgabe, findet man die Winkel. Aus der Gleichung: E 2 a sS6in. A Ein. 6 bildet man: a— S6.in. A— ein. C 88 oder: A— sin. A— ein. Cein. A— sin. C Iin.(X ＋ 0 Dieſe geht durch 201 und 220 über in: 2. cos. 1(A＋ O. sin. 1(A— 0 sin. 1(A-=0) A 2. in.(X ＋ GY- cos.(KTC) csin. 1Æ Da nun(A4 ＋ C)(180— B) 90— B = 900— 6 und sin.(90— 2 6) cos. 2 6, ſo wird: U 6in. 1(A— C) 6 008.„ daher: sin. 3(à— C) 9„cos. 1 6 Hieraus findet man ſehr leicht den Unterſchied der Winkel, deren Summe durch 6 gegeben iſt. Beiſpiel. Es ſey U= 476/,45; G= 680“ und 6=2 74 18/ 24“, ſo iſt 1 6 ◻ 370 9, 12“ und 476,45 680 109. 476/%½45= 3,678017 log. cos. 370 912“ V9,901470 sin. 1(A— C).cos. 370 9“ 12“ 12,579487— 10 109. 680· 2,832509 9,746978— 10 SLog. sin. 33 56“53“

daher: 14-= O) 330 56/ 53“ und A— C= F67e 53/ 46“ Verbindet man nun hiermit A ＋ C= 180— 6 1800— 740 18/ 24/ 1050 41/ 36“, ſo erhält man: 2A 1730 35/ 22“ alſo A ρ S86“ 47“ 41“ und 20 j370 47, 50“„ C=2 180 53“/55“ Für die Summe der Seiten iſt: J09. U. cos. 1 6 ◻ 2,579487 Log. 379,74 daher: 52 VM(680 ＋.379,740(680—379/70 XI059,74.300,26 7 67n. 370 97/ 127 ein. 370 97 12 14 709. 1059,74 Q3,025199 409. 300,26 S 2,477497 Iog. 1059,74. 300,26 5,502696 Iog. M 1059,74. 300,26 2,751348 log. sin. 370 9“ 12“ log. 8 s Log. 9347 Die Gleichungen nd U= a—(476,45 geben für a und e die Werthe. a= 705,225 und e=◻ 228,775 Auflöſung durch Konſtruktion. Man bilde(Fig. 196) aus AC b d, DC== U und aus einem Winkel 9 1 90 ＋ 4 6 das Dreieck ADC. An AD in A lege man einen Winkel II. m S n und ziehe AB, ſo iſt ABC das geſuchte Dreieck 00, Beweis“ Daem n, ſo AB= BD, folglich BC— AB 757— BDDC Es iſt ferner AC= 1 und da q= 90 ＋ 3 6, ſo iſt n⸗= 180—(90 ＋ 4 60 1 90— 4 n 180— 2(90— 4 6) 180— 180 ＋ 6 ◻ 6. 5. Aufgabe. Aus der Summe zweier Seiten und den Winkeln des Dreiecks ſoll man alle Theile deſſelben auffinden

— 345— Es ſeyen a. 8, A2 6, B6, CS die gegebenen Größen. Auflöſung durch Rechnung. Aus der Gleichung 408: a— fong. 1(A) à F lang. 1( 0) erhält man, indem man a—= ſetzt: S. tang 66 —2 1 1 1 oder auch, weil kang.(a ＋ 7) σ colang. 16 US. fang. 1 6. lang. 1(a— 7. Dieſe Gleichung führt zur Kenntniß der beiden Seiten a und e, gibt man derſelben die Form: U. cos. 6 8 Sin. 6lang. 1(— ſo kann man den Ausdruck zur Linken nach der vorigen Aufgabe durch G. smun.ä(A— C) b. sin. 1(«— J erſetzen, ſo daß: 5 Ein(=8eein. tkang. 1α alſo: 3 8S. sin. I 6 8S cos. 4(à ＋ 5 cosS. 2(αð- 7 c0. 1(4— 7) Hierdurch wird auch die dritte Seite gefunden. Die Berechnung beſtimmter Fälle bietet nichts Bemerkens⸗ werthes dar. Auflöſung durch Zeichnung Cig. 195). Man bilde aus AD 8 und den Winkeln A a, p 6 das Dreieck ADC. An CD in C lege man den Winkel J S p und ziehe CB, ſo iſt ABC das Dreieck. Beweis. Da J ⸗2p, ſo iſt BC B, folglich AB ＋ BC ◻ AB ＋ BD Ab S. Ferner iſt A=π α und B p＋ 2p= 2. 6 ◻ο(6, ſomit auch CG= 7. 6. Aufgabe. Aus dem Unterſchiede zweier Seiten und den Winkeln das Dreieck zu finden. Es ſeyen a—=, A= a, B gegebenen Größen. 3)„ die

46— 2 2 7. Aufgabe. Aus der Summe aller Seiten und aus den — 1„3 Es ſeyen a ＋ b S, Ar= a, B=6G6, Cy die gegebenen Größen. Auflöſung durch Rechnung. Es iſt: a zin. K Fin. B Fin. 6 Hieraus bildet man die Gleichung: a ＋ b ＋ C gin. A ＋ sin. B ＋ sin. C 3 Sin. 1 eben ſo: a T＋ b ＋ e Sin. A T 3in. B ＋ sin. C b 3 6n. B und a T b ＋ sin. A ＋ sin. B ＋L sin. C 0 6in. C Dieß führt zu: S. sin. A sin. A ＋ sin. B ＋ sin. C 8S. sin. B 0 5en. A ＋ sin. B sin. C Rach XIV, Aufgabe 13, iſt aber: sin. A ＋ sin. B ＋ sin. CSA. cos. 4 A. cos. 4 B. cos. 1 C daher, wenn auch noch nach 201 der Zähl d 0 ee 2 2 — 2 — — 2 E S. 3in. 4 22....——————ꝑ———NE—＋—R——— 2. cos. T G. cos. 1 7 r6 8 b 1 cCos. I G. cos. 1 7 e 2 5 sin. 47 2. cos.&. cos 2 6 Auflöſung durch Zeichnung Cig. 197)). Man bilde aus DE 8S und den Winkeln m=, 2 das Dreieck DBBE. An DB in B lege man den Winkel n ⸗= m und

an EB in B den Winkel p⸗= ꝗ und ziehe BA und B, ſo iſt ABC das verlangte Dreieck. Beweis. Da n ⸗= m, ſo iſt AB= A, eben ſo iſt wegen p⸗= ꝗq, BC== CE, daher AB ＋ BC ＋ AC= AD ＋ CE ＋ AC= DE= S. Ferner iſt KA m n 2m 2· daher auch= 86 8. Aufgabe. Aus zwei Seiten und dem Unterſchiede der Winkel an der Grundlinie das Dreieck; Esſehen a r d nund die ge⸗ Soll durch die gegebenen Größen die Grundlinie dargeſtellt werden, ſo beachte man, daß 85 der fünften Aufgabe: P ＋ OO. cos.(A ＋ O) C05. 5 iſt alſo aus der obigen Gleichung der Werth von ＋ O) herzuleiten und in die zweite Gleichung einzu— n iſt nach 82: * cos.(A ＋ C) 8S. U 83828 V(U2＋82 Tang. VIcoS. 0 ＋ S2 511.1003) oder: b ＋＋)= οι VEIr O ain. 1 ＋• ο ᷓ6οs. ＋ U Zur Konſtruktion dieſer, ſo wie vieler andern Aufgaben, wird die Auflöſung denht auf den Sätzen 571 und 572

— 348— beruhenden Aufgabe nothwendig, welche als Einleitung zur folgen⸗ den Konſtruktion hier ihre Stelle finden mag. Aufgabe. Man ſoll über einer Geraden AB(Fig. 198) 1 einen Kreis beſchreiben, welcher einen gegebenen Winkel am Um⸗ fange faßt. Es ſey AB d die Gerade, der gegebene Winkel S 0. Auflöſung. An AB Æ G lege man die Winkel m n 990— ò und ziehe AC und BC, ſo wird der aus dem Durch⸗ ſchnittspunkte C beider Geraden mit dem Radius AC Æ◻ρ B3C be⸗ ſchriebene Kreis den gegebenen Winkel§ am Umfange faſſen Beweis. Es iſt C= 180—(n ＋ n) i180—W 2m 2 180— 2(90— à) 180— 180 20 ◻ H230ò, dahe nach 571 D o, und dieß findet nach 572 für alle Winkel am Umfange ſtatt. Auflöſung durch Zeichnung. Man be ſchreibe(Fig. 199) über CD= P— einen Kreis, welcher am Umfange den Winkel p ⸗= 1 faßt. Aus B, ſo daß B3C P, durchſchneide man den Kreis mit AB d und ziehe 40, ſo iſt ABC das geſuchte Dreieck. Beweis. Es iſt AB= d und BC=◻= P. Ferner iſt wegen AB= BD, n=m, daher R Æπ τ mρν ＋ n =pP ＋PpPIT g= 2p/ q und da C Æ＋ 4, ſo iſt A C Æ＋ 2b˙ ◻. 2. 2 ½ ◻ u. 9. Aufgabe. Das Dreieck zu finden aus der Grundlinie, der Summe der beiden andern 83505 und dem Unterſchiede der Winkel an der Grundlinie. Es ſeyen b= d, a ＋ 8, A— C u die ge⸗ gebenen Größen. Auflöſung durch Rechnung. In der erſten Aufgabe iſt gefunden, daß: 1 85.10.0 oder 8S. cos.1(A＋) AG. cos. à 10 Hieraus erhält man: cos. 1(&K ＋ C) E 8 C05. 4

— 349— us der zweiten Aufgabe iſt: 2 ◻ 82 Cos. 1(A ＋ C): ＋ U2 sin. 1(A ＋ 0)2 daher: Q² Q2 cos. ＋ U2. sin. 1(A ＋ C)ꝛ2 oder: Q2 sin.= U2(1— cos. 1(A ＋ 0)2) cos. 4 02) S. G. sin. 1 G＋ G. cos. 4 ½(8— Q. cos. 2 1) 2 Auflöſung durch Konſtruktion. Man bilde(Fig. 195) aus AC ε, AD 8S aus dem Winkel ACD= 90— bdas Dreieck ADbC. An DC in C lege man den Winkel d Sp und ziehe CB, ſo iſt ABC das Dreieck. Beweis. Es iſt AC= d und weil g=p auch BDS BC, daher A BC AB ＋ BD AD S8. Ferner iſt: A= 180— p—(90— 90— p 2 u und C ◻ ACD 9- ˙αο==- p, und ſomit A— C 1 89. 2 8 2 — 90 ＋ fοπρ= fιοuον εον u. Das Dreieck AD0 wird hier aus zwei Seiten und dem nicht eingeſchloſſenen Winkel gebildet, es ſind aber dennoch keine zwei Dreiecke möglich, weil AD immer 2 ſeyn muß. 10. Aufgabe. Aus der Grundlinie, dem Unterſchiede der beiden andern Seiten und dem Unterſchiede der Winkel an der Grundlinie alle Theile des Dreiecks zu finden. Es ſeyen b= d, a—== U und A— C die gegebenen Größen. XVI.) KAufgaben über das allgemeine Dreieck, wenn außer den früheren Veſtimmungsſtücken auch noch die Höhe, die Kegmente einer Seite u. ſ. w. vorkommen.

1. Aufgabe. Die Abſchnitte der Grundlinie und der Scheitel⸗ winkel ſind gegeben, man ſucht das Dreieck(Fig. 49). Es ſeyen DC= M und AD N die Abſchnitte, 8= 8 der Scheitelwinkel. Auflöſung durch Nechnung— Aus der Gleichung: 5 Mlang. 4 N fang. C bilde man die folgende: S * M— 5 fang. R— Iang. 0 ö N fang. A 5 Lang. und erſetze den Ausdruck zur Nechten nach 247, ſo wird: ein.(A— G) M-N 27u.(TTO MTN Beachtet man nun, daß sin.(A ＋ C) sin. B Lgin. 6, ſo iſt: M- N ö ein.(A— C) NN Sin. 6 Durch dieſe Gleichung gelangt man zur Ken ntniß der unbe⸗ kannten Winkel des Dreiecks, welche, vereint mit den gegebenen Größen, die Berechnung der Seiten àa und e geſtatten. Auflöſung durch Zeichnung. Man beſchreibe über ei⸗ 16— ner Geraden AC ◻ M ＋ N(Fig. 200) einen Kreis, welcher den gegebenen Winkel Gam Umfange faßt. Im Punkte D, ſo daß AD N eoder CD M, errichte man die Senkrechte BD; zieht man nun AB und Ch, ſo iſt ABC das Dreieck. Beweis. Es iſt AD N,(D= M und nach XV, Aufgabe 8, B 6. 2. Aufgabe. Die Abſchnitte der Grundlinie und der Un⸗ terſchied der Winkel an der Grundlinie ſind gegeben, man ſucht alle Theile des Dreieckes. Es ſeyen COD= M, AD= N und A— C ε die ge⸗ gebenen Größen. 3. Aufgabe. Der Unterſchied der Abſchnitte der Grund⸗ linie und die Winkel ſind gegeben, wie ſind die übrigen Theile des Dreiecks beſchaffen?

Es ſey COD— AD M- NS D, A B6, 4. Aufgabe. Der Unterſchied der Abſchnitte der Grundlinie, die Summe der beiden anderen Seiten und ein Winkel an der Grundlinie ſind gegeben, man ſuche das Dreieck. Es ſeyen COD— AD= M— N D, a C8ð, Cy die gegebenen Größen. Auflöſung durch Rechnung. Nach 382 iſt, wenn a— e (Mx- ð S8U 1 , 2 — 8. U Hieraus erhält man Ferner iſt: c2 a2 ＋ bꝛ— 2ab. cos. C Nun iſt aber a=(8 ＋ UY,= 8— U), daher, wenn in dieſe Gleichung, für a, b, e die angegebenen Werthe ein— geführt werden: 8 2. U2 S. U 8 ² 1(8 ＋T 0)2 ＋ 5 1(8＋H. cos.; 8 1 82. U R 8S. 0 —4. 5.(8S ＋ D cos. und S2. U2 5 17 0 Dieſe Gleichung läßt ſich durch 48. 0 theilen, daher: — D2 — 48. U4. L65 ＋ U). cos. 7 U cos. 7— · Co6. 7 S

Mit De vervielfacht, wird: Y(b ecoe y 8) D= 8. ens. 5 daher: D(D0 8. cs. 15 Dcos.— 8 U Durch dieſen Werth erhält man für die einzelnen Seiten: ö 8—D) n Las und K tun e — U»eeb—43 Auflöſung durch Zeichnung. Aus FCÆ D(Fig. 200, EC 8 und dem eingeſchloſſenen Winkel C Sy bilde man das F Dreieck FCE. An EF in F lege man den Winkel n⸗= m und Du ziehe FB. Aus B, ſo daß AB FB, durchſchneide man die tchibn Gerade K0C, ſo iſt ABC das verlangte Dreicck. ‚ Beweis. Das Dreieck ABF iſt gleichſchenkelig. Daher wenn BD ſenkrecht zu Ac, ADb DF, ſomit CD— AD = 0CD— DbF= CF D. Ferner iſt, wegen n= m, BF = Ez, daher auch AB= EB und BC ＋ AB= BC ＋ EB Nu = EC S. Zuletzt iſt C⸗ 7. 11 L0: 5. Aufgabe. Aus dem Unterſchied der Abſchnitte der Grund⸗ Kaf linie, dem Unterſchiede der beiden anderen Seiten und einem Win⸗ Rut kel an der Grundlinie alle Theile des Dreiecks zu finden. IE. Es ſeyen M— N2 D, a— und C y die et gegebenen Größen.! 6. Aufgabe. Der Unterſchied der Abſchnitte der Grund⸗ A⸗ 11 linie, die Summe der beiden andern Seiten und der Scheitelwinkel it ſind gegeben, man ſucht das Dreieck. 1N Es ſeyen M— N= D, a ＋(28S und B 6 die I7 4 gegebenen Größen. 7. Aufgabe. Der Unterſchied der Abſchnitte der Grund⸗ linie, der Unterſchied der beiden andern Seiten und der Scheitel⸗ winkel ſind gegeben, man ſoll das Dreieck finden.

Es ſeyen M— N D, àa— c U ͤund R 6 die gegebenen Größen. Auflöſung durch Rechnung. Dem in der vierten Auf⸗ gabe erwähnten Satze 38 kann man die Form geben: D 8 Nun iſt aber nach XV, 1. Aufgabe: 8 cos.(A— C) D cos. 2(A— C 5—.— 1 ＋ 0 dah er auch.— 14＋ 0 da nun cos. 1(à ＋ 0) dcos.(180— B) cos.(90 — 2 B) S esin. Y B Fsin. 6, ſo erhält man hieraus: D cos. 1(A— C) U· sin. 26 In Durch eine andere Auflöſung, analog der in der 4. Aufgabe, erhält man für die Summen der beiden Seiten: D. U. cos. 16 VCI— PD. ein. T62) D U cos18 8 VOYTD. sin. 6)0 U* 6in. 36) ＋1 Auflöſung durch Konſtruktion. Man bilde(Fig. 202) aus FC ν D, EC Æ und p= 436 das Dreieck EEC. An EF in F lege man den Winkel u m, ſo wird dadurch das Dreieck CBP gebildet. Zuletzt durchſchneide man aus B mit AB AᷓBF die Gerade AC in A, ſo iſt ABC das Dreieck. Beweis. Da m S n, ſo iſt BF B:kE, es iſt aber auch AB BF, daher AB BE und BC— AB BC- BE SEC Æ. Das Dreieck ABP iſt gleichſchenkelig, daher, wenn Bb ſenkrecht zu AC, AD Df und DC— AD DC— DF =FfC= D. Ferner iſt B= 180— A— C aber auch A＋ n ＋ P= 180; daher B A＋nHp- A4 C m ＋ PpP CppPECTPT CSD2pP= 2. 16 ◻=. Die Konſtruktion verlangt die Bildung des Dreiecks FEC aus 0 zwei Seiten und dem nicht eingeſchloſſenen Winkel, hierbei können Ethit⸗ jedoch zwei Dreiecke ſtattfinden. Beachtet man aber, daß manur ein ſpitzer Winkel ſeyn kann, ſo erkennt man leicht, daß die 23 * * Arneth, Geometrie,

Konſtruktion nur ein Dreieck ABC zuläßt, was auch die Nechnung ſchon anzeigt. 8. Aufgabe. Der Unterſchied der Abſchnitte der Grund⸗ linie, die Summe der beiden anderen Seiten und der Unterſchied der Winkel und der Grundlinie ſind gegeben, man ſoll das Drei⸗ eck finden. Es ſeyen M— N= Di„„„ die gegebenen Größen. Auflöſung durch Nechnung. So wie in XV, 1. Auf⸗ gabe A gefunden wurde, ſo findet man durch W, 2. Aufgabe, daß: ei A= 0) A dgin. K ＋ C) Wo Uund a Sb iſt. Nun iſt aber nach 382 1 D a ð8 daher: Dgein. 2(A— O 8 Fin. 1(K ＋ ſomit: 8 8 sin. 1(A ＋ C) DB n. Sind hieraus die Winkel A und C berechnet, ſo zeigt die 5. Aufgabe in XV, wie die übrigen Stücke gefunden werden können. Auflöſung durch Konſtruktion. Man bilde(Fig. 201) aus EC 8, FC D und dem Winkel m zu das Drei⸗ eck CFE. An EF in F lege man den Winkel n=m und ziehe FB. Aus B mit AB= BfF durchſchneide man AC, ſo iſt ABC das Dreicck. Beweis. ABF iſt gleichſchenkelig, daher, wenn Bꝰ ſenk⸗ recht zu AC, iſt AD= DF und CD— AD 0D DF =FfC D. Wegen m S n iſt EB Æρ BF AB, daher: AB ＋ BC= EB ＋ BC EC ◻ S. Zuletzt iſt A- 0 180— 20— B= 180— 20 ABF— FBC 180 64 1(

1480 200 2(A-0)- 2m. Da⸗ 10 1 9. Aufgabe. Der Unterſchied der Abſchnitte der Grundlinie, der Unterſchied der beiden anderen Seiten und der Unterſchied der Winkel an der Grundlinie ſind gegeben, man ſoll das Dreieck finden. Es ſeyen M— N D, a— UU und A— CU die gegebenen Größen. 10. Aufgabe. Die die Höhe und der Scheitel— winkel ſind gegeben, man ſoll alle Theile des Dreiecks finden. Die Grundlinie ſey&, die Höhe H und der Scheitelwinkel 6. Auflöſung durch Rechnung. Es iſt(Fig. 49) NS h. cotang. A und M= h. colang. C daher: MTNSh.(cotang. A ＋ colang. C) Setzt man nun für M ＋ Nb und für h ihre gegebe⸗ nen Werthe und beachtet, daß nach 245 sin.(A ＋ O) colang. A ＋ colang. C ſin. K. ein. C ſo wird: rnl. K 0 ein. B . Sin. X. S'n. C SHz eIin. K sin. C Nach 218 iſt ferner: 2 ein. A. sin. C== cbs.(A— C)— cos.(A ＋ 0) daher: 85 sin. 3— sin. 6 3 RRR(A-C) Æcos. 6 Hieraus findet man nun: Cos.(A— C) 2•U.sin. 6— cos. 6 Beiſpiel. Es ſey A= 1365, H1 2 789/, 6 780 18/32% ſo iſt: 789 cos.(A- C) (A-C De22. 15650 sin. 780 18/ 32“/— cos. 78 18“32“ 23**

Log. sin. 780 18“/32“/ 9,990896— 10 Jog9. 789 257,897077 100. 2(0,301030 3,189003 709. 1365— 3135133 0,053870 Log. 1,1320620 daher: c08.(A— C) 1,1320620— C08. 78⁰ 18“32“ 1,1320620— 0,2026354 0,9294266 ＋ cCbs. 210 39“ 16“ Durch 6 iſt die Summe A J＋＋ C geg gefunden, beide Gleichungen 41. 28“ KA— C 210 39“/ 16“ eben, hier iſt&— C vereint geben: 2A S 1230 20/ 44“, Alſs 610 40“ 22“ und iee,,. Nunmehr iſt es leicht aus der Grundlinie und den Winkeln vie beiden anderen Seiten zu berechnen. Der Winkel, welcher für A— C gefunden wu ſinuſſe beider gleich ſind; die— rde, kann auch negativ genommen werden, da die Co ſer Werth würde geben: 0 1010 41/ 28“, KA— C 210 39“ 16“ 2AK gS800 27 12“%, alſo A Æ 400 1“/ 6“ und 20 2 1230 20/ 44“/,„ C= 61 40“ 22% Dieſe Werthe beziehen ſich auf eine andere Lage des Dreiecks, in welcher die Bedeutungen von A und C wechſeln. Auflöſung durch Zeichnung. Ueber AC= QCFig. 203) beſchreibe man einen Kreis, welcher am Umfange den gegebenen W1. Winkel 6 faßt. Mit 40 parallel ziehe man BBI, ſo daß 4 die ſenkrechte Entfernung der beiden Parallelen H iſt. Ver⸗ 3 bindet man jetzt den Durchſchnittspunkt B mit A und C, ſo iſt ABC das Dreieck.

— 3 — 4 5 Beweis. Es iſt B= 6, AC= dA und die Höhe des Dreiecks— der Entfernung der beiden Parallen— H. Die Parallele BB. hat noch einen zweiten Durchſchnittspunkt Bi, mit dem Kreiſe, dieſer gibt ein zweites Dreieck AB. C, welches aber bloß in der Lage von dem erſten verſchieden iſt. 11. Aufgabe. Aus der Grundlinie, der Höhe und dem Unterſchiede der Winkel an der Grundlinie alle Theile des Drei— ecks zu berechnen. Die Grundlinie ſey E, die Höhe I, der Unterſchied der Win⸗ . Nach den vorhergehenden Aufgaben iſt: II cos. B— 2. G sin. B=— cos. w. H Um dieſe Gleichung aufzulöſen, ſetze man 2. tang. ꝙ, ſo wird: cos. B— kang. ꝙ. ein. B=— cos. 1 oder: sin. ꝙ C05. ꝙ cos. B. cos. ꝙ— sin. B. sin. ꝙ= cCos. h. coS. ꝙ cos.(B ＋)— cos.. coꝙ Es ſey A 586“, H= 203/, h 190 17“ 18“, daher: 203 406 586 586 log. 406 2.,608526 log. 586 2,767898 9,840628— 10 log. lang. 340 42/ 55%,5 cos. B—„sin. B=— Cos. 1 tang. ꝙ mithin: coõ.(B ＋ 340 42 55//5)= ½cos. 190 17“ 18“/. cos. 34042“55%5 log. cos. 190 17, 18“ V995974916— 10 log. cos. 340 42/55/ü5 9,914867— 10 9,889783— 10 αog. cos. 390771“ Es iſt daher: B 340 42,55%%5 1400 52/59,/ 219 7“ 1“ u. ſ. w.

B 2 1400 52“ 59“— 340 42/ 55%5 106“ 10“ 3%5 Durch den nächſten Winkel würde 8 180“ werden. Hierdurch erhält man A ＋ C 730 49/ 56%5, verbindet man dieſe Gleichung, mit A— C 190 17/ 18“, ſo wird: 2A 2 1930 7,14%5, alſo K 460 23“/ 37“, und 20 2 540 32“/ 38½ñ5, alſo C= 270 16“ 19“ Für ꝙ iſt aber bloß der erſte Winkel angeführt worden, es kann jedoch= 34(42“ 55/%05 22140 42“55%ö5 394% 42“55½%5 Du. ſ. w. ſeyn. Der zweite Werth z. B. gibt: co8.(B＋ 21442 55%5)=— cos. 190 7718¼. c06. 2140 42“55/%5 ＋ ＋ cos. 190 17“ 18“. c08. 340 42/ 55%5 òdcos. 399 71 1“ = Cos. 3200 52“ 59“ cos. 3990 7 1“ u. ſ. w. Der erſte Werth 390 7“ 1“ kann hier nicht genommen wer⸗ den, weil ſonſt B negativ werden würde. Der zweite gibt: B 23200 52“/ 59“— 2140 42“ 55%%5 1069 10½5„5 wie oben. Durch den folgenden Werth wird B ſchon größer als 1800. Welchen Werth von§ man alſo auch nehmen mag, ſo erhält man doch immer den gleichen Winkel B. 12. Aufgabe. Der Unterſchied der beiden Seiten, die Höhe und der Scheitelwinkel ſind gegeben, man ſoll das Dreieck berechnen. Es ſey a—= U, BD H, B6 gegeben. Nach der vorigen Aufgabe iſt: H cos. 6— 2. Pb bin. 6 ◻ E cbs.(A— O) Nach XV, Ate Aufgabe hat man: 1 ein. 1(A— O) ſh. ecos. 46. daher: Co. E6 Fin. 1(A— C) Führt man dieſen Werth in die erſte Gleichung ein, ſo wird: cos. 6— 2 55 0—2.— cos. A=-) Da nun nach 201 und 205: sin. 6=2. 6in. 16. cos.5f u. coS.(A=O) e 1- 2. sin. 1(A-00)2 E

ſo iſt auch: 606.6—4. U sin. 16 sin. 1(A- 0)= 142. sin. 1(A-C)2 oder, mit Zuziehung von 211: H 2 ein. 1(A— C02 ＋ 4 UJLin. 26. sin. 1(A— C0) eees 6= 2. cos. 162 und sin. 1(A-0)2 ＋ 2. UE Lin. 16. sin. 1(A— C) cos. 262 Dieſe Gleichung enthalt nur die eine Unbekannte 5n. 2(4-0) und iſt in Bezug auf dieſe vom zweiten Grade, die Auflöſung der⸗ ſelben iſt: sin. Y(A— C)2 ＋ 2. 3 sin. 26 sin. 1(A-0) 5 1 — E E..sin. 2 62 2— (ein. 1(A C) 5 sin. 26) EKE E 2 U2. cos. 162 ＋ I2. ein. 162 U2 mithin: 8 HI38. U2. cos. 462 ＋ H2. sin. 62) sꝛn. 24—0 22 U sin. 164 Die der Nechnung zum Grunde liegenden Gleichungen können aber auch ſo verbunden werden, daß A— C herausfällt und man alsdann b erhält. Die Nechnung iſt: 2 cos. 6—2. J5 sin. 6=— cos.(A-C)= 1 ＋2 sin. 1(A-=0 0 11 2 132 cos. 162— pP· Lin. 8 b eos. 26 2— b. H. ein. 6 U2. cos. 162 e.s⸗ be— 2. b. H. fang. 16“ H. tang. 16)2 ½ ＋＋ Hz. lang. 265 b= H. ftang. 6 T V(U2 ＋ Ha. fang. 265) Das doppelte Zeichen weist auf zwei Fälle hin, können dieſe ſtattfinden?

— 360— 13. Aufgabe. Die Summe der beiden Seiten, die Höhe und der Unterſchied der Winkel an der Grundlinie ſind gegeben, 1 man ſoll das Dreieck finden. 5 Es ſeyen a ＋( FG8, die Höhe=H und A— ε gegeben. 14. Aufgabe. Die Summe aller Seiten, die Höhe und ein Winkel an der Grundlinie ſind gegeben, man ſucht alle Theile des Dreiecks. Es ſey a ＋ b ＋ α 8, die Höhe H, der Winkel Nach XV, ſiebente Aufgabe iſt: S. 6in. XA 2. cos. IE. 606. 10 Da nun à 5in. C= H, und sin. C= 2. sin. 1 C. cos. 2 C, A ſo wird: 3 S. sin. A.. sin. 120 8S. sein. A. sin. 1C0 coS. B n, 8 oder: H. sin. 1 A. cos. 10 ＋ H. cos. A. in. 1 C8. oin. YA. sin. àC Wird dieſer Ausdruck durch cos. T K. sin. J C gemeſſen, ſo entſteht: H. fang. 16. colang. 10 ＋ H==8S. lang.& a und hieraus: S. lang. 16— HH— H. tang.& G cotang. 1 C oder auch: H. fang. 2 0 1„E.....0 tang. 2 C S. lang.— U 5 Auf dieſe Weiſe findet man die Winkel, mit deren Hülfe man, nach XV, ſiebente Aufgabe, alsdann die einzelnen Seiten berechnet. 15. Aufgabe. Die Summe aller Seiten, die Höhe und der Scheitelwinkel ſind gegeben, man ſoll das Dreieck finden. Es ſey a ＋ b ＋ e 8, die Höhe H, der Scheitel⸗ 18 winkel B 6.

— 361— Zum ſechszehnten Kapitel. XVII.) Veiſpiele über die wichtigſten Fälle des ſechszehnten —Æ Kapitels. Beiſpiel zu 494 und 495. Es ſey a⸗= 30“/, b= 25, =2 21,½ d 36/, C= 104“ 29“ 48“/. Nach 494 iſt, für die gegebenen Größen: 838 25— 21. coõ&. 1045 29“ 48“ c. sin. C 21.. ein. 1040 29“ 48“ 25 2i1·˖(30 120% 21 ö. 757 307 172 1og. cas. 75 30“ 12. ◻ 19,398501— 10 109. 21 1,322219 0,720720 log. 5,2568 1.4 40 30,2568 II 9. ν EI. 61n. 750 30127 21 ofn. 750 307 12 109. 30,2568 1,480823 10g.sin. 7530/12“ 97,985948— 10 109. 21 1,322219 1308167 log. tang. ꝙ 10,172656— 10og. tang.566˙2“ alſo ꝙ= 560 6“ 2“¼. Feruer iſt: ddiieag eos. * 8—5 2 ac. Sin. C 625 ＋ 900— 1296 ＋ 441— 2. 25. 21.605. 1040 29748“ YH2à0 21 Fuν 104 29“ 48“ 67050.21.608.750 30/12 670 4.50.5,2568 e 60 21 7n. 750 307 122 60 21. sin. 750 30“ 12“ 932,840 60 21. 67n. 750 30“/ 12“ log. 932,840 2,969806 Iog. 21. sin. 750 30/12“/ 1,308167 1og9. 60 ＋ 1,778151 S＋ 3086318 0,SS83488— 1 log. u

Nun iſt: sin.(B ＋ ꝙ) 2 cos. ꝙ zin.(B ＋ 560 6“/ 2/ ◻ ονσ. coõ. 560 6“ 2“% log. 1 ＋(0,883488— 1 109. cos. 56 6/2“/◻τ 9,746430— 10 9,629918— 10 og. sin. 250 14/44“ Es iſt mithin: BE 250 14/ 44“— 560 6/2,“—— 31“ 51“ 18“ö oder B 1540 45/ 16“— 56 6/2“ ＋980 39/ 14“ oder B 3850 14/ 44“— 560 6“2“ ＋ 23290 8“/ 42“ u. ſ. w. Der erſte Winkel iſt negativ, kann alſo nicht ſtattfinden, der dritte und die folgenden ſind ſo beſchaffen, daß ſie mit C zuſam⸗ men ſchon 3600 ſind, ſo daß nur der zweite Werth übrig bleibt. Berechnet man nach der Gleichung 495: sin.(D ＋ ꝙi)= i 006. ꝙ1 in welcher: 6— be⸗ 06. Aih 1 55 by. sin. C und b2— a2 4 c2 ＋ dz— 2 bœ. cos. C * 2 bd. 5in. C den Werth von D, ſo findet man P1 S 48“ 23“ 47“ Hieraus ergibt ſich nun: DA 480 23/%/47Tͤ˖ m»410 5/% 4“ daher: DS410 5“ 4“— 480 23/ 47“/— 70 18“/43“%éä oder Dr 1380 54/ 56“— 480 23“47“ t. 900 31“ 9“ oder DSr 401% 5, 4“/— 480 23“47 ＋ 3520 4117“ 1.„ Von dieſen Winkeln gilt daſſelbe, was für die Werthe von B geſagt worden iſt, nur D= 900 31“ 9“ iſt zuläſſig. Berechnet man nach einem der Geſetze 490— 493 den Winkel A, ſo erhält man:

— 363— A 2 660 19/ 49“ oder A= 2930 40“ 11“ Stellt man die zuläſſigen Werthe zuſammen, ſo findet man: AG660 19/49“, B 980 39/ 14“, C= 104 29/ 48“/, D 900 31/9“/ und alle dieſe Winkel zuſammen machen, wie es ſeyn muß, 3600 aus. Die Gleichung 501 wird auf dieſelbe Weiſe berechnet, die übrigen Formeln des ſechszehnten Kapitels bieten keine Schwierig⸗ keiten dar, die nicht ſchon früher ihre Erläuterung gefunden haben. XVIII.) Einige praktiſche Kufgaben über das Viereck.(Fig. 92). 1. Aufgabe. Die Lage dreier unzugänglichen Punkte B, C, D, oder das Dreieck BCD iſt gegeben, man ſoll die Lage eines vierten Punktes A gegen dieſe drei beſtimmen. Kann man auf& die Winkel a1 und a meſſen, ſo iſt die Aufgabe, aus b, e und den Winkeln C, a: und a das Viereck zu berechnen. Es iſt: AC. oin. 41 Sb. sin. B und 40. ein.«. sin. D daher: sin. 1 b. sin. B sin. B e. Sin. g1 Rhhß Aus dieſer Gleichung bildet man die folgende: ein. B— sin. D C. 8in. a1— b. Sin. q 57n. B ＋ sin. P. ein. di ＋ b. 6in.& oder nach 223: tang. 1(5— D) Ce. ein. a1— b.. Lin. a lang. T(B ＋ D)— C. sin. d1 ＋ b. sin. d Da nun lang. 2(B ＋ D) ν lang. 4(360—(A＋0) S ftang.(180—(A ＋ 00)== tang. à& ＋ O eine gegebene Größe iſt, ſo erhält man: · b. sin.«. Sin. a 4A＋ 0 zagd b. S αοοννσο. sin. q1 langg CRok B ＋D iſt durch A ＋ C gegeben, daher dieſe Gleichung die beiden Winkel B und D gibt, mit Hülfe derſelben erhält man 13 nach§. 77 ſehr leicht die Seiten a und d. 8 2. Aufgabe. Die Entfernung zweier Punkte A und D oder d iſt gegeben, man ſoll die Lage zweier unzugaͤnglichen

— 364— Punkte B und C gegen die erſten, beſonders aber deren Entfer— nung b beſtimmen. Können auf A und D die Winkel, a und,§.1 ge⸗ meſſen werden, ſo kennt man vom Vierecke AB30 die fünf erfor⸗ derlichen Stücke, aus welchen ſich alle übrigen berechnen laſſen. Es iſt: AC. sin.(DTqα= d. sin. D und a. sin.(A＋ 810 d l daher: 46 43 d. sin. 0 ·Sin. ö1. sin.(D5 ＋ 0) Sin.(X ＋ 51) Ferner iſt: bz= a2 ＋ AC2— 2a. AC. cos. a1 daher durch Einführung der vorſtehenden Werthe: *3 4.Sin. di 5 3 45.sin. 57n.(X ＋ 5102 8 ＋ 402 d. Sin. ö1 5 sin. D Iin.(A T 5 ein.(D 8 40 oder: b d2 sin. öͤöi gon. 34·˖[ 5 5. 5—50 5in. ö Sn. D 57n.(A ＋55 ain. D a 6¹) Die Werthe für e und BD ſind: d. 8in. G de. Sen. A (D＋ und BD Die übrigen Stücke B und C des Vierecks können nunmehr leicht berechnet werden. 3. Aufgabe. Die Entfernung zweier Punkte B und Coder b iſt gegeben, man ſoll die Lage zweier andern Punkte, A und D, beſonders aber ihre Entfernung beſtimmen. Auf A meſſe man die Winkel a: und a, auf D die öͤ und§. 4. Aufgabe. Die Entfernung zweier Punkte Bund C⸗= b, eben ſo die der Punkte A und Dd iſt gegeben, man ſoll die ge⸗ genſeitige Lage der vier Punkte oder das Viereck AB0 beſtimmen. Hinderniſſe, welche die Beſchaffenheit der Gegend, in welcher

die vier Punkte liegen, darbietet, können nöthigen ſehr verſchiedene e zur Auflöſung dieſer Aufgabe s Erſter all. Man kann auf A die Winkel a und al, ſo⸗ Es iſt: We a, und d. sin. DS AC. sin. 71 b. sin. B. AC. ein. 11 d. sin. D. AC.. sin. G1 und weil sin. 51 sin.(D ＋ 00 d. in. D— 1 Hierdurch iſt die auf die i auch ſehr leicht aus den gegebenen t. Man kann ge rt 0 Größen die Seiten a und berechnen. Es iſt: d. sin. de. sin.D AC %005 und nach§. 60: a= AC. cos. G1 E V Gbꝰ— AC2. sin. 8120 Die Rechnung führt auf zwei verſchiedene Vierecke. ＋ 2 2 Zweiter Fall. Man hat a, 41 und B gemeſſen, wie kann man das Viereck berechnen? Dritter Fall. Man kann a, an und§1 meſſen, wie muß die Rechnung geführt werden? Vierter Fall. Nebſt a und an kann der Winkel 7 ge⸗ meſſen werden, wie berechnet man das Viereck? Fünfter Fall. Die Winkel a, 81 und 5 können allein ge⸗ meſſen werden, man ſuche das Viereck. Es iſt: a. oin. a1 b. sin. y und a.. sin. 6 ν d. sin. di daher: ein. a b. sin. y rren. Hieraus bilde man die Gleichung: sein. 1— sin. 6 b. sin.) d. bin. J ————N—--L—————＋-Z—— sin. 1 ＋ 6in. 6 b gin. d. Ein. 91 ſie geht durch 223 über in: 8

— 366— lang. Cu1— 60 b. sin.— 5 sin. d: tang. 4(c1 55 sin. d. sin. ö1 1 Nun iſt aber 1 ＋ 6 ◻ 180—(a ＋ 61), K C1 ＋ο = 900—(d ＋(1ͥ17), fang.(g r 6) ν tlung.(90— à(æ ＋4 61)) colang. 1(’ ᷣ17) Daher: b. 6in.„— d. sin.ò lang. 200²1—69 Eonn.FA. 45 1. 5„ colang. ⁊(— 810 Ganz auf dieſelbe Weiſe erhält man: 0, d. sin. a— b. sin. 61 4 lang. 2 001— ρ 61 cotang. x(α Qα dͥi) oder, da 61 α ＋r odͥ9—- 7 0%0 d. sin. ·— b. sin.(aαα=ν 9(— N kang. 101 uοε d. 7n.&C ＋ b. 6in.(GPEòoͤ!i— Dieſe Gleichungen führen zur 85 aller Theilwinkel des 1 Vierecks, mit ihrer Hülfe erhält man ſehr leicht: ² b. ein,„ d. sin. 91 T 4 ＋————— 62. 6in. 6 N.ellaſ 2C ＋dͤ) und in. sin. 71 18 Nach dieſen Rechnungen wird es nicht ſchwer fallen, andere Fälle zu beurtheilen. 5. Aufgabe. Alle Winkel und die Diagonalen ſind ge⸗ geben, man ſucht die Seiten. Das leichteſte Verfahren bietet die Berechnung der Theilwinkel. Es ſey(Fig. 92) AC τ m, BD n, yund oͤn ſollen geſucht werden. Man hat: a. sin. Bm, ein. 5 und a. s3en A Dn in. 81 4 daher: ein. An. 81n. 81 m. gin. A Cin. 91 4—...——T—— oder— 1 oin. B m. sin. 7 n oin. B ein. 7 Auf gleiche Weiſe iſt: c. sin. Dm. sin. d und. sin. Cn sin. 61

daher: ain. G aun. Sin. 61 er m(Fin. gſin 61 94 Sen. D m. Sin.& R ne Ein. B Iin x *. N— Ferner iſt nun: 61 2 180— C-ö180—0— Oe ·o09i ◻ν 80O=(CTD-o. 0 ◻ 180—D-= 180—D-(C=ν 180—(C＋D—ν daher: sin. 61 sin.(C＋ D- oi) und sin. d= ein.(C＋- D—) oMN Führt man dieſe Werthe ein, ſo wird: m. Sin. C sin.(C ＋ D— 591) 16r u. zin. 5 n. U D— Auf dieſe Weiſe hat man zwei Gleichungen mit zwei unbe⸗ kannten Größen oͤt und 7, welche daraus entwickelt werden müſſen. Verändert man die erſte Gleichung nach 223 in: m. sin. An. 6in. B Sin. öͤi ＋ Ken. 7 m.. 51u. A— n. in. Ifn. 5.— 31. 7 S=＋ lang. 2(i ＋). cotang. 1(di.— 9 und die zweite auf gleiche Art in: m. sin. C＋ n sin. D ein.(C＋D- à1) Tsin.(C＋P=) m. stu. G—ngin. B Fin.(C＋DD—di(C＋D-ν = flang.)(2(C＋ D)—(81 Æhοο. cotan9. 1 di＋ =◻ lang. 4(2(C ＋ D)— G1 ＋ οο)ο colang. à(di- 7 ſo ergibt ſich aus ihrer Verbindung: m. sin. AATen. 6in. B m. 3in. C— n. sin. D m gν n B m. sgSin. C＋ nsin. D 8 tang. 4 C1 L N Ri 8 D)—(òi ＋ 70)0 107 Setzt man der Kürze wegen den Ausdruck zur Linken *= EK, R ²⁰ 1 Tang.(ß—* Aus dieſer Gleichung bilde man die folgende: 1—-P. d. lang.(p— 1 ＋ fang. IXx ein.(pP— X ＋ 4* ＋ I＋P. G fang(ß1 lLang.IK ein.(P— 2* 159 in. p FEin.(p—

Hieraus erhält man: 5 1＋ 80 oin. ⏑ g8 sin. p oder: mꝛ. ſin. A. oin. C-n2. sin. B. sin. D mn(34n. K. oin. D— sin. B. sin. C) Dieſe Gleichung gibt ö: ＋ 7, iſt dieſer Winkel gefunden, 1 3 ſo iſt: 61n.(CN- D) 6in.(p— ein. A—n. gin. B 1 li. tang. 11 Sind§1 und 7 berechnet, ſo kennt man durch ſie alle Theil— winkel des Vierecks und die Seiten deſſelben ſind: n. 6in. 8 4 —V:V:LL——*. Sin. A sin.(D— 61) sen. C n. sin.(C ＋ D— 61) 8————＋———＋⏑＋è ä＋＋.＋.——— 8 §in. C I u. sin.(B ＋ C＋ D— 61) N d 1 Sen. A Beiſpiel. Es ſey m= 355“ n. 404“/, A=2 719,10% 1. El658 B 900 44/, C 134 15%, D 630 51½ ſo iſt p CÆ u 16 =＋ 1980 6“7; sin. B. sin. 900 44“ Fgsin. 890 16“; sin. C =＋ Eöin. 1340 15“ sgin. 450 45“; sin. p osin. 1980 6“„ 121 O EFin. 180 6“ log. sin. A log. sin. 7110 9.,976103— 10 log. m S log. 355 S 2,550228 1‚ log. m sin. A 2,526331 ͥlog. 335,994 109. ein. C log. oin. 45045 9,855096— 10 109. m S 109. 355— 2,550228 — 112 log. m. ein. C— 2,405324 11. 709. sin. B S loſ. oin. 890 16U 9,999964— 10 JU 709. n Lo9. 404 2,606381 110 N log. n. sin. B Æ＋ 2,606345 10g9. 403,967

0. 335,U901 1⁰ 007 10. 403,907 — 369— Log. sin. Dσ log. sin. 630 51 log. n log. 404 9,953104— 10 2,606381 log. n. sin.D 2,559485 zog. m. sin. A S 2,526331 log. m. sin. C 2,405324 109. ma. sin. A. sin. C 1931655 log. 85439 log. n. sin. B ◻＋ 2,606345 JIog. n. sin. D Q2,559485 log. n2. sin. B. sin. D 5,165831 ◻ log. 146498 log. m. sin. A 235526331 log. n. sin. D 2,559485 log. m. n. sin. A. Sin. D 5,085816 log. 121847 log. m. sin. C E295„,405324 log. n. sin. B ◻ V2,606345 log. m. n. ein. B. sin. C 5,011669 ◻ lLog. 102723 daher: 655439— 146498 oin. 180 6⸗ gin.(1989 6 99.9— 121847— 102723 Sin. 61059 .— 180 6“ I5124· 209. 61059 4.785750 log. sin. 180 6“— V9V5429308— 10 14,278058— 10 4,281579— 10 9,996479— 10 log. sin. 820 42“50“ 109. 19124 log. sin.(p— ν Es iſt daher: 1980 6“— K 820 42“ 50“ alſo: x 2 1980 6/— 820 42,/ 50“/ 115 23“ 10¹ und 4 x 370 41“ 35% ſomit: 1. 335,994— 403,967 335,994 ＋ 403, 967 — 67,973 Arneth, Geometrie. 24 kang. 1001 eε tan9g. 570 41“ 35“ lang. 570 41“ 35“

— 370— 709. 67,973— 1,832336 1 log. tang. 57 41357 10,199047 1 2,031383 709. 739,961 E2,869209 9,162174— 10 log. lang. 8e 15“56“ Es iſt folglich: G.- ⏑⏑ 8ο⏑eοοοοπν]ν== 160 31/52“%* Verbindet man jetzt die Gleichungen: d ＋ 7 2 113 23“10“ und ö1— 7ρ e 160 31/52“% ſo findet man: 281 980 51“ 18“0 alſo 81= 490 25“ 39“ 12 und 27 2 131 55“ 2, alſo 7 ν 6557“31“ Da nun: D— òͤi 140 15“ 21“, C ＋ D— 8. 2 148040“ 21“, B ＋ C ＋4 D 8 2390 24“ 21% daher: II5 gin.(D—1) in. 1425/21“½ sin.(C＋D-di) sin. 31019/39“ 44 ain.(B ＋ C ＋ D— d== in. 59“ 24“ 21“ und 404.. ein. 49 25. 39, 404. sin. 140 25/ 21“ 5 5n. 710 100 A„ 104 ein. 31⸗ 19,39. 4 404 sin 590 24/21“ rn 1og. ein. 490 25“ 39“ 9,880575— 10 log. 404 2,606381 2,486956 log. sin. 71 10— 9,976103— 10 2,510853 S log. 324,23 10g9. sin. 140 25“ 21“ 79,396522— 10 109. 404— 2,606381 2,002903 8 ＋ 79,855096— 10 2147807 log. 140,51 log. sin. 450 45

— 371— 109. ein. 310 19“ 39“ 9,715944— 10 log. 404 ,606381 2,322325 109. sin. 45 45“ S＋ 9,855096— 10 2467220 J09. 293,24 199. sin. 590 24, 21“ 9,934899— 10 Log. 404 D＋ 2,606381 2,541280 Log. sin. 710 10⸗ ＋ 9,976103— 10 2,565177 log. 367,43 ſo iſt; a= 324,23; b= 140%54; 2293%½24; d2367/43. Iſt dieſe Aufgabe vollkommen beſtimmt oder können zwei Vierecke ſtattfinden? Zum ſiebenzehnten Kapitel. XIX. Praktiſche Aufgabe über das Künfech. Die Diagonalen und die Theilwinkel des Fünfeckes können, wie die Seiten und Winkel deſſelben, als Beſtimmungsſtücke angeſehen werden, und führen, mit dieſen verbunden, zu einer großen Menge Aufgaben, von welchen die folgende zu praktiſchen Zwecken die wichtigſte ſeyn dürfte. Die Lage von vier Punkten(Fig. 204) iſt gegeben, man ſoll die eines fünften Punktes gegen dieſe beſtimmen. Die gegebenen Punkte ſeyen A1, Az, As, Al, ſie bilden ein Viereck, deſſen Sei⸗ ten und Winkel man alſo als gegeben anzuſehen hat. Um den fünften Punkt A;, oder das Fünfeck zu beſtimmen, kann man die Winkel m unden meſſen. Nun iſt, da A1 ＋ A T αε R-- m 0 t Ad. sin. m ＋ ai. 8in. A— az. ein.(Ai Az) und 0 ◻νe= d. ein. n ＋ ag. sin. A. daher: ag ein. A,. a. ain. A1— 42. ein.(A1 ＋. A) sin. m

oder: ag. sin. m. Sin. A Dieſe Gleichung enthäͤlt zwei Unbekannte, A1 und Al, von welchen aber die eine leicht weggeſchafft werden kann. Es iſt A. 6R—(A1 ＋ A, 4 A, ＋ A,) sin. A. sin.(Al ＋ A2 A3 ＋ Aß5) 42af. sin. n. sin. AI—aꝛ · ſin. n. sin.(AITAà) daher: ag. zin. m. ain.(AI ＋ A2 As ＋T Azß)gal gin. n. sin. Al — a2 ein. n. sin.(AI ＋ A2) Wird jetzt A1 getrennt, ſo wird: ag. sin. m. sin. AI · cos.(A2 ＋ As ＋ A,ß) ＋ ag. sin. m. cos. AI:· sein.(A2 ＋ A, ＋ Aßz) = a. 6in. n. sin. A1— à2· sin. n. sin. A1. cos. Az — a esin. n. cos. AI. ein. A2 (ag. sin. m. Cos.(A2 ＋ As ＋ Azß)— a1· ein. n ag in. n. cos. A2).. ain. Ai—(a2 ſin. n. sin. A2 T as sin. m. sin.(A2 ＋ As ＋ A5) Hieraus erhält man endlich: tuh 4 Sin. n. sin. Az2 T＋ag Lin. m. Sin.(A2 ＋ Ag ＋Az 8eN. n(a1— àa2c0s. A2)—agin. m C06.(A2 ＋Az＋TA5) Mit Ai iſt auch Aà gefunden, durch alle Winkel und die vier Seiten ſind die übrigen Seiten und die Diagonalen leicht zu berechnen. So wie bei dem Vierecke, ſo können auch hier noch mehrere Aufgaben, für den praktiſchen Theil der Geometrie wichtig, gege⸗ ben werden. Man kann z. B. die Lage dreier Punkte als gegeben anſehen und die Lage zweier anderer Punkte gegen dieſe beſtimmen u. ſ. w. Das bei ſolchen Rechnungen zu beobachtende Verfahren wird jedoch durch die vorgelegten Fälle ſo weit klar geworden ſeyn, daß es überflüſſig ſeyn dürfte, noch mehrere Aufgaben dieſer Art hier auseinander zu ſetzen. zu ſetz

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L 204

Tiq. 120 4. An-. — Lic. 166. —— 2 20 Lig 44. 2 f * Lug. 2½9

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32 N ＋ 6 II

S 8 ——